Ladrillo Euler

En matemáticas , un ladrillo Euler , llamado así en honor a Leonhard Euler , es un cuboide rectangular cuyos bordes y diagonales de caras tienen longitudes enteras. Un ladrillo Euler primitivo es un ladrillo Euler cuyas longitudes de borde son relativamente excelentes . Un ladrillo de Euler perfecto es aquel cuya diagonal espacial es también un número entero, pero aún no se ha encontrado tal ladrillo.

Definición

La definición de un ladrillo de Euler en términos geométricos equivale a una solución del siguiente sistema de ecuaciones diofánticas :

{\begin{casos}a^{2}+b^{2}=d^{2}\\a^{2}+c^{2}=e^{2}\\b^{ 2}+c^{2}=f^{2}\end{casos}}

donde $a, b, c$ son las aristas y $d, e, f$ son las diagonales.

Propiedades

Si $(a, b, c)$ es una solución, entonces $(ka, kb, kc)$ también es una solución para cualquier $k$ . En consecuencia, las soluciones en números racionales son todas reescalaciones de soluciones enteras. Dado un ladrillo de Euler con longitudes de arista $(a, b, c)$ , el triple $(bc, ac, ab)$ constituye también un ladrillo de Euler. ^[1]^{: pág. 106}

Exactamente un borde y dos caras diagonales de un ladrillo de Euler primitivo son impares.

Al menos dos aristas de un ladrillo Euler son divisibles por 3. ^[1]^{: p. 106}

Al menos dos aristas de un ladrillo Euler son divisibles por 4. ^[1]^{: p. 106}

Al menos un borde de un ladrillo Euler es divisible por 11. ^[1]^{: p. 106}

Ejemplos

El ladrillo de Euler más pequeño, descubierto por Paul Halcke en 1719, tiene aristas $(a, b, c) = (44, 117, 240)$ y diagonales de caras $(d, e, f) = (125, 244, 267)$ . ^[2] A continuación se muestran algunas otras pequeñas soluciones primitivas, dadas como aristas $(a, b, c)$ - diagonales de caras $(d, e, f) :$

Generando fórmula

Euler encontró al menos dos soluciones paramétricas al problema, pero ninguna ofrece todas las soluciones. ^[3]

Se puede generar una infinidad de ladrillos de Euler con la fórmula paramétrica de Saunderson ^[4] . Sea $($ $u$ $,$ $v$ $,$ $w$ $)$ una terna pitagórica (es decir, $u$ $2$ $+$ $v$ $2$ $=$ $w$ $2$ ). Entonces ^[1]^{: 105} las aristas

a=u|4v^{2}-w^{2}|,\quad b=v|4u^{2}-w^{2}|,\quad c=4uvw

dar diagonales a la cara

d=w^{3},\quad e=u(4v^{2}+w^{2}),\quad f=v(4u^{2}+w^{2}).

Hay muchos ladrillos de Euler que no están parametrizados como se indicó anteriormente, por ejemplo, el ladrillo de Euler con aristas $(a, b, c) = (240, 252, 275)$ y diagonales de cara $(d, e, f) = (348, 365, 373)$ .

cuboide perfecto

Problema no resuelto en matemáticas :

¿Existe un cuboide perfecto?

(más problemas sin resolver en matemáticas)

Un cuboide perfecto (también llamado ladrillo de Euler perfecto o caja perfecta ) es un ladrillo de Euler cuya diagonal espacial también tiene una longitud entera. En otras palabras, se añade la siguiente ecuación al sistema de ecuaciones diofánticas que definen un ladrillo de Euler:

a^{2}+b^{2}+c^{2}=g^{2},

donde $g$ es la diagonal del espacio. Hasta mayo de 2023 ^[actualizar], no se había encontrado ningún ejemplo de cuboide perfecto y nadie ha demostrado que exista ninguno. ^[5]

Búsquedas exhaustivas por computadora muestran que, si existe un cuboide perfecto,

el borde impar debe ser mayor que 2,5 × 10 ¹³ , ^[5]
el borde más pequeño debe ser mayor que5 × 10 ¹¹ . ^[5]
la diagonal del espacio debe ser mayor que 9 × 10 ¹⁵ . ^[6]

Se conocen algunos hechos sobre las propiedades que debe satisfacer un cuboide perfecto primitivo , si existe, basado en la aritmética modular : ^[7]

Un borde, dos diagonales de cara y la diagonal del espacio deben ser impares, un borde y la diagonal de cara restante deben ser divisibles por 4 y el borde restante debe ser divisible por 16.
Dos aristas deben tener una longitud divisible por 3 y al menos una de esas aristas debe tener una longitud divisible por 9.
Un borde debe tener una longitud divisible por 5.
Un borde debe tener una longitud divisible por 7.
Un borde debe tener una longitud divisible por 11.
Un borde debe tener una longitud divisible por 19.
Una arista o diagonal del espacio debe ser divisible por 13.
Una arista, diagonal de cara o diagonal de espacio debe ser divisible por 17.
Una arista, diagonal de cara o diagonal de espacio debe ser divisible por 29.
Una arista, diagonal de cara o diagonal de espacio debe ser divisible por 37.

