Muestreo ascendente

Método de remuestreo de señal digital

En el procesamiento de señales digitales , el sobremuestreo , la expansión y la interpolación son términos asociados con el proceso de remuestreo en un sistema de procesamiento de señales digitales de múltiples frecuencias . El sobremuestreo puede ser sinónimo de expansión , o puede describir un proceso completo de expansión y filtrado ( interpolación ). ^{[1] [2] [3]} Cuando el sobremuestreo se realiza en una secuencia de muestras de una señal u otra función continua, produce una aproximación de la secuencia que se habría obtenido al muestrear la señal a una mayor frecuencia (o densidad , como en el caso de una fotografía). Por ejemplo, si el audio de un disco compacto a 44.100 muestras/segundo se sobremuestrea por un factor de 5/4, la frecuencia de muestreo resultante es 55.125.

Fig. 1: Representación de un producto escalar, que da como resultado una muestra de salida (en verde), para el caso L=4, n=9, j=3. Se representan tres "ceros insertados" conceptuales entre cada par de muestras de entrada. Su omisión del cálculo es lo que distingue a un filtro multifrecuencia de un filtro monofrecuencia.

Muestreo ascendente por un factor entero

El aumento de la tasa en un factor entero se puede explicar como un proceso de dos pasos, con una implementación equivalente que es más eficiente : ^[4] ${\displaystyle L}$

1. Expansión : crea una secuencia que comprende las muestras originales, separadas por ceros. Una notación para esta operación es : ${\displaystyle x_{L}[n],}$ ${\displaystyle x[n],}$ ${\displaystyle L-1}$  ${\displaystyle x_{L}[n]=x[n]_{\uparrow L}.}$
2. Interpolación : Suaviza las discontinuidades utilizando un filtro de paso bajo , que reemplaza los ceros.

En esta aplicación, el filtro se denomina filtro de interpolación y su diseño se analiza a continuación. Cuando el filtro de interpolación es de tipo FIR , se puede mejorar su eficiencia, porque los ceros no contribuyen en nada a sus cálculos de producto escalar . Es fácil omitirlos tanto del flujo de datos como de los cálculos. El cálculo realizado por un filtro FIR de interpolación de múltiples frecuencias para cada muestra de salida es un producto escalar : ^[a]

donde la secuencia es la respuesta al impulso del filtro de interpolación, y es el valor más grande de para el cual no es cero. ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle h[j+kL]}$

En este caso,   la función puede diseñarse como un filtro de media banda , donde casi la mitad de los coeficientes son cero y no es necesario incluirlos en los productos puntuales. Los coeficientes de respuesta al impulso tomados a intervalos de forman una subsecuencia, y existen tales subsecuencias (llamadas fases ) multiplexadas juntas. Cada una de las fases de la respuesta al impulso filtra los mismos valores secuenciales del flujo de datos y produce uno de los valores de salida secuenciales. En algunas arquitecturas de múltiples procesadores, estos productos puntuales se realizan simultáneamente, en cuyo caso se denomina filtro polifásico . ${\displaystyle L=2,}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle L}$

Para completar, ahora mencionamos que una posible, pero improbable, implementación de cada fase es reemplazar los coeficientes de las otras fases con ceros en una copia de la matriz y procesar la   secuencia a veces más rápido que la tasa de entrada original. Entonces , todas las salidas son cero. La secuencia deseada es la suma de las fases, donde los términos de cada suma son idénticamente cero. Calcular ceros entre las salidas útiles de una fase y agregarlos a una suma es efectivamente una decimación. Es el mismo resultado que no calcularlos en absoluto. Esa equivalencia se conoce como la segunda identidad de Noble . ^[5] A veces se utiliza en derivaciones del método polifásico. ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle x_{L}[n]}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L-1}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle L-1}$ ${\displaystyle L-1}$

Diseño de filtro de interpolación

Fig. 2: El primer triángulo del primer gráfico representa la transformada de Fourier X ( f ) de una función continua x(t) . La totalidad del primer gráfico representa la transformada de Fourier de tiempo discreto de una secuencia x[n] formada mediante el muestreo de la función continua x(t) a una tasa baja de 1/T . El segundo gráfico representa la aplicación de un filtro de paso bajo a una tasa de datos más alta, implementada mediante la inserción de muestras de valor cero entre las originales. Y el tercer gráfico es la DTFT de la salida del filtro. La tabla inferior expresa el ancho de banda máximo del filtro en varias unidades de frecuencia utilizadas por las herramientas de diseño de filtros.

Sea la transformada de Fourier de cualquier función, cuyas muestras en algún intervalo, sean iguales a la secuencia. Entonces, la transformada de Fourier de tiempo discreto (DTFT) de la secuencia es la representación en serie de Fourier de una suma periódica de ^[b] ${\displaystyle X(f)}$ ${\displaystyle x(t),}$ ${\displaystyle T,}$ ${\displaystyle x[n]}$ ${\displaystyle x[n]}$ ${\displaystyle X(f):}$

Cuando tiene unidades de segundos, tiene unidades de hercios (Hz) . Los tiempos de muestreo más rápidos (en intervalos ) aumentan la periodicidad en un factor de ^[c] ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle T/L}$ ${\displaystyle L:}$

que es también el resultado deseado de la interpolación. Un ejemplo de ambas distribuciones se representa en el primer y tercer gráfico de la figura 2. ^[6] 

Cuando las muestras adicionales son ceros insertados, disminuyen el intervalo de muestra a Omitiendo los términos de valor cero de la serie de Fourier, se puede escribir como: ${\displaystyle T/L.}$

