Punto aislado

Punto de un subconjunto S alrededor del cual no hay otros puntos de S

"0" es un punto aislado de ${\displaystyle A=\{0\}\cup [1,2]}$

En matemáticas , un punto x se llama punto aislado de un subconjunto S (en un espacio topológico X ) si x es un elemento de S y existe una vecindad de x que no contiene ningún otro punto de S. Esto equivale a decir que el singleton { x } es un conjunto abierto en el espacio topológico S (considerado como un subespacio de X ). Otra formulación equivalente es: un elemento x de S es un punto aislado de S si y sólo si no es un punto límite de S.

Si el espacio X es un espacio métrico , por ejemplo un espacio euclidiano , entonces un elemento x de S es un punto aislado de S si existe una bola abierta alrededor de x que contiene sólo un número finito de elementos de S. Un conjunto de puntos que está formado únicamente por puntos aislados se llama conjunto discreto o conjunto de puntos discretos (ver también espacio discreto ).

Nociones relacionadas

Cualquier subconjunto discreto S del espacio euclidiano debe ser contable , ya que el aislamiento de cada uno de sus puntos junto con el hecho de que los racionales son densos en los reales significa que los puntos de S pueden mapearse inyectivamente en un conjunto de puntos con coordenadas racionales, de que sólo hay un número contable. Sin embargo, no todos los conjuntos contables son discretos, de los cuales los números racionales bajo la métrica euclidiana habitual son el ejemplo canónico.

Un conjunto sin ningún punto aislado se dice que es denso en sí mismo (cada vecindad de un punto contiene otros puntos del conjunto). Un conjunto cerrado sin ningún punto aislado se llama conjunto perfecto (contiene todos sus puntos límite y ningún punto aislado).

El número de puntos aislados es un invariante topológico , es decir, si dos espacios topológicos X, Y son homeomórficos , el número de puntos aislados en cada uno es igual.

Ejemplos

Ejemplos estándar

Los espacios topológicos en los siguientes tres ejemplos se consideran subespacios de la línea real con la topología estándar.

• Para el conjunto el punto 0 es un punto aislado. ${\displaystyle S=\{0\}\cup [1,2],}$
• Para el conjunto, cada uno de los puntos es un punto aislado, pero 0 no es un punto aislado porque hay otros puntos en S tan cercanos a 0 como se desee. ${\displaystyle S=\{0\}\cup \{1,{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{3}},\dots \},}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{k}}}$
• El conjunto de los números naturales es un conjunto discreto. ${\displaystyle \mathbb {N} =\{0,1,2,\ldots \}}$

En el espacio topológico con topología el elemento a es un punto aislado, aunque pertenece al cierre de (y por lo tanto está, en cierto sentido, "cerca" de a ). Una situación así no es posible en un espacio de Hausdorff . ${\displaystyle X=\{a,b\}}$ ${\displaystyle \tau =\{\emptyset ,\{a\},X\},}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \{a\}}$

El lema de Morse establece que los puntos críticos no degenerados de determinadas funciones están aislados.

Dos ejemplos contrarios a la intuición

Considere el conjunto F de puntos x en el intervalo real (0,1) tal que cada dígito x _i de su representación binaria cumpla las siguientes condiciones:

• Cualquiera o ${\displaystyle x_{i}=0}$ ${\displaystyle x_{i}=1.}$
• ${\displaystyle x_{i}=1}$sólo para un número finito de índices i .
• Si m denota el índice más grande tal que entonces ${\displaystyle x_{m}=1,}$ ${\displaystyle x_{m-1}=0.}$
• Si y entonces se cumple exactamente una de las dos condiciones siguientes: o ${\displaystyle x_{i}=1}$ ${\displaystyle i<m,}$ ${\displaystyle x_{i-1}=1}$ ${\displaystyle x_{i+1}=1.}$

Informalmente, estas condiciones significan que cada dígito de la representación binaria que es igual a 1 pertenece a un par...0110..., excepto...010... al final. ${\displaystyle x}$

Ahora bien, F es un conjunto explícito que consta enteramente de puntos aislados pero tiene la propiedad contraria a la intuición de que su cierre es un conjunto incontable . ^[1]

Se puede obtener otro conjunto F con las mismas propiedades de la siguiente manera. Sea C el conjunto de Cantor de tercios medios , sean los intervalos componentes de y sea F un conjunto que consta de un punto de _cada Ik . Como cada I _k contiene sólo un punto de F , cada punto de F es un punto aislado. _{Sin embargo} , si p es cualquier punto del conjunto de Cantor, entonces cada vecindad de p contiene al menos un Ik y, por tanto, al menos un punto de F. De ello se deduce que cada punto del conjunto de Cantor se encuentra en el cierre de F y, por lo tanto, F tiene un cierre incontable. ${\displaystyle I_{1},I_{2},I_{3},\ldots ,I_{k},\ldots }$ ${\displaystyle [0,1]-C}$

Ver también

• acnódo
• punto adherente
• Punto de acumulación
• Punto de nube

Referencias

1. Gomez-Ramirez, Danny (2007), "Un conjunto explícito de puntos aislados en R con cierre incontable", Matemáticas: Enseñanza universitaria , Escuela Regional de Matemáticas. Universidad del Valle, Colombia, 15 : 145–147

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Punto aislado". MundoMatemático .