La teoría de conjuntos de la línea real es un área de las matemáticas que se ocupa de la aplicación de la teoría de conjuntos a aspectos de los números reales .
Por ejemplo, se sabe que todos los conjuntos numerables de números reales son nulos , es decir, tienen medida de Lebesgue 0; por lo tanto, se podría preguntar cuál es el tamaño mínimo posible de un conjunto que no es nulo de Lebesgue. Este invariante se denomina uniformidad del ideal de conjuntos nulos, denotado . Hay muchos invariantes de este tipo asociados con este y otros ideales, por ejemplo, el ideal de conjuntos magros , más otros que no tienen una caracterización en términos de ideales. Si se cumple la hipótesis del continuo (CH), entonces todos estos invariantes son iguales a , el cardinal menos incontable . Por ejemplo, sabemos que es incontable , pero al ser el tamaño de algún conjunto de números reales bajo CH, puede ser como máximo .
Por otra parte, si se supone el Axioma de Martin (MA) todos los invariantes comunes son "grandes", es decir, igual a , la cardinalidad del continuo . El Axioma de Martin es consistente con . De hecho, se debería considerar el Axioma de Martin como un axioma de forzamiento que niega la necesidad de hacer forzamientos específicos de cierta clase (aquellos que satisfacen la ccc , ya que la consistencia de MA con un continuo grande se prueba haciendo todos esos forzamientos (hasta un cierto tamaño que se demuestra que es suficiente). Cada invariante puede hacerse grande mediante algún forzamiento ccc, por lo que cada uno es grande dado MA.
Si uno se limita a forzamientos específicos, algunos invariantes se volverán grandes mientras que otros permanecerán pequeños. Analizar estos efectos es el trabajo principal del área, buscando determinar qué desigualdades entre invariantes son demostrables y cuáles son inconsistentes con ZFC. Las desigualdades entre los ideales de medida (conjuntos nulos) y categoría (conjuntos magros) se capturan en el diagrama de Cichon . Diecisiete modelos (construcciones de forzamiento) se produjeron durante la década de 1980, comenzando con el trabajo de Arnold Miller, para demostrar que no hay otras desigualdades demostrables. Estos se analizan en detalle en el libro de Tomek Bartoszynski y Haim Judah, dos de los eminentes trabajadores en el campo.
Un resultado curioso es que si se puede cubrir la línea real con conjuntos magros (donde ) entonces ; a la inversa, si se puede cubrir la línea real con conjuntos nulos, entonces el conjunto menos no magro tiene un tamaño de al menos ; ambos resultados se derivan de la existencia de una descomposición de como la unión de un conjunto magro y un conjunto nulo.
Uno de los últimos grandes problemas no resueltos de la zona era la consistencia de
demostrado en 1998 por Saharon Shelah .