${\displaystyle \sum _{n=0,\pm L,\pm 2L,...,\pm \infty }{}x(nT/L)\ e^{-i2\pi fnT/L}\quad {\stackrel {m\ \triangleq \ n/L}{\longrightarrow }}\sum _{m=0,\pm 1,\pm 2,...,\pm \infty }{}x(mT)\ e^{-i2\pi fmT},}$

que es equivalente a la ecuación 2, independientemente del valor de Esa equivalencia se representa en el segundo gráfico de la figura 2. La única diferencia es que el ancho de banda digital disponible se expande a , lo que aumenta el número de imágenes espectrales periódicas dentro del nuevo ancho de banda. Algunos autores describen eso como nuevos componentes de frecuencia. ^[7]   El segundo gráfico también representa un filtro de paso bajo y que da como resultado la distribución espectral deseada (tercer gráfico). El ancho de banda del filtro es la frecuencia de Nyquist de la secuencia original. ^[A]   En unidades de Hz, ese valor es   pero las aplicaciones de diseño de filtros generalmente requieren unidades normalizadas . (ver la figura 2, tabla) ${\displaystyle L.}$ ${\displaystyle L/T}$ ${\displaystyle L=3,}$ ${\displaystyle x[n]}$ ${\displaystyle {\tfrac {0.5}{T}},}$

Muestreo ascendente por un factor fraccionario

Sea L / M el factor de sobremuestreo, donde L  >  M .

1. Muestreo superior por un factor de L
2. Reducir la muestra por un factor de M

El sobremuestreo requiere un filtro de paso bajo después de aumentar la velocidad de datos, y el submuestreo requiere un filtro de paso bajo antes de la decimación. Por lo tanto, ambas operaciones se pueden lograr con un solo filtro con la frecuencia de corte más baja de las dos. Para el caso L  >  M , el corte del filtro de interpolación,   ciclos por muestra intermedia , es la frecuencia más baja. ${\displaystyle {\tfrac {0.5}{L}}}$

Véase también

• Reducción de muestreo
• Procesamiento de señales digitales de múltiples velocidades
• Filtro de media banda
• Sobremuestreo
• Muestreo (teoría de la información)
• Señal (teoría de la información)
• Conversión de datos
• Interpolación
• Fórmula de suma de Poisson

Notas

1. Los filtros de paso bajo que se pueden realizar tienen una banda de transición en la que la respuesta disminuye desde cerca de la unidad hasta cerca de cero. Por lo tanto, en la práctica, la frecuencia de corte se coloca lo suficientemente por debajo del corte teórico como para que la banda de transición del filtro quede contenida por debajo del corte teórico.

Citas de páginas

1. Crochiere y Rabiner "2.3". p 38. ecuación 2.80, donde     también se requiere     y   ${\displaystyle m\triangleq j+nL,}$ ${\displaystyle n={\bigl \lfloor }{\tfrac {m}{L}}{\bigr \rfloor },}$ ${\displaystyle j=m-nL.}$
2. Harris 2004. "2.2". pág. 23. fig 2.12 (arriba).
3. Harris 2004. "2.2". pág. 23. fig 2.12 (abajo).

Referencias

1. Oppenheim, Alan V .; Schafer, Ronald W.; Buck, John R. (1999). "4.6.2" . Procesamiento de señales en tiempo discreto (2.ª ed.). Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. pág. 172. ISBN 0-13-754920-2.
2. Crochiere, RE; Rabiner, LR (1983). "2.3". Procesamiento de señales digitales de múltiples frecuencias. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall. págs. 35-36. ISBN 0136051626.
3. Poularikas, Alexander D. (septiembre de 1998). Manual de fórmulas y tablas para el procesamiento de señales (1.ª edición). CRC Press. pp. 42–48. ISBN 0849385792.
4. Harris, Frederic J. (24 de mayo de 2004). "2.2". Procesamiento de señales multifrecuencia para sistemas de comunicación . Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall PTR. págs. 20-21. ISBN 0131465112El proceso de sobremuestreo se puede visualizar como una progresión de dos pasos. El proceso comienza aumentando la frecuencia de muestreo de una serie de entrada x(n) mediante un remuestreo [ expansión]. La serie temporal empaquetada en ceros se procesa mediante un filtro h(n). En realidad, los procesos de aumento de la frecuencia de muestreo y reducción del ancho de banda se fusionan en un solo proceso llamado filtro multifrecuencia.
5. Strang, Gilbert ; Nguyen, Truong (1 de octubre de 1996). Wavelets y bancos de filtros (2.ª edición). Wellesley, MA: Wellesley-Cambridge Press. pág. 101. ISBN 0961408871.las Identidades Nobles se aplican a cada componente polifásico... no se aplican a todo el filtro.
6. Tan, Li (21 de abril de 2008). "Upsampling and downsampling". eetimes.com . EE Times . Consultado el 27 de junio de 2024 . capítulo 12.1.2, figura 12-5B
7. Lyons, Rick (23 de marzo de 2015). "Por qué el relleno de ceros en el dominio del tiempo produce múltiples imágenes espectrales en el dominio de la frecuencia". dsprelated.com . Archivado desde el original el 30 de septiembre de 2023 . Consultado el 31 de enero de 2024 .

Lectura adicional

• "Página de inicio de remuestreo de audio digital".(analiza una técnica para la interpolación de banda limitada)
• "Ejemplo de Matlab del uso de filtros polifásicos para interpolación".