Banco de filtros

Herramienta para el procesamiento de señales digitales

En el procesamiento de señales , un banco de filtros (o filterbank ) es una matriz de filtros de paso de banda que separa la señal de entrada en múltiples componentes, cada uno de los cuales lleva una subbanda de la señal original. ^[1] Una aplicación de un banco de filtros es un ecualizador gráfico , que puede atenuar los componentes de manera diferente y recombinarlos en una versión modificada de la señal original. El proceso de descomposición realizado por el banco de filtros se denomina análisis (es decir, análisis de la señal en términos de sus componentes en cada subbanda); la salida del análisis se conoce como una señal de subbanda con tantas subbandas como filtros haya en el banco de filtros. El proceso de reconstrucción se denomina síntesis , es decir, reconstitución de una señal completa resultante del proceso de filtrado.

En el procesamiento de señales digitales , el término banco de filtros también se aplica comúnmente a un banco de receptores. La diferencia es que los receptores también convierten las subbandas a una frecuencia central baja que se puede volver a muestrear a una velocidad reducida. A veces se puede lograr el mismo resultado submuestreando las subbandas de paso de banda.

Otra aplicación de los bancos de filtros es la compresión con pérdida , cuando algunas frecuencias son más importantes que otras. Después de la descomposición, las frecuencias importantes se pueden codificar con una resolución fina. Las pequeñas diferencias en estas frecuencias son significativas y se debe utilizar un esquema de codificación que preserve estas diferencias. Por otro lado, las frecuencias menos importantes no tienen por qué ser exactas. Se puede utilizar un esquema de codificación más burdo, aunque algunos de los detalles más finos (pero menos importantes) se perderán en la codificación.

El vocoder utiliza un banco de filtros para determinar la información de amplitud de las subbandas de una señal moduladora (como una voz) y las utiliza para controlar la amplitud de las subbandas de una señal portadora (como la salida de una guitarra o sintetizador), imponiendo así las características dinámicas del modulador en la portadora.

Representación de la implementación y el funcionamiento de un banco de filtros de superposición ponderada (WOLA). Se utiliza un bucle de entrada circular para compensar las discontinuidades de fase, causadas por la falta de una referencia de tiempo real para la transformada de Fourier (DFT). ^[2]

Algunos bancos de filtros funcionan casi exclusivamente en el dominio del tiempo, utilizando una serie de filtros, como filtros de espejo en cuadratura o el algoritmo de Goertzel, para dividir la señal en bandas más pequeñas. Otros bancos de filtros utilizan una transformada rápida de Fourier (FFT).

Bancos de filtros FFT

Se puede crear un banco de receptores realizando una secuencia de FFT en segmentos superpuestos del flujo de datos de entrada. Se aplica una función de ponderación (también conocida como función de ventana ) a cada segmento para controlar la forma de las respuestas de frecuencia de los filtros. Cuanto más ancha sea la forma, más a menudo se deben realizar las FFT para satisfacer los criterios de muestreo de Nyquist . ^[A] Para una longitud de segmento fija, la cantidad de superposición determina la frecuencia con la que se realizan las FFT (y viceversa). Además, cuanto más ancha sea la forma de los filtros, menos filtros se necesitan para abarcar el ancho de banda de entrada. La eliminación de filtros innecesarios (es decir, la reducción de la frecuencia) se realiza de manera eficiente al tratar cada segmento ponderado como una secuencia de bloques más pequeños , y la FFT se realiza solo en la suma de los bloques. Esto se ha denominado superposición-adición de peso (WOLA) y FFT pre-suma ponderada . (ver § Muestreo de la DTFT )

Un caso especial ocurre cuando, por diseño, la longitud de los bloques es un múltiplo entero del intervalo entre las FFT. En ese caso, el banco de filtros FFT se puede describir en términos de una o más estructuras de filtro polifásicas donde las fases se recombinan mediante una FFT en lugar de una simple suma. La cantidad de bloques por segmento es la longitud (o profundidad ) de la respuesta al impulso de cada filtro. Las eficiencias computacionales de las estructuras FFT y polifásicas, en un procesador de propósito general, son idénticas.

