Lista de conjeturas de Paul Erdős

El prolífico matemático Paul Erdős y sus diversos colaboradores hicieron muchas conjeturas matemáticas famosas sobre un amplio campo de temas y, en muchos casos, Erdős ofreció recompensas monetarias por resolverlas.

No resuelto

• La conjetura de Erdős-Gyárfás sobre ciclos con longitudes iguales a una potencia de dos en grafos con grado mínimo 3.
• La conjetura de Erdős-Hajnal de que en una familia de grafos definidos por un subgrafo inducido excluido, cada grafo tiene una camarilla grande o un conjunto independiente grande. ^[1]
• La conjetura de Erdős–Mollin–Walsh sobre triples consecutivos de números potentes.
• La conjetura de Erdős-Selfridge de que un sistema de recubrimiento con módulos distintos contiene al menos un módulo par.
• La conjetura de Erdős-Straus sobre la ecuación diofántica 4/ n = 1/ x + 1/ y + 1/ z .
• La conjetura de Erdős sobre progresiones aritméticas en sucesiones con sumas divergentes de recíprocos.
• La conjetura de Erdős-Szekeres sobre el número de puntos necesarios para garantizar que un conjunto de puntos contenga un polígono convexo grande.
• La conjetura de Erdős-Turán sobre bases aditivas de números naturales.
• Una conjetura sobre secuencias de números enteros de rápido crecimiento con series recíprocas racionales .
• Una conjetura con Norman Oler ^[2] sobre el empaquetamiento de círculos en un triángulo equilátero con un número de círculos uno menos que un número triangular .
• El problema de superposición mínima para estimar el límite de M ( n ).
• Una conjetura de que la expansión ternaria de contiene al menos un dígito 2 para cada . ^[3] ${\displaystyle 2^{n}}$ ${\displaystyle n>8}$
• La conjetura de que la ecuación de Erdős–Moser , 1 ^k + 2 ^k + ⋯ + ( m – 1) ^k = m ^k , no tiene soluciones excepto 1 ¹ + 2 ¹ = 3 ¹ .

Resuelto

• La conjetura de Erdős–Faber–Lovász sobre las uniones de coloración de camarillas, demostrada (para todos los n grandes) por Dong Yeap Kang, Tom Kelly, Daniela Kühn , Abhishek Methuku y Deryk Osthus . ^[4]
• La conjetura de suma de Erdős sobre conjuntos, demostrada por Joel Moreira, Florian Karl Richter y Donald Robertson en 2018. La prueba apareció en " Annals of Mathematics " en marzo de 2019. ^[5]
• La conjetura de Burr-Erdős sobre los números de Ramsey de los grafos, demostrada por Choongbum Lee en 2015. ^{[6] [7]}
• Una conjetura sobre coloraciones equitativas probada en 1970 por András Hajnal y Endre Szemerédi y ahora conocida como teorema de Hajnal-Szemerédi . ^[8]
• Una conjetura que habría fortalecido el teorema de Furstenberg-Sárközy para afirmar que el número de elementos en un conjunto libre de diferencias cuadradas de números enteros positivos solo podría exceder la raíz cuadrada de su valor más grande por un factor polilogarítmico, refutada por András Sárközy en 1978. ^[9]
• La conjetura de Erdős-Lovász sobre sistemas delta débiles/fuertes, demostrada por Michel Deza en 1974. ^[10]
• La conjetura de Erdős-Heilbronn en la teoría de números combinatorios sobre el número de sumas de dos conjuntos de residuos módulo un primo, demostrada por Dias da Silva y Hamidoune en 1994. ^[11]
• La conjetura de Erdős-Graham en la teoría de números combinatorios sobre representaciones fraccionarias egipcias monocromáticas de la unidad, demostrada por Ernie Croot en 2000. ^[12]
• La conjetura de Erdős-Stewart sobre la ecuación diofántica n ! + 1 =  p _k ^a  p _{k +1} ^b , resuelta por Florian Luca en 2001. ^[13]
• La conjetura de Cameron-Erdős sobre conjuntos de números enteros sin suma, demostrada por Ben Green y Alexander Sapozhenko en 2003-2004. ^[14]
• La conjetura de Erdős-Menger sobre caminos disjuntos en grafos infinitos, demostrada por Ron Aharoni y Eli Berger en 2009. ^[15]
• Problema de las distancias distintas de Erdős . El exponente correcto fue demostrado en 2010 por Larry Guth y Nets Katz , pero la potencia correcta de log  n aún no está determinada. ^[16]
• La conjetura de Erdős-Rankin sobre los huecos primos, demostrada por Ford , Green , Konyagin y Tao en 2014. ^[17]
• El problema de discrepancia de Erdős en sumas parciales de secuencias ±1. Terence Tao anunció una solución en septiembre de 2015; se publicó en 2016. ^[18]
• La conjetura de Erdős de que los coeficientes binomiales centrales C(2 n , n ) nunca son libres de cuadrados para n > 4 fue demostrada en 1996. ^{[19] [20]}
• La conjetura del conjunto primitivo de Erdős de que la suma de cualquier conjunto primitivo A (un conjunto donde ningún miembro del conjunto divide a otro miembro) alcanza su máximo en el conjunto de números primos, demostrada por Jared Duker Lichtman en 2022. ^{[21] [22] [23]} ${\displaystyle \sum _{n\in A}{\frac {1}{n\log n}}}$
• El problema de Erdős-Sauer sobre el número máximo de aristas que puede tener un grafo de n-vértices sin contener un subgrafo k- regular , resuelto por Oliver Janzer y Benny Sudakov ^{[24] [25]}