Además:

La diagonal espacial no es una potencia prima ni un producto de dos primos . ^[8]^{: pág. 579}
La diagonal espacial sólo puede contener divisores primos ≡ 1(mod 4). ^[8]^{: pág. 566}^[9]

Si existe un cuboide perfecto y sus aristas son las diagonales de la cara correspondientes y la diagonal del espacio , entonces $a,b,c$ $d,e,f$ $g$

El triángulo con las longitudes de los lados es un triángulo heroniano y un área con bisectrices de ángulos racionales. ^[10] $(d^{2},e^{2},f^{2})$ $abcg$
El triángulo agudo con lados de longitud , los triángulos obtusos con lados de longitud son triángulos heronianos, con un área igual a . $(af,be,cd)$ $(bf,ae,gd),(ad,cf,ge),(ce,bd,gf)$ ${\frac {abcg}{2}}$

Conjeturas cuboides

Las tres conjeturas cuboides son tres proposiciones matemáticas que afirman la irreductibilidad de tres polinomios univariados con coeficientes enteros que dependen de varios parámetros enteros. Las conjeturas están relacionadas con el problema del cuboide perfecto. ^[11]^[12] Aunque no son equivalentes al problema del cuboide perfecto, si todas estas tres conjeturas son válidas, entonces no existen cuboides perfectos. No están ni probados ni refutados.

Conjetura del cuboide 1. Para dos números enteros coprimos positivos cualesquiera , el polinomio de octavo grado $a\neq u$

es irreducible sobre el anillo de números enteros $\mathbb {Z}$ .

Conjetura del cuboide 2. Para dos números enteros coprimos positivos cualesquiera, el polinomio de décimo grado $p\neq q$

es irreducible sobre el anillo de números enteros $\mathbb {Z}$ .

Conjetura del cuboide 3. Para tres números enteros coprimos positivos cualesquiera , , tales que ninguna de las condiciones $a$ $b$ $u$

se cumplen, el polinomio de duodécimo grado

es irreducible sobre el anillo de números enteros $\mathbb {Z}$ .

Cuboides casi perfectos

Un cuboide casi perfecto tiene 6 de las 7 longitudes racionales. Estos cuboides se pueden clasificar en tres tipos: cuboides de cuerpo , de arista y de cara . ^[13] En el caso del cuerpo cuboide, la diagonal del cuerpo (espacio) $g$ es irracional. Para el cuboide de aristas, una de las aristas $a, b, c$ es irracional. La cara cuboide tiene una de las diagonales de la cara $d, e, fi$ irracional.

El cuboide del cuerpo se conoce comúnmente como cuboide de Euler en honor a Leonhard Euler, quien analizó este tipo de cuboide. ^[14] También conocía los cuboides faciales y proporcionó el ejemplo (104, 153, 672). ^[15] Las tres longitudes enteras de aristas cuboides y las tres longitudes enteras de diagonales de una cara cuboide también pueden interpretarse como las longitudes de aristas de un tetraedro heroniano que también es un ortosquema de Schläfli . Hay infinitos cuboides faciales e infinitos ortoesquemas heronianos. ^[dieciséis]

Las soluciones más pequeñas para cada tipo de cuboides casi perfectos, dadas como aristas, diagonales de caras y diagonales del espacio $(a, b, c, d, e, f, g)$ , son las siguientes:

Cuerpo cuboide : $(44, 117, 240, 125, 244, 267, \sqrt 73225)$
Borde cuboide : $(520, 576, \sqrt 618849, 776, 943, 975, 1105)$
Cara cuboide : $(104, 153, 672, 185, 680, \sqrt 474993, 697)$

En julio de 2020 ^[update], se encontraron 167,043 cuboides con el borde entero más pequeño inferior a 200,000,000,027: 61,042 son cuboides de Euler (cuerpo), 16,612 son cuboides de borde con una longitud de borde de número complejo, 32,286 eran cuboides de borde y 57,103 eran cuboides de cara. ^[17]

En diciembre de 2017 ^[update], una búsqueda exhaustiva contó todos los cuboides de aristas y caras con la diagonal espacial entera más pequeña inferior a 1.125.899.906.842.624: 194.652 eran cuboides de aristas, 350.778 eran cuboides de caras. ^[6]