La síntesis (es decir, la recombinación de las salidas de varios receptores) es básicamente una cuestión de sobremuestrear cada uno a una velocidad proporcional al ancho de banda total que se va a crear, traducir cada canal a su nueva frecuencia central y sumar los flujos de muestras. En ese contexto, el filtro de interpolación asociado con el sobremuestreo se denomina filtro de síntesis . La respuesta de frecuencia neta de cada canal es el producto del filtro de síntesis con la respuesta de frecuencia del banco de filtros ( filtro de análisis ). Idealmente, las respuestas de frecuencia de los canales adyacentes suman un valor constante en cada frecuencia entre los centros de los canales. Esa condición se conoce como reconstrucción perfecta .

Los bancos de filtros como distribuciones de tiempo-frecuencia

En el procesamiento de señales de tiempo-frecuencia , un banco de filtros es una distribución de tiempo-frecuencia (TFD) cuadrática especial que representa la señal en un dominio conjunto de tiempo-frecuencia . Está relacionada con la distribución de Wigner-Ville por un filtrado bidimensional que define la clase de distribuciones de tiempo-frecuencia cuadráticas (o bilineales) . ^[3] El banco de filtros y el espectrograma son las dos formas más simples de producir una TFD cuadrática; en esencia, son similares, ya que uno (el espectrograma) se obtiene dividiendo el dominio del tiempo en rebanadas y luego tomando una transformada de Fourier, mientras que el otro (el banco de filtros) se obtiene dividiendo el dominio de la frecuencia en rebanadas que forman filtros de paso de banda que son excitados por la señal bajo análisis.

Banco de filtros multifrecuencia

Un banco de filtros multifrecuencia divide una señal en varias subbandas que se pueden analizar a distintas velocidades correspondientes al ancho de banda de las bandas de frecuencia. La implementación utiliza submuestreo (decimación) y sobremuestreo (expansión) . Consulte Transformada de Fourier de tiempo discreto § Propiedades y Transformada Z § Propiedades para obtener más información sobre los efectos de esas operaciones en los dominios de la transformada.

Filtro de paso bajo estrecho

Un filtro paso bajo angosto se puede definir como un filtro paso bajo con una banda de paso estrecha. Para crear un filtro FIR paso bajo angosto multifrecuencia, se puede reemplazar el filtro FIR invariante en el tiempo con un filtro antialiasing paso bajo y un decimador, junto con un interpolador y un filtro anti-imagen paso bajo. De esta manera, el sistema multifrecuencia resultante es un filtro de fase lineal variable en el tiempo a través del decimador y el interpolador. El filtro paso bajo consta de dos filtros polifásicos, uno para el decimador y otro para el interpolador. ^[4]

Un banco de filtros divide la señal de entrada en un conjunto de señales . De esta manera, cada una de las señales generadas corresponde a una región diferente en el espectro de . En este proceso, es posible que las regiones se superpongan (o no, según la aplicación). ${\displaystyle x\left(n\right)}$ ${\displaystyle x_{1}(n),x_{2}(n),x_{3}(n),...}$ ${\displaystyle x\left(n\right)}$

Las señales generadas pueden generarse mediante una colección de filtros de paso de banda con anchos de banda y frecuencias centrales (respectivamente). Un banco de filtros multifrecuencia utiliza una única señal de entrada y luego produce múltiples salidas de la señal mediante filtrado y submuestreo. Para dividir la señal de entrada en dos o más señales, se puede utilizar un sistema de análisis-síntesis. ${\displaystyle x_{1}(n),x_{2}(n),x_{3}(n),...}$ ${\displaystyle {\rm {BW_{1},BW_{2},BW_{3},...}}}$ ${\displaystyle f_{c1},f_{c2},f_{c3},...}$

La señal se dividiría con la ayuda de cuatro filtros para k = 0,1,2,3 en 4 bandas de los mismos anchos de banda (en el banco de análisis) y luego cada subseñal se diezma por un factor de 4. En cada banda al dividir la señal en cada banda, tendríamos diferentes características de señal. ${\displaystyle H_{k}(z)}$

En la sección de síntesis, el filtro reconstruirá la señal original: primero, sobremuestreando las 4 subseñales a la salida de la unidad de procesamiento por un factor de 4 y luego filtrando mediante 4 filtros de síntesis para k = 0, 1, 2, 3. Finalmente, se suman las salidas de estos cuatro filtros. ${\displaystyle F_{k}(z)}$

Banco de filtros estadísticamente optimizado (banco de filtros Eigen)

Un marco de banco de filtros de tiempo discreto permite la inclusión de características dependientes de la señal de entrada deseada en el diseño, además de la propiedad de reconstrucción perfecta más tradicional. Las características de la teoría de la información, como la compactación de energía maximizada, la descorrelación perfecta de las señales de subbanda y otras características para la estructura de covarianza/correlación de entrada dada, se incorporan en el diseño de bancos de filtros óptimos. ^[5] Estos bancos de filtros se parecen a la transformada de Karhunen-Loève dependiente de la señal (KLT), que es la transformada de bloque óptima donde la longitud L de las funciones base (filtros) y la dimensión del subespacio M son las mismas.

