Conjetura principal de la teoría de Iwasawa

Teorema de la teoría algebraica de números que relaciona las funciones L p-ádicas con los grupos de clases ideales

En matemáticas , la conjetura principal de la teoría de Iwasawa es una relación profunda entre las funciones L p -ádicas y los grupos de clases ideales de cuerpos ciclotómicos , demostrada por Kenkichi Iwasawa para primos que satisfacen la conjetura de Kummer-Vandiver y demostrada para todos los primos por Mazur y Wiles (1984). El teorema de Herbrand-Ribet y la conjetura de Gras son consecuencias fáciles de la conjetura principal. Hay varias generalizaciones de la conjetura principal, a cuerpos totalmente reales , ^[1] cuerpos CM , curvas elípticas , etc.

Motivación

Iwasawa (1969a) estuvo parcialmente motivado por una analogía con la descripción de Weil de la función zeta de una curva algebraica sobre un cuerpo finito en términos de valores propios del endomorfismo de Frobenius en su variedad jacobiana . En esta analogía,

• La acción de Frobenius corresponde a la acción del grupo Γ.
• El jacobiano de una curva corresponde a un módulo X sobre Γ definido en términos de grupos de clases ideales.
• La función zeta de una curva sobre un campo finito corresponde a una función L p -ádica .
• El teorema de Weil que relaciona los valores propios de Frobenius con los ceros de la función zeta de la curva corresponde a la conjetura principal de Iwasawa que relaciona la acción del álgebra de Iwasawa sobre X con los ceros de la función zeta p -ádica.

Historia

La conjetura principal de la teoría de Iwasawa se formuló como una afirmación de que dos métodos de definición de funciones L p -ádicas (por teoría de módulos, por interpolación) deberían coincidir, siempre que esto estuviera bien definido. Esto fue demostrado por Mazur y Wiles (1984) para Q , y para todos los cuerpos de números totalmente reales por Wiles (1990). Estas pruebas se basaron en la prueba de Ken Ribet del recíproco del teorema de Herbrand (el teorema de Herbrand-Ribet ).

Karl Rubin encontró una prueba más elemental del teorema de Mazur-Wiles utilizando el método de Thaine y los sistemas de Euler de Kolyvagin , descritos en Lang (1990) y Washington (1997), y posteriormente demostró otras generalizaciones de la conjetura principal para campos cuadráticos imaginarios. ^[2]

En 2014, Christopher Skinner y Eric Urban demostraron varios casos de las conjeturas principales para una gran clase de formas modulares . ^[3] Como consecuencia, para una curva elíptica modular sobre los números racionales , demuestran que la desaparición de la función L de Hasse-Weil L ( E ,  s ) de E en s  = 1 implica que el grupo de Selmer p -ádico de E es infinito. Combinado con los teoremas de Gross - Zagier y Kolyvagin , esto dio una prueba condicional (sobre la conjetura de Tate-Shafarevich ) de la conjetura de que E tiene infinitos puntos racionales si y solo si L ( E , 1) = 0, una forma (débil) de la conjetura de Birch-Swinnerton-Dyer . Estos resultados fueron utilizados por Manjul Bhargava , Skinner y Wei Zhang para demostrar que una proporción positiva de curvas elípticas satisfacen la conjetura de Birch-Swinnerton-Dyer . ^{[4] [5]}

Declaración

• p es un número primo.
• F _n es el campo Q (ζ) donde ζ es una raíz de unidad de orden p ^{n +1} .
• Γ es el subgrupo más grande del grupo de Galois absoluto de F _∞ isomorfo a los enteros p -ádicos.
• γ es un generador topológico de Γ
• L _n es el campo de clase p -Hilbert de F _n .
• H _n es el grupo de Galois Gal( L _n / F _n ), isomorfo al subgrupo de elementos del grupo de clase ideal de F _n cuyo orden es una potencia de p .
• H _∞ es el límite inverso de los grupos de Galois H _n .
• V es el espacio vectorial H _∞ ⊗ _{Z p} Q _p .
• ω es el carácter de Teichmüller .
• V ⁱ es el espacio propio ω ⁱ de V .
• h _p (ω ⁱ , T ) es el polinomio característico de γ que actúa sobre el espacio vectorial V ⁱ
• L _p es la función L p-ádica con L _p (ω ⁱ ,1– k ) = –B _k (ω ^{i – k} )/ k , donde B es un número de Bernoulli generalizado .
• u es el único número p-ádico que satisface γ(ζ) = ζ ^u para todas las raíces p-potenciales de la unidad ζ
• G _p es la serie de potencias con G _p (ω ⁱ , u ^s –1) = L _p (ω ⁱ , s )

