Matriz de la chaqueta

En matemáticas , una matriz de chaqueta es una matriz simétrica cuadrada de orden n si sus entradas son distintas de cero y reales , complejas o de un cuerpo finito , y ${\displaystyle A=(a_{ij})}$

Jerarquía de tipos de matrices

${\displaystyle \ AB=BA=I_{n}}$

donde I _n es la matriz identidad , y

${\displaystyle \ B={1 \over n}(a_{ij}^{-1})^{T}.}$

donde T denota la transpuesta de la matriz.

En otras palabras, la inversa de una matriz de cubierta se determina por su inversa elemento por elemento o bloque por elemento. La definición anterior también se puede expresar como:

${\displaystyle \forall u,v\in \{1,2,\dots ,n\}:~a_{iu},a_{iv}\neq 0,~~~~\sum _{i=1}^{n}a_{iu}^{-1}\,a_{iv}={\begin{cases}n,&u=v\\0,&u\neq v\end{cases}}}$

La matriz de chaqueta es una generalización de la matriz de Hadamard ; es una matriz inversa en bloques diagonales .

Motivación

Como se muestra en la tabla, es decir, en la serie, por ejemplo con n = 2, hacia adelante: , hacia atrás  : , entonces, . Es decir, existe una inversa elemento por elemento. ${\displaystyle 2^{2}=4}$ ${\displaystyle (2^{2})^{-1}={1 \over 4}}$ ${\displaystyle 4*{1 \over 4}=1}$

Ejemplo 1.

${\displaystyle A=\left[{\begin{array}{rrrr}1&1&1&1\\1&-2&2&-1\\1&2&-2&-1\\1&-1&-1&1\\\end{array}}\right],}$: ${\displaystyle B={1 \over 4}\left[{\begin{array}{rrrr}1&1&1&1\\[6pt]1&-{1 \over 2}&{1 \over 2}&-1\\[6pt]1&{1 \over 2}&-{1 \over 2}&-1\\[6pt]1&-1&-1&1\\[6pt]\end{array}}\right].}$

o más general

${\displaystyle A=\left[{\begin{array}{rrrr}a&b&b&a\\b&-c&c&-b\\b&c&-c&-b\\a&-b&-b&a\end{array}}\right],}$: ${\displaystyle B={1 \over 4}\left[{\begin{array}{rrrr}{1 \over a}&{1 \over b}&{1 \over b}&{1 \over a}\\[6pt]{1 \over b}&-{1 \over c}&{1 \over c}&-{1 \over b}\\[6pt]{1 \over b}&{1 \over c}&-{1 \over c}&-{1 \over b}\\[6pt]{1 \over a}&-{1 \over b}&-{1 \over b}&{1 \over a}\end{array}}\right],}$

Ejemplo 2.

Para matrices mxm, ${\displaystyle \mathbf {A_{j}} ,}$

${\displaystyle \mathbf {A_{j}} =\mathrm {diag} (A_{1},A_{2},..A_{n})}$denota una matriz de Jacket diagonal en bloques mn x mn.

${\displaystyle J_{4}=\left[{\begin{array}{rrrr}I_{2}&0&0&0\\0&\cos \theta &-\sin \theta &0\\0&\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&0&I_{2}\end{array}}\right],}$ ${\displaystyle \ J_{4}^{T}J_{4}=J_{4}J_{4}^{T}=I_{4}.}$

Ejemplo 3.

Fórmula de Euler :

${\displaystyle e^{i\pi }+1=0}$, y . ${\displaystyle e^{i\pi }=\cos {\pi }+i\sin {\pi }=-1}$ ${\displaystyle e^{-i\pi }=\cos {\pi }-i\sin {\pi }=-1}$

Por lo tanto,

${\displaystyle e^{i\pi }e^{-i\pi }=(-1)({\frac {1}{-1}})=1}$.

También,

${\displaystyle y=e^{x}}$

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=e^{x}}$, . ${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}{\frac {dx}{dy}}=e^{x}{\frac {1}{e^{x}}}=1}$

Finalmente,

A · B = B · A = yo

Ejemplo 4.