Bancos de filtros multidimensionales

La red quincuncial

El filtrado multidimensional , el submuestreo y el sobremuestreo son las partes principales de los sistemas multifrecuencia y los bancos de filtros.

Un banco de filtros completo consta de la parte de análisis y síntesis. El banco de filtros de análisis divide una señal de entrada en diferentes subbandas con diferentes espectros de frecuencia. La parte de síntesis vuelve a ensamblar las diferentes señales de subbanda y genera una señal reconstruida. Dos de los bloques de construcción básicos son el decimador y el expansor. Por ejemplo, la entrada se divide en cuatro subbandas direccionales, cada una de las cuales cubre una de las regiones de frecuencia en forma de cuña. En sistemas 1D, los decimadores M-fold conservan solo aquellas muestras que son múltiplos de M y descartan el resto, mientras que en sistemas multidimensionales los decimadores son matrices de números enteros no singulares D × D. Considera solo aquellas muestras que están en la red generada por el decimador. El decimador comúnmente utilizado es el decimador quincuncial, cuya red se genera a partir de la matriz quincuncial que se define por ${\displaystyle {\begin{bmatrix}\;\;\,1&1\\-1&1\end{bmatrix}}}$

La red quincuncial generada por la matriz quincuncial es como se muestra; la parte de síntesis es dual a la parte de análisis. Los bancos de filtros se pueden analizar desde una perspectiva de dominio de frecuencia en términos de descomposición y reconstrucción de subbandas. Sin embargo, igualmente importante es la interpretación del espacio de Hilbert de los bancos de filtros, que desempeña un papel clave en las representaciones geométricas de señales. Para el banco de filtros de canal K genérico , con filtros de análisis , filtros de síntesis y matrices de muestreo . En el lado del análisis, podemos definir vectores en como ${\displaystyle \left\{h_{k}[n]\right\}_{k=1}^{K}}$ ${\displaystyle \left\{g_{k}[n]\right\}_{k=1}^{K}}$ ${\displaystyle \left\{M_{k}[n]\right\}_{k=1}^{K}}$ ${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbf {Z} ^{d})}$

${\displaystyle \varphi _{k,m}[n]{\stackrel {\rm {def}}{=}}h_{k}^{*}[M_{k}m-n]}$,

cada índice por dos parámetros: y . ${\displaystyle 1\leq k\leq K}$ ${\displaystyle m\in \mathbf {Z} ^{2}}$

De manera similar, para los filtros de síntesis podemos definir . ${\displaystyle g_{k}[n]}$ ${\displaystyle \psi _{k,m}[n]{\stackrel {\rm {def}}{=}}g_{k}^{*}[M_{k}m-n]}$

Considerando la definición de los lados de análisis/síntesis podemos verificar que ^[6] y para la parte de reconstrucción: ${\displaystyle c_{k}[m]=\langle x[n],\varphi _{k,m}[n]\rangle }$

${\displaystyle {\hat {x}}[n]=\sum _{1\leq k\leq K,m\in \mathbf {Z} ^{2}}c_{k}[m]\psi _{k,m}[n]}$.

En otras palabras, el banco de filtros de análisis calcula el producto interno de la señal de entrada y el vector del conjunto de análisis. Además, la señal reconstruida en la combinación de los vectores del conjunto de síntesis y los coeficientes de combinación de los productos internos calculados, es decir,

${\displaystyle {\hat {x}}[n]=\sum _{1\leq k\leq K,m\in \mathbf {Z} ^{2}}\langle x[n],\varphi _{k,m}[n]\rangle \psi _{k,m}[n]}$