La conjetura principal de la teoría de Iwasawa probada por Mazur y Wiles establece que si i es un entero impar no congruente con 1 mod p –1 entonces los ideales de generados por h _p (ω ⁱ , T ) y G _p (ω ^{1– i} , T ) son iguales. ${\displaystyle \mathbf {Z} _{p}[[T]]}$

Notas

1. Wiles 1990, Kakde 2013
2. Manin y Panchishkin 2007, pág. 246.
3. Skinner y Urban 2014, págs. 1–277.
4. Bhargava, Skinner y Zhang 2014.
5. Panadero 2014.

Fuentes

• Baker, Matt (10 de marzo de 2014), "La conjetura BSD es verdadera para la mayoría de las curvas elípticas", Matt Baker's Math Blog , consultado el 24 de febrero de 2019
• Bhargava, Manjul; Skinner, Christopher; Zhang, Wei (7 de julio de 2014), "La mayoría de las curvas elípticas sobre $\mathbb Q$ satisfacen la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer", arXiv : 1407.1826 [math.NT]
• Coates, John ; Sujatha, R. (2006), Campos ciclotómicos y valores zeta , Springer Monographs in Mathematics, Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-33068-4, Zbl1100.11002 ​
• Iwasawa, Kenkichi (1964), "Sobre algunos módulos en la teoría de campos ciclotómicos", Journal of the Mathematical Society of Japan , 16 : 42–82, doi : 10.2969/jmsj/01610042 , ISSN  0025-5645, MR  0215811
• Iwasawa, Kenkichi (1969a), "Analogías entre cuerpos numéricos y cuerpos funcionales", Algunos avances recientes en las ciencias básicas, vol. 2 (Proc. Annual Sci. Conf., Belfer Grad. School Sci., Yeshiva Univ., Nueva York, 1965-1966) , Belfer Graduate School of Science, Yeshiva Univ., Nueva York, págs. 203-208, MR  0255510
• Iwasawa, Kenkichi (1969b), "Sobre las funciones L p-ádicas", Anales de Matemáticas , Segunda serie, 89 (1): 198–205, doi :10.2307/1970817, ISSN  0003-486X, JSTOR  1970817, MR  0269627
• Kakde, Mahesh (2013), "La conjetura principal de la teoría de Iwasawa para campos totalmente reales", Inventiones Mathematicae , 193 (3): 539–626, arXiv : 1008.0142 , doi :10.1007/s00222-012-0436-x, MR  3091976
• Lang, Serge (1990), Campos ciclotómicos I y II, Textos de posgrado en matemáticas , vol. 121, con un apéndice de Karl Rubin (2.ª ed. combinada), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-96671-7, Zbl0704.11038 ​
• Manin, Yu I. ; Panchishkin, AA (2007), Introducción a la teoría de números moderna , Enciclopedia de ciencias matemáticas, vol. 49 (segunda ed.), ISBN 978-3-540-20364-3, ISSN  0938-0396, Zbl  1079.11002
• Mazur, Barry ; Wiles, Andrew (1984), "Campos de clases de extensiones abelianas de Q ", Inventiones Mathematicae , 76 (2): 179–330, doi :10.1007/BF01388599, ISSN  0020-9910, MR  0742853, S2CID  122576427
• Skinner, Christopher; Urban, Eric (2014), "Las principales conjeturas de Iwasawa para GL ₂ ", Inventiones Mathematicae , 195 (1): 1–277, CiteSeerX  10.1.1.363.2008 , doi :10.1007/s00222-013-0448-1, MR  3148103, S2CID  120848645
• Washington, Lawrence C. (1997), Introducción a los campos ciclotómicos, Textos de posgrado en matemáticas, vol. 83 (2.ª ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94762-4
• Wiles, Andrew (1990), "La conjetura de Iwasawa para campos totalmente reales", Anales de Matemáticas , Segunda serie, 131 (3): 493–540, doi :10.2307/1971468, ISSN  0003-486X, JSTOR  1971468, MR  1053488