Paralelepípedo perfecto

Un paralelepípedo perfecto es un paralelepípedo con aristas de longitud entera, diagonales de cara y diagonales de cuerpo, pero no necesariamente con todos los ángulos rectos; un cuboide perfecto es un caso especial de paralelepípedo perfecto. En 2009, se demostró la existencia de decenas de paralelepípedos perfectos, ^[18] respondiendo a una pregunta abierta de Richard Guy . Algunos de estos paralelepípedos perfectos tienen dos caras rectangulares. El paralelepípedo perfecto más pequeño tiene aristas 271, 106 y 103; diagonales de cara corta 101, 266 y 255; diagonales de cara larga 183, 312 y 323; y diagonales del cuerpo 374, 300, 278 y 272.

Ver también

cuádruple pitagórico

Notas

^ abcde Wacław Sierpiński , Triángulos pitagóricos , Publicaciones de Dover, 2003 (ed. original 1962).
^ Visiones del infinito: los grandes problemas matemáticos por Ian Stewart, capítulo 17
^ Weisstein, Eric W. "Euler Brick". MundoMatemático .
^ Knill, Oliver (24 de febrero de 2009). "Ladrillos Euler perfectos para la búsqueda del tesoro" (PDF) . Mesa de matemáticas. Universidad Harvard .
^ abc Matson, Robert D. "Resultados de una búsqueda por computadora de un cuboide perfecto" (PDF) . problemas sin resolver.org . Consultado el 24 de febrero de 2020 .
^ ab Alexander Belogourov, Búsqueda distribuida de un cuboide perfecto, https://www.academia.edu/39920706/Distributed_search_for_a_perfect_cuboid
^ M. Kraitchik, Sobre ciertos cuboides racionales, Scripta Mathematica, volumen 11 (1945).
^ ab I. Korec, Límites inferiores de cuboides racionales perfectos, Matemáticas. Eslovaca, 42 (1992), núm. 5, pág. 565-582.
^ Ronald van Luijk, Sobre los cuboides perfectos, junio de 2000
^ Florian Luca (2000) "Cuboides perfectos y triángulos cuadrados perfectos", Revista de Matemáticas, 73:5, p. 400-401
^ Sharipov RA (2012). "cuboides perfectos y polinomios irreducibles". Diario de matemáticas de Ufa . 4 (1): 153–160. arXiv : 1108.5348 . Código Bib : 2011arXiv1108.5348S.
^ Sharipov RA (2015). "Aproximación asintótica al problema del cuboide perfecto". Diario de matemáticas de Ufa . 7 (3): 100-113. doi : 10.13108/2015-7-3-95 .
^ Rathbun RL, Granlund Т., La tabla cuboide de números enteros con soluciones de tipo cuerpo, arista y cara // Math. Comp., 1994, vol. 62, págs. 441-442.
^ Euler, Leonhard, Vollst¨andige Anleitung zur Algebra, Kayserliche Akademie der Wissenschaften, San Petersburgo, 1771
^ Euler, Leonhard, Vollst¨andige Anleitung zur Algebra, 2, Part II, 236, traducción al inglés: Euler, Elements of Algebra, Springer-Verlag 1984
^ "Problema 930" (PDF) , Soluciones, Crux Mathematicorum , 11 (5): 162–166, mayo de 1985
^ Rathbun, Randall L. (14 de julio de 2020). "La tabla cuboide de enteros". arXiv : 1705.05929v4 [matemáticas.NT].
^ Sawyer, Jorge F.; Reiter, Clifford A. (2011). "Existen los paralelepípedos perfectos". Matemáticas de la Computación . 80 (274): 1037-1040. arXiv : 0907.0220 . doi :10.1090/s0025-5718-2010-02400-7. S2CID 206288198..

Referencias

Sanguijuela, John (1977). "El cuboide racional revisitado". Mensual Matemático Estadounidense . 84 (7): 518–533. doi :10.2307/2320014. JSTOR 2320014.
Shaffer, Sherrill (1987). "Divisores necesarios de cuboides enteros perfectos". Resúmenes de la Sociedad Matemática Estadounidense . 8 (6): 440.
Chico, Richard K. (2004). Problemas no resueltos en teoría de números . Springer-Verlag . págs. 275–283. ISBN 0-387-20860-7.
Kraitchik, M. (1945). "Sobre ciertos cuboides racionales". Scripta Matemática . 11 : 317–326.
Roberts, Tim (2010). "Algunas limitaciones a la existencia de un cuboide perfecto". Gaceta de la Sociedad Australiana de Matemáticas . 37 : 29–31. ISSN 1326-2297.