Si no hay pérdida en la descomposición y la reconstrucción posterior, el banco de filtros se llama reconstrucción perfecta . (en ese caso tendríamos . ^[7] La ​​figura muestra un banco de filtros multidimensional general con N canales y una matriz de muestreo común M . La parte de análisis transforma la señal de entrada en N salidas filtradas y submuestreadas . La parte de síntesis recupera la señal original mediante sobremuestreo y filtrado. Este tipo de configuración se utiliza en muchas aplicaciones, como codificación de subbanda , adquisición multicanal y transformadas wavelet discretas . ${\displaystyle x[n]={\hat {x[n]}}}$ ${\displaystyle x[n]}$ ${\displaystyle y_{j}[n],}$ ${\displaystyle j=0,1,...,N-1}$ ${\displaystyle y_{j}[n]}$

Bancos de filtros de reconstrucción perfecta

Podemos utilizar la representación polifásica, de modo que la señal de entrada se pueda representar mediante un vector de sus componentes polifásicos . Denotar Por lo tanto, tendríamos , donde denota el componente polifásico j -ésimo del filtro . ${\displaystyle x[n]}$ ${\displaystyle x(z){\stackrel {\rm {def}}{=}}(X_{0}(z),...,X_{|M|-1}(z))^{T}}$ ${\displaystyle y(z){\stackrel {\rm {def}}{=}}(Y_{0}(z),...,Y_{|N|-1}(z))^{T}.}$
${\displaystyle y(z)=H(z)x(z)}$ ${\displaystyle H_{i,j}(z)}$ ${\displaystyle H_{i}(z)}$

De manera similar, para la señal de salida tendríamos , donde . Además, G es una matriz donde denota el iésimo componente polifásico del jésimo filtro de síntesis Gj(z). ${\displaystyle {\hat {x}}(z)=G(z)y(z)}$ ${\displaystyle {\hat {x}}(z){\stackrel {\rm {def}}{=}}({\hat {X}}_{0}(z),...,{\hat {X}}_{|M|-1}(z))^{T}}$ ${\displaystyle G_{i,j}(z)}$

El banco de filtros tiene una reconstrucción perfecta para cualquier entrada, o equivalentemente, lo que significa que G(z) es una inversa izquierda de H(z). ${\displaystyle x(z)={\hat {x}}(z)}$ ${\displaystyle I_{|M|}=G(z)H(z)}$

Diseño de filtros multidimensionales

Banco de filtros 1D

Banco de filtros 2D

Los bancos de filtros 1-D se han desarrollado bien hasta hoy. Sin embargo, muchas señales, como imágenes, vídeo, sonido 3D, radares y sonares, son multidimensionales y requieren el diseño de bancos de filtros multidimensionales.

Con el rápido desarrollo de la tecnología de las comunicaciones, los sistemas de procesamiento de señales necesitan más espacio para almacenar datos durante el procesamiento, la transmisión y la recepción. Para reducir los datos a procesar, ahorrar espacio de almacenamiento y disminuir la complejidad, se introdujeron técnicas de muestreo multifrecuencia para lograr estos objetivos. Los bancos de filtros se pueden utilizar en diversas áreas, como la codificación de imágenes, la codificación de voz, el radar, etc.

Se han estudiado en profundidad muchos problemas relacionados con los filtros 1D y los investigadores han propuesto numerosos enfoques de diseño de bancos de filtros 1D. Sin embargo, todavía quedan muchos problemas de diseño de bancos de filtros multidimensionales por resolver. ^[8] Es posible que algunos métodos no reconstruyan bien la señal y algunos métodos son complejos y difíciles de implementar.

El enfoque más simple para diseñar un banco de filtros multidimensional es colocar en cascada bancos de filtros unidimensionales en forma de una estructura de árbol donde la matriz de diezmado es diagonal y los datos se procesan en cada dimensión por separado. Estos sistemas se denominan sistemas separables. Sin embargo, la región de soporte para los bancos de filtros podría no ser separable. En ese caso, el diseño del banco de filtros se vuelve complejo. En la mayoría de los casos, tratamos con sistemas no separables.

Un banco de filtros consta de una etapa de análisis y una etapa de síntesis. Cada etapa consta de un conjunto de filtros en paralelo. El diseño del banco de filtros es el diseño de los filtros en las etapas de análisis y síntesis. Los filtros de análisis dividen la señal en subbandas superpuestas o no superpuestas según los requisitos de la aplicación. Los filtros de síntesis deben diseñarse para reconstruir la señal de entrada a partir de las subbandas cuando se combinan las salidas de estos filtros. El procesamiento se realiza normalmente después de la etapa de análisis. Estos bancos de filtros pueden diseñarse como respuesta de impulso infinita (IIR) o respuesta de impulso finita (FIR). Para reducir la velocidad de datos, se realizan submuestreos y sobremuestreos en las etapas de análisis y síntesis, respectivamente.

