teorema de carleson

1966 resultado en análisis matemático.

El teorema de Carleson es un resultado fundamental en el análisis matemático que establece la convergencia puntual ( Lebesgue ) en casi todas partes de series de Fourier de funciones L 2 , demostrada por Lennart Carleson  (1966). El nombre también se usa a menudo para referirse a la extensión del resultado de Richard Hunt  (1968) a funciones L ^p para p ∈ (1, ∞] (también conocido como teorema de Carleson-Hunt ) y los resultados análogos para puntos en casi todas partes. convergencia de integrales de Fourier , que se puede demostrar que son equivalentes mediante métodos de transferencia.

Declaración del teorema

El resultado, ampliado por Hunt, puede expresarse formalmente de la siguiente manera:

Sea f una función periódica L ^p para algún p ∈ (1, ∞] , con coeficientes de Fourier . Luego para casi cada  x . ${\displaystyle {\hat {f}}(n)}$ $${\displaystyle \lim _{N\to \infty }\sum _{|n|\leq N}{\hat {f}}(n)e^{inx}=f(x)}$$

El resultado análogo para las integrales de Fourier es:

Sea f ∈ L ^p ( R ) para algunos p ∈ (1, 2] tener transformada de Fourier . Luego, para casi todos x ∈ R . ${\displaystyle {\hat {f}}(\xi )}$ $${\displaystyle \lim _{R\to \infty }\int _{|\xi |\leq R}{\hat {f}}(\xi )e^{2\pi ix\xi }\,d\xi =f(x)}$$

Historia

Una pregunta fundamental sobre las series de Fourier, formulada por el propio Fourier a principios del siglo XIX, es si la serie de Fourier de una función continua converge puntualmente a la función.

Reforzando ligeramente el supuesto de continuidad se puede demostrar fácilmente que la serie de Fourier converge en todas partes. Por ejemplo, si una función tiene variación acotada, entonces su serie de Fourier converge en todas partes al promedio local de la función. En particular, si una función es continuamente diferenciable, entonces su serie de Fourier converge hacia ella en todas partes. Esto lo demostró Dirichlet, quien expresó su convicción de que pronto podría extender su resultado para cubrir todas las funciones continuas. Otra forma de obtener convergencia en todas partes es cambiar el método de suma. Por ejemplo, el teorema de Fejér muestra que si se reemplaza la suma ordinaria por la suma de Cesàro, entonces la serie de Fourier de cualquier función continua converge uniformemente a la función. Además, es fácil demostrar que la serie de Fourier de cualquier función L ² converge a ella en norma L ^{2 .}

Después del resultado de Dirichlet, varios expertos, incluidos Dirichlet, Riemann, Weierstrass y Dedekind, expresaron su creencia de que la serie de Fourier de cualquier función continua convergería en todas partes. Esto fue refutado por Paul du Bois-Reymond , quien demostró en 1876 que existe una función continua cuya serie de Fourier diverge en un punto .

La convergencia casi en todas partes de las series de Fourier para funciones L ² fue postulada por NN Luzin  (1915), y el problema se conoció como la conjetura de Luzin (hasta su demostración por Carleson (1966)). Kolmogorov (1923) demostró que el análogo del resultado de Carleson para L ¹ es falso al encontrar una función cuya serie de Fourier diverge en casi todas partes (mejoró ligeramente en 1926 hasta divergir en todas partes). Antes del resultado de Carleson, la estimación mejor conocida para las sumas parciales s _n de la serie de Fourier de una función en L ^p era. En otras palabras, la función s _n (x) todavía puede crecer hasta el infinito en cualquier punto x dado a medida que se toman más y se tienen en cuenta más términos de la serie de Fourier, aunque el crecimiento debe ser bastante lento (más lento que el logaritmo de n elevado a una pequeña potencia). Este resultado fue demostrado por Kolmogorov-Seliverstov-Plessner para p = 2 , por GH Hardy para p = 1 y por Littlewood-Paley para p > 1 (Zygmund 2002). Este resultado no había mejorado durante varias décadas, lo que llevó a algunos expertos a sospechar que era el mejor posible y que la conjetura de Luzin era falsa. El contraejemplo de Kolmogorov en L ¹ no tenía límites en ningún intervalo, pero se pensaba que era sólo cuestión de tiempo antes de que se encontrara un contraejemplo continuo. Carleson dijo en una entrevista con Raussen & Skau (2007) que comenzó tratando de encontrar un contraejemplo continuo y en un momento pensó que tenía un método que construiría uno, pero finalmente se dio cuenta de que su enfoque no podía funcionar. Luego intentó probar la conjetura de Luzin, ya que el fracaso de su contraejemplo lo convenció de que probablemente era cierta. $${\displaystyle s_{n}(x)=o(\log(n)^{1/p}){\text{ almost everywhere}}.}$$

La demostración original de Carleson es excepcionalmente difícil de leer y, aunque varios autores han simplificado el argumento, todavía no existen demostraciones sencillas