Véase también

• Lista de cosas que llevan el nombre de Paul Erdős

Referencias

1. Erdős, P. ; Hajnal, A. (1989), "Teoremas de tipo Ramsey", Combinatoria y complejidad (Chicago, IL, 1987), Matemáticas Aplicadas Discretas , 25 (1–2): 37–52, doi : 10.1016/0166-218X(89)90045-0 , MR  1031262.
2. Oler, Norman (1961), "Un problema de empaquetamiento finito", Canadian Mathematical Bulletin , 4 (2): 153–155, doi : 10.4153/CMB-1961-018-7 , MR  0133065.
3. Lagarias, Jeffrey C. (2009), "Expansiones ternarias de potencias de 2", Journal of the London Mathematical Society , Segunda serie, 79 (3): 562–588, arXiv : math/0512006 , doi :10.1112/jlms/jdn080, MR  2506687, S2CID  15615918
4. Houston-Edwards, Kelsey (5 de abril de 2021), "Los matemáticos resuelven la conjetura de coloración de Erdős", Quanta Magazine , consultado el 5 de abril de 2021
5. Moreira, J.; Richter, FK; Robertson, D. (2019), "Una prueba de una conjetura resumida de Erdős", Annals of Mathematics , 189 (2): 605–652, arXiv : 1803.00498 , doi : 10.4007/annals.2019.189.2.4, MR  3919363, S2CID  119158401, Zbl  1407.05236.
6. Kalai, Gil (22 de mayo de 2015), "Choongbum Lee demostró la conjetura de Burr-Erdős", Combinatoria y más , consultado el 22 de mayo de 2015
7. Lee, Choongbum (2017), "Números de Ramsey de grafos degenerados", Annals of Mathematics , 185 (3): 791–829, arXiv : 1505.04773 , doi :10.4007/annals.2017.185.3.2, S2CID  7974973
8. Hajnal, A .; Szemerédi, E. (1970), "Prueba de una conjetura de P. Erdős", Teoría combinatoria y sus aplicaciones, II (Proc. Colloq., Balatonfüred, 1969) , Holanda Septentrional, págs. 601–623, MR  0297607.
9. Sárközy, A. (1978), "Sobre conjuntos diferenciales de secuencias de números enteros. II", Annales Universitatis Scientiarum Budapestinensis de Rolando Eötvös Nominatae , 21 : 45–53 (1979), MR  0536201.
10. Deza, M. (1974), "Solution d'un problème de Erdős-Lovász", Journal of Combinatorial Theory , Serie B (en francés), 16 (2): 166–167, doi : 10.1016/0095-8956( 74)90059-8 , SEÑOR  0337635.
11. da Silva, Dias; A., J.; Hamidoune, YO (1994), "Espacios cíclicos para derivadas de Grassmann y teoría aditiva", Boletín de la Sociedad Matemática de Londres , 26 (2): 140–146, doi :10.1112/blms/26.2.140.
12. Croot, Ernest S. III (2000), Unit Fractions , tesis doctoral, Universidad de Georgia , Atenas. Croot, Ernest S. III (2003), "Sobre una conjetura de coloración acerca de fracciones unitarias", Anales de Matemáticas , 157 (2): 545–556, arXiv : math.NT/0311421 , Bibcode :2003math.....11421C, doi :10.4007/annals.2003.157.545, S2CID  13514070.