Enfoques existentes

A continuación se presentan varios enfoques para el diseño de bancos de filtros multidimensionales. Para obtener más detalles, consulte las referencias ORIGINALES .

Bancos de filtros multidimensionales de reconstrucción perfecta

Cuando es necesario reconstruir la señal dividida a la original, se pueden utilizar bancos de filtros de reconstrucción perfecta (PR).

Sea H( z ) la función de transferencia de un filtro. El tamaño del filtro se define como el orden del polinomio correspondiente en cada dimensión. La simetría o antisimetría de un polinomio determina la propiedad de fase lineal del filtro correspondiente y está relacionada con su tamaño. Al igual que en el caso unidimensional, el término de aliasing A(z) y la función de transferencia T(z) para un banco de filtros de 2 canales son: ^[9]

A( z )=1/2(H ₀ (- z ) F ₀ ( z )+H ₁ (- z ) F ₁ ( z )); T( z )=1/2(H ₀ ( z ) F ₀ ( z )+H ₁ ( z ) F ₁ ( z )), donde H ₀ y H ₁ son filtros de descomposición, y F ₀ y F ₁ son filtros de reconstrucción.

La señal de entrada se puede reconstruir perfectamente si se cancela el término alias y T( z ) es igual a un monomio. Por lo tanto, la condición necesaria es que T'( z ) sea generalmente simétrica y de tamaño impar por impar.

Los filtros PR de fase lineal son muy útiles para el procesamiento de imágenes. Este banco de filtros de dos canales es relativamente fácil de implementar. Pero a veces dos canales no son suficientes. Los bancos de filtros de dos canales se pueden conectar en cascada para generar bancos de filtros multicanal.

Bancos de filtros direccionales multidimensionales y superficies pequeñas

Bancos de filtros para análisis multidimensional

Los bancos de filtros direccionales de dimensión M (MDFB) son una familia de bancos de filtros que pueden lograr la descomposición direccional de señales arbitrarias de dimensión M con una construcción simple y eficiente con estructura de árbol. Tiene muchas propiedades distintivas como: descomposición direccional, construcción de árbol eficiente, resolución angular y reconstrucción perfecta. En el caso general de dimensión M, los soportes de frecuencia ideales del MDFB son hiperpirámides basadas en hipercubos. El primer nivel de descomposición para MDFB se logra mediante un banco de filtros no diezmado de canal N, cuyos filtros componentes son filtros MD con forma de "reloj de arena" alineados con los ejes w ₁ ,...,w _M respectivamente. Después de eso, la señal de entrada se descompone aún más mediante una serie de bancos de filtros de tablero de ajedrez iterativamente remuestreados en 2-D IRC _li ^{( Li )} (i=2,3,...,M), donde IRC _li ^{( Li )} opera en porciones 2-D de la señal de entrada representada por el par de dimensiones (n ₁ ,n _i ) y el superíndice (Li) significa los niveles de descomposición para el banco de filtros de nivel i. Nótese que, a partir del segundo nivel, adjuntamos un banco de filtros IRC a cada canal de salida del nivel anterior y, por lo tanto, el filtro completo tiene un total de 2 ^{( L ₁ +...+ L _N )} canales de salida. ^[10]

Bancos de filtros sobremuestreados multidimensionales

Bancos de filtros de síntesis multidimensional

Los bancos de filtros sobremuestreados son bancos de filtros de múltiples frecuencias en los que el número de muestras de salida en la etapa de análisis es mayor que el número de muestras de entrada. Se proponen para aplicaciones robustas. Una clase particular de bancos de filtros sobremuestreados son los bancos de filtros no submuestreados sin submuestreo ni sobremuestreo. La condición de reconstrucción perfecta para un banco de filtros sobremuestreado se puede plantear como un problema de matriz inversa en el dominio polifásico. ^[11]

^{Para el banco de filtros sobremuestreados IIR, Wolovich [12]} y Kailath ^[13] han estudiado la reconstrucción perfecta en el contexto de la teoría de control. Mientras que para el banco de filtros sobremuestreados FIR tenemos que usar una estrategia diferente para 1-D y MD. Los filtros FIR son más populares porque son más fáciles de implementar. Para los bancos de filtros FIR sobremuestreados 1-D, el algoritmo euclidiano juega un papel clave en el problema de la matriz inversa. ^[14] Sin embargo, el algoritmo euclidiano falla para los filtros multidimensionales (MD). Para el filtro MD, podemos convertir la representación FIR en una representación polinómica. ^[15] Y luego usar geometría algebraica y bases de Gröbner para obtener el marco y la condición de reconstrucción de los bancos de filtros sobremuestreados multidimensionales. ^[11]

