Un octominó (u 8-ominó ) es un poliominó de orden 8; es decir, un polígono en el plano formado por 8 cuadrados de igual tamaño conectados borde con borde. [1] Cuando las rotaciones y las reflexiones no se consideran formas distintas, hay 369 octominós libres diferentes . Cuando las reflexiones se consideran distintas, hay 704 octominós de un solo lado . Cuando las rotaciones también se consideran distintas, hay 2725 octominós fijos . [2] [3]
Simetría
La figura muestra todos los octominós libres posibles, coloreados según sus grupos de simetría :
Los 316 octominós (coloreados en gris) no tienen simetría . Su grupo de simetría consiste únicamente en la función identidad .
23 octominós (coloreados en rojo) tienen un eje de simetría de reflexión alineado con las líneas de la cuadrícula. Su grupo de simetría tiene dos elementos, la identidad y la reflexión en una línea paralela a los lados de los cuadrados.
5 octominós (de color verde) tienen un eje de simetría de reflexión a 45° respecto de las líneas de la cuadrícula. Su grupo de simetría tiene dos elementos: la identidad y una reflexión diagonal.
18 octominós (de color azul) tienen simetría puntual, también conocida como simetría rotacional de orden 2. Su grupo de simetría tiene dos elementos, la identidad y la rotación de 180°.
1 octominó (de color amarillo) tiene simetría rotacional de orden 4. Su grupo de simetría tiene cuatro elementos, la identidad y las rotaciones de 90°, 180° y 270°.
Los 4 octominós (de color violeta) tienen dos ejes de simetría de reflexión, ambos alineados con las líneas de la cuadrícula. Su grupo de simetría tiene cuatro elementos: la identidad, dos reflexiones y la rotación de 180°. Es el grupo diedro de orden 2, también conocido como el grupo de cuatro de Klein .
1 octominó (de color naranja) tiene dos ejes de simetría de reflexión, ambos alineados con las diagonales. Su grupo de simetría es también el grupo diedro de orden 2 con cuatro elementos.
1 octominó (de color cian) tiene cuatro ejes de simetría de reflexión, alineados con las líneas de la cuadrícula y las diagonales, y simetría rotacional de orden 4. Su grupo de simetría, el grupo diedro de orden 4, tiene ocho elementos.
El conjunto de los octominós es el conjunto poliominó más bajo en el que se cumplen las ocho simetrías posibles. El siguiente conjunto superior con esta propiedad es el conjunto dodecomino (12-ominó). [3]
Si se consideran distintas las reflexiones de un octominó, como ocurre con los octominós unilaterales, entonces las categorías primera, cuarta y quinta mencionadas anteriormente duplican su tamaño, lo que da como resultado 335 octominós adicionales para un total de 704. Si también se consideran distintas las rotaciones, entonces los octominós de la primera categoría cuentan ocho veces, los de las siguientes tres categorías cuentan cuatro veces, los de las categorías cinco a siete cuentan dos veces y el último octominó cuenta solo una vez. Esto da como resultado 316 × 8 + (23+5+18) × 4 + (1+4+1) × 2 + 1 = 2725 octominós fijos.
Embalaje y alicatado
De los 369 octominós libres, 320 satisfacen el criterio de Conway y 23 más pueden formar un parche que satisface el criterio. [4] Los otros 26 octominós (incluidos los 6 con agujeros) no pueden teselar el plano. [5]
Como 6 de los octominós libres tienen un agujero, es trivial demostrar que el conjunto completo de octominós no se puede empaquetar en un rectángulo, y que no todos los octominós se pueden colocar en mosaico .
^ Weisstein, Eric W. "Octomino". De MathWorld – A Wolfram Web Resource . Consultado el 22 de julio de 2008 .
^ ab Redelmeier, D. Hugh (1981). "Contar poliominós: otro ataque más". Matemáticas discretas . 36 (2): 191–203. doi : 10.1016/0012-365X(81)90237-5 .
^ Rhoads, Glenn C. (2005). "Teselación plana mediante poliominós, polihexágonos y polidiamantes". Revista de Matemática Computacional y Aplicada . 174 (2): 329–353. doi :10.1016/j.cam.2004.05.002.
^ Gardner, Martin (agosto de 1975). "Más sobre el teselado del plano: las posibilidades de los poliominós, polidiamantes y polihexágonos". Scientific American . 233 (2): 112–115.
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