13. Luca, Florian (2001), "Sobre una conjetura de Erdős y Stewart", Matemáticas de la computación , 70 (234): 893–896, Bibcode :2001MaCom..70..893L, doi : 10.1090/S0025-5718-00-01178-9 , MR  1677411.
14. Sapozhenko, AA (2003), "La conjetura de Cameron-Erdős", Doklady Akademii Nauk , 393 (6): 749–752, SEÑOR  2088503. Green, Ben (2004), "La conjetura de Cameron-Erdős", Boletín de la Sociedad Matemática de Londres , 36 (6): 769–778, arXiv : math.NT/0304058 , doi :10.1112/S0024609304003650, MR  2083752, S2CID  119615076.
15. Aharoni, Ron ; Berger, Eli (2009), "Teorema de Menger para gráficos infinitos", Inventiones Mathematicae , 176 (1): 1–62, arXiv : math/0509397 , Bibcode :2009InMat.176....1A, doi :10.1007/s00222- 008-0157-3, S2CID  15355399.
16. Guth, Larry ; Katz, Nets H. (2015), "Sobre el problema de las distancias distintas de Erdős en el plano", Anales de Matemáticas , Segunda serie, 181 (1): 155–190, arXiv : 1011.4105 , doi : 10.4007/annals.2015.181.1.2.
17. Ford, Kevin; Green, Ben; Konyagin, Sergei; Tao, Terence (2016), "Grandes brechas entre números primos consecutivos", Anales de Matemáticas , Segunda serie, 183 (3): 935–974, arXiv : 1408.4505 , doi : 10.4007/annals.2016.183.3.4
18. Tao, Terence (2016). "El problema de la discrepancia de Erdős". Análisis discreto : 1–29. arXiv : 1509.05363 . doi :10.19086/da.609. ISSN  2397-3129. SEÑOR  3533300. S2CID  59361755.
19. Sárközy, A. (1985), "Sobre divisores de coeficientes binomiales. I", Journal of Number Theory , 20 (1): 70–80, doi : 10.1016/0022-314X(85)90017-4 , MR  0777971
20. Ramaré, Olivier; Granville, Andrew (1996), "Límites explícitos en sumas exponenciales y la escasez de coeficientes binomiales sin cuadrados", Mathematika , 43 (1): 73–107, doi :10.1112/S0025579300011608
21. Lichtman, Jared Duker (4 de febrero de 2022). "Una prueba de la conjetura del conjunto primitivo de Erdős". arXiv : 2202.02384 [math.NT].
22. Cepelewicz, Jordana (6 de junio de 2022). "El proyecto paralelo de un estudiante de posgrado demuestra la conjetura de los números primos". Quanta Magazine . Consultado el 6 de junio de 2022 .
23. Haran, Brady. "Primos y conjuntos primitivos". Numberphile . Consultado el 21 de junio de 2022 .
24. Janzer, Oliver; Sudakov, Benny (26 de abril de 2022). "Resolución del problema de Erdős-Sauer en subgrafos regulares". arXiv : 2204.12455 [math.CO].
25. "Una nueva prueba muestra cuándo debe surgir la estructura en los gráficos". Quanta Magazine . 2022-06-23 . Consultado el 2022-06-26 .

Enlaces externos

• Fan Chung, "Problemas abiertos de Paul Erdős en teoría de grafos"
• Fan Chung, versión viva de "Problemas abiertos de Paul Erdős en teoría de grafos"
• "Problemas de Erdős". Problemas de Erdős . Consultado el 31 de octubre de 2024 .