Bancos de filtros FIR multidimensionales no submuestreados

Los bancos de filtros no submuestreados son bancos de filtros sobremuestreados particulares sin submuestreo ni sobremuestreo. La condición de reconstrucción perfecta para los bancos de filtros FIR no submuestreados conduce a un problema vectorial inverso: se dan los filtros de análisis y FIR, y el objetivo es encontrar un conjunto de filtros de síntesis FIR que los satisfagan. ^[11] ${\displaystyle \{H_{1},...,H_{N}\}}$ ${\displaystyle \{G_{1},...,G_{N}\}}$

Utilizando bases de Gröbner

Bancos de filtros multidimensionales de canal M

Como los bancos de filtros multidimensionales se pueden representar mediante matrices racionales multivariadas, este método es una herramienta muy eficaz que se puede utilizar para trabajar con bancos de filtros multidimensionales. ^[15]

En Charo, ^[15] se presenta y analiza un algoritmo de factorización matricial polinómica multivariante. El problema más común son los bancos de filtros multidimensionales para una reconstrucción perfecta. Este artículo habla sobre el método para lograr este objetivo que satisface la condición restringida de fase lineal.

Según la descripción del artículo, se discuten algunos resultados nuevos en factorización y se aplican a problemas de bancos de filtros de respuesta de impulso finito con reconstrucción perfecta de fase lineal multidimensional. El concepto básico de las bases de Gröbner se da en Adams. ^[16]

Este enfoque basado en la factorización matricial multivariante se puede utilizar en diferentes áreas. La teoría algorítmica de los ideales y módulos polinómicos se puede modificar para abordar problemas de procesamiento, compresión, transmisión y decodificación de señales multidimensionales.

El banco de filtros multidimensional general (Figura 7) puede representarse mediante un par de matrices polifásicas de análisis y síntesis y de tamaño y , donde N es el número de canales y es el valor absoluto del determinante de la matriz de muestreo. Además y son la transformada z de los componentes polifásicos de los filtros de análisis y síntesis. Por lo tanto, son polinomios de Laurent multivariados , que tienen la forma general: ${\displaystyle H(z)}$ ${\displaystyle G(z)}$ ${\displaystyle N\times M}$ ${\displaystyle M\times N}$ ${\displaystyle M{\stackrel {\rm {def}}{=}}|M|}$ ${\displaystyle H(z)}$ ${\displaystyle G(z)}$

${\displaystyle F(z)=\sum _{k\in \mathbf {Z} ^{d}}f[k]z^{k}=\sum _{k\in \mathbf {Z} ^{d}}f[k_{1},...,k_{d}]z_{1}^{k_{1}}...z_{d}^{k_{d}}}$.

Es necesario resolver la ecuación matricial del polinomio de Laurent para diseñar bancos de filtros de reconstrucción perfectos:

${\displaystyle G(z)H(z)=I_{|M|}}$.

En el caso multidimensional con polinomios multivariados necesitamos utilizar la teoría y algoritmos de bases de Gröbner. ^[17]

Las bases de Gröbner se pueden utilizar para caracterizar bancos de filtros multidimensionales de reconstrucción perfecta, pero primero es necesario extenderlas desde matrices polinómicas a matrices polinómicas de Laurent . ^{[18] [19]}

El cálculo de la base de Gröbner puede considerarse equivalente a la eliminación gaussiana para resolver la ecuación matricial polinómica . Si tenemos un conjunto de vectores polinómicos ${\displaystyle G(z)H(z)=I_{|M|}}$

${\displaystyle \mathrm {Module} \left\{h_{1}(z),...,h_{N}(z)\right\}{\stackrel {\rm {def}}{=}}\{c_{1}(z)h_{1}(z)+...+c_{N}(z)h_{N}(z)\}}$

¿Dónde están los polinomios? ${\displaystyle c_{1}(z),...,c_{N}(z)}$

El módulo es análogo al espacio de un conjunto de vectores en álgebra lineal. La teoría de bases de Gröbner implica que el módulo tiene una base de Gröbner reducida única para un orden dado de productos de potencias en polinomios.

