Empaquetamiento circular en un triángulo equilátero

Problema de empaquetamiento bidimensional

El empaquetamiento de círculos en un triángulo equilátero es un problema de empaquetamiento en matemáticas discretas donde el objetivo es empaquetar n círculos unitarios en el triángulo equilátero más pequeño posible . Se conocen soluciones óptimas para n < 13 y para cualquier número triangular de círculos, y existen conjeturas disponibles para n < 28. [ ^{1] [2] [3]}

Una conjetura de Paul Erdős y Norman Oler establece que, si n es un número triangular, entonces los empaquetamientos óptimos de n − 1 y de n círculos tienen la misma longitud de lado: es decir, según la conjetura, un empaquetamiento óptimo para n − 1 círculos se puede encontrar eliminando cualquier círculo individual del empaquetamiento hexagonal óptimo de n círculos. ^[4] Ahora se sabe que esta conjetura es verdadera para n ≤ 15 . ^[5]

Soluciones mínimas para la longitud del lado del triángulo: ^[1]

Un problema estrechamente relacionado es cubrir el triángulo equilátero con un número fijo de círculos iguales, que tengan el radio más pequeño posible. ^[6]

Véase también

• Empaquetamiento circular en un triángulo rectángulo isósceles
• Círculos de Malfatti , tres círculos de tamaños posiblemente desiguales empaquetados en un triángulo

Referencias

1. Melissen, Hans (1993), "Empaquetamientos más densos de círculos congruentes en un triángulo equilátero", The American Mathematical Monthly , 100 (10): 916–925, doi :10.2307/2324212, JSTOR  2324212, MR  1252928.
2. Melissen, JBM; Schuur, PC (1995), "Empaquetado de 16, 17 o 18 círculos en un triángulo equilátero", Discrete Mathematics , 145 (1–3): 333–342, doi : 10.1016/0012-365X(95)90139-C , MR  1356610.
3. Graham, RL ; Lubachevsky, BD (1995), "Empaquetamientos densos de discos iguales en un triángulo equilátero: de 22 a 34 y más allá", Electronic Journal of Combinatorics , 2 : Artículo 1, aprox. 39 pp. (electrónico), MR  1309122.
4. Oler, Norman (1961), "Un problema de empaquetamiento finito", Canadian Mathematical Bulletin , 4 (2): 153–155, doi : 10.4153/CMB-1961-018-7 , MR  0133065.
5. Payan, Charles (1997), "Empilement de cercles égaux dans un Triangle équilatéral. À propos d'une conjecture d'Erdős-Oler", Matemáticas discretas (en francés), 165/166: 555–565, doi : 10.1016/ S0012-365X(96)00201-4 , SEÑOR  1439300.
6. Nurmela, Kari J. (2000), "Recubrimientos conjeturalmente óptimos de un triángulo equilátero con hasta 36 círculos iguales", Experimental Mathematics , 9 (2): 241–250, doi :10.1080/10586458.2000.10504649, MR  1780209, S2CID  45127090.