Consideremos matrices de bloques de orden 2x2. ${\displaystyle [\mathbf {A} ]_{N}}$ ${\displaystyle N=2p}$ 

${\displaystyle [\mathbf {A} ]_{N}=\left[{\begin{array}{rrrr}\mathbf {A} _{0}&\mathbf {A} _{1}\\\mathbf {A} _{1}&\mathbf {A} _{0}\\\end{array}}\right],}$.

Si y son matrices de chaqueta pxp, entonces es una matriz circulante en bloque si y solo si , donde rt denota la transpuesta recíproca. ${\displaystyle [\mathbf {A} _{0}]_{p}}$ ${\displaystyle [\mathbf {A} _{1}]_{p}}$ ${\displaystyle [A]_{N}}$ ${\displaystyle \mathbf {A} _{0}\mathbf {A} _{1}^{rt}+\mathbf {A} _{1}^{rt}\mathbf {A} _{0}}$

Ejemplo 5.

Sea y , entonces la matriz está dada por ${\displaystyle \mathbf {A} _{0}=\left[{\begin{array}{rrrr}-1&1\\1&1\\\end{array}}\right],}$ ${\displaystyle \mathbf {A} _{1}=\left[{\begin{array}{rrrr}-1&-1\\-1&1\\\end{array}}\right],}$ ${\displaystyle [\mathbf {A} ]_{N}}$

${\displaystyle [\mathbf {A} ]_{4}=\left[{\begin{array}{rrrr}\mathbf {A} _{0}&\mathbf {A} _{1}\\\mathbf {A} _{0}&\mathbf {A} _{1}\\\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{rrrr}-1&1&-1&-1\\1&1&-1&1\\-1&1&-1&-1\\1&1&-1&1\\\end{array}}\right],}$,

${\displaystyle [\mathbf {A} ]_{4}}$⇒ ${\displaystyle \left[{\begin{array}{rrrr}U&C&A&G\\\end{array}}\right]^{T}\otimes \left[{\begin{array}{rrrr}U&C&A&G\\\end{array}}\right]\otimes \left[{\begin{array}{rrrr}U&C&A&G\\\end{array}}\right]^{T},}$

donde U , C , A , G denota la cantidad de nucleobases de ADN y la matriz es la matriz Jacket circulante en bloque que conduce al principio del Antagonismo con la matriz del Código Genético de Nirenberg. ${\displaystyle [\mathbf {A} ]_{4}}$

Referencias

[1] Moon Ho Lee, "La transformada de Hadamard ponderada al centro", IEEE Transactions on Circuits Syst. Vol. 36, No. 9, PP. 1247–1249, septiembre de 1989.

[2] Kathy Horadam, Matrices de Hadamard y sus aplicaciones , Princeton University Press, Reino Unido, Capítulo 4.5.1: La construcción de la matriz de chaqueta, págs. 85–91, 2007.

[3] Moon Ho Lee, Matrices de chaqueta: construcciones y sus aplicaciones para el procesamiento rápido y cooperativo de señales inalámbricas , LAP LAMBERT Publishing, Alemania, noviembre de 2012.

[4] Moon Ho Lee, et. al., "Método y sistema de comunicación MIMO que utiliza la matriz de camisa circulante en bloque", patente estadounidense, n.º US 009356671B1, mayo de 2016.

[5] SK Lee y MH Lee, “El análisis del código genético ADN-ARN de COVID-19 utilizando la teoría de la información de la matriz estocástica doble”, IntechOpen, capítulo de libro, 17 de abril de 2022. [Disponible en línea: https://www.intechopen.com/chapters/81329].

Enlaces externos

• Informe técnico: Función lineal-fraccional, curvas elípticas y matrices de jacket parametrizadas
• Matriz de chaqueta y sus algoritmos rápidos para el procesamiento cooperativo de señales inalámbricas
• Matrices de cubierta: construcciones y sus aplicaciones para el procesamiento rápido y cooperativo de señales inalámbricas