Si definimos la base de Gröbner como , se puede obtener mediante una secuencia finita de pasos de reducción (división). ${\displaystyle \left\{b_{1}(z),...,b_{N}(z)\right\}}$ ${\displaystyle \left\{h_{1}(z),...,h_{N}(z)\right\}}$

Usando ingeniería inversa, podemos calcular los vectores base en términos de los vectores originales a través de una matriz de transformación como: ${\displaystyle b_{i}(z)}$ ${\displaystyle h_{j}(z)}$ ${\displaystyle K\times N}$ ${\displaystyle W_{ij}(z)}$

${\displaystyle b_{i}(z)=\sum _{j=1}^{N}W_{ij}(z)h_{j}(z),i=1,...,K}$

Bancos de filtros multidimensionales basados ​​en mapeo

El diseño de filtros con buenas respuestas de frecuencia es un desafío a través del enfoque de bases de Gröbner.
El diseño basado en mapeo se usa popularmente para diseñar bancos de filtros multidimensionales no separables con buenas respuestas de frecuencia. ^{[20] [21]}

Los enfoques de mapeo tienen ciertas restricciones en el tipo de filtros; sin embargo, trae muchas ventajas importantes, como la implementación eficiente a través de estructuras de elevación/escalera. Aquí proporcionamos un ejemplo de bancos de filtros de dos canales en 2D con matriz de muestreo Tendríamos varias opciones posibles de respuestas de frecuencia ideales del filtro de canal y . (Tenga en cuenta que los otros dos filtros y están soportados en regiones complementarias). Todas las regiones de frecuencia en la Figura pueden ser muestreadas críticamente por la red rectangular abarcada por . Entonces imagine que el banco de filtros logra una reconstrucción perfecta con filtros FIR. Luego, de la caracterización del dominio polifásico se deduce que los filtros H1(z) y G1(z) están completamente especificados por H0(z) y G0(z), respectivamente. Por lo tanto, necesitamos diseñar H0(x) y G0(z) que tengan las respuestas de frecuencia deseadas y satisfagan las condiciones del dominio polifásico. Hay diferentes técnicas de mapeo que se pueden utilizar para obtener el resultado anterior. ^[22]
${\displaystyle D_{1}=\left[{\begin{array}{cc}2&0\\0&1\end{array}}\right]}$ ${\displaystyle H_{0}(\xi )}$ ${\displaystyle G_{0}(\xi )}$ ${\displaystyle H_{1}(\xi )}$ ${\displaystyle G_{1}(\xi )}$
${\displaystyle D_{1}}$
${\displaystyle H_{0}(z_{1},z_{2})G_{0}(z_{1},z_{2})+H_{0}(-z_{1},z_{2})G_{0}(-z_{1},z_{2})=2}$

Diseño de bancos de filtros en el dominio de la frecuencia

Cuando no se necesita una reconstrucción perfecta, el problema de diseño se puede simplificar trabajando en el dominio de la frecuencia en lugar de utilizar filtros FIR. ^{[23] [24]}
Tenga en cuenta que el método del dominio de la frecuencia no se limita al diseño de bancos de filtros no submuestreados (lea ^[25] ).

Optimización directa en el dominio de la frecuencia

Muchos de los métodos existentes para diseñar bancos de filtros de dos canales se basan en la técnica de transformación de variables. Por ejemplo, la transformada de McClellan se puede utilizar para diseñar bancos de filtros unidimensionales de dos canales. Aunque los bancos de filtros bidimensionales tienen muchas propiedades similares al prototipo unidimensional, es difícil extenderlo a más de dos casos de canales. ^[26]

En Nguyen, ^[26] los autores hablan sobre el diseño de bancos de filtros multidimensionales mediante optimización directa en el dominio de frecuencia. El método propuesto aquí se centra principalmente en el diseño de bancos de filtros 2D de M canales. El método es flexible hacia configuraciones de soporte de frecuencia. Los bancos de filtros 2D diseñados por optimización en el dominio de frecuencia se han utilizado en Wei ^[27] y Lu. ^[28] En el artículo de Nguyen, ^[26] el método propuesto no se limita al diseño de bancos de filtros 2D de dos canales; el enfoque se generaliza a bancos de filtros de M canales con cualquier matriz de submuestreo crítica. Según la implementación en el artículo, se puede utilizar para lograr un diseño de bancos de filtros 2D de hasta 8 canales.

(6) Matriz de cubierta inversa ^[29]

En el artículo de Lee de 1999, ^[29] los autores hablan sobre el diseño de un banco de filtros multidimensional utilizando una matriz de cubierta inversa . Sea H una matriz de Hadamard de orden n , la transpuesta de H está estrechamente relacionada con su inversa. La fórmula correcta es: , donde I _n es la matriz identidad n×n y H ^T es la transpuesta de H . En el artículo de 1999, ^[29] los autores generalizan la matriz de cubierta inversa [RJ] _N utilizando matrices de Hadamard y matrices de Hadamard ponderadas. ^{[30] [31]} ${\displaystyle HH^{T}=I_{n}}$

En este artículo, los autores propusieron que el filtro FIR con 128 tomas se utilizara como filtro básico y se calculó el factor de diezmado para matrices RJ. Realizaron simulaciones basadas en diferentes parámetros y lograron un rendimiento de buena calidad con un factor de diezmado bajo.

Bancos de filtros direccionales

Bamberger y Smith propusieron un banco de filtros direccionales (DFB) 2D. ^[32] El DFB se implementa de manera eficiente a través de una descomposición con estructura de árbol de nivel l que conduce a subbandas con una partición de frecuencia en forma de cuña (ver Figura). La construcción original del DFB implica modular la señal de entrada y usar filtros en forma de diamante. Además, para obtener la partición de frecuencia deseada, se debe seguir una complicada regla de expansión de árbol. ^[33] Como resultado, las regiones de frecuencia para las subbandas resultantes no siguen un ordenamiento simple como se muestra en la Figura 9 en función de los índices de canal. ${\displaystyle 2^{l}}$

La primera ventaja de DFB es que no sólo no es una transformación redundante, sino que también ofrece una reconstrucción perfecta. Otra ventaja de DFB es su selectividad direccional y su estructura eficiente. Esta ventaja hace de DFB un enfoque apropiado para muchos usos de procesamiento de señales e imágenes (por ejemplo, pirámide laplaciana, construcción de contourlets, ^[34] representación de imágenes dispersas, imágenes médicas, ^[35] etc.).

Los bancos de filtros direccionales se pueden desarrollar a mayores dimensiones. Se pueden utilizar en 3D para lograr el seccionamiento de frecuencia.

Transceptor de banco de filtros

Los bancos de filtros son elementos importantes para la capa física en las comunicaciones inalámbricas de banda ancha, donde el problema es el procesamiento eficiente de múltiples canales en banda base. Una arquitectura de transceptor basada en bancos de filtros elimina los problemas de escalabilidad y eficiencia observados por esquemas anteriores en el caso de canales no contiguos. Es necesario un diseño de filtro adecuado para reducir la degradación del rendimiento causada por el banco de filtros. Para obtener diseños de aplicación universal, se pueden hacer suposiciones moderadas sobre el formato de la forma de onda, las estadísticas del canal y el esquema de codificación/decodificación. Se pueden utilizar metodologías de diseño heurístico y óptimo, y es posible obtener un rendimiento excelente con una baja complejidad siempre que el transceptor funcione con un factor de sobremuestreo razonablemente grande. Una aplicación práctica es la transmisión OFDM, donde proporcionan un rendimiento muy bueno con una pequeña complejidad adicional. ^[36]

Notas

1. El término filtro implica que conserva la información dentro de su banda de paso y suprime la información (o ruido) fuera de la banda de paso. Cuando la tasa de FFT no es suficiente para eso, el diseño se denomina típicamente analizador de espectro . Y en ese caso, no es necesario que los segmentos se superpongan.

Referencias

1. Sarangi, Susanta; Sahidullah, Md; Saha, Goutam (septiembre de 2020). "Optimización del banco de filtros basado en datos para la verificación automática de hablantes". Procesamiento de señales digitales . 104 : 102795. arXiv : 2007.10729 . Código Bibliográfico :2020DSP...10402795S. doi :10.1016/j.dsp.2020.102795. S2CID  220665533.
2. Crochiere, RE; Rabiner, LR (1983). "7.2". Procesamiento de señales digitales de múltiples frecuencias . Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall. págs. 313–323. ISBN 0136051626.
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Lectura adicional

• Harris, Fredric J. (2004). Procesamiento de señales multifrecuencia para sistemas de comunicación . Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall PTR. ISBN 0-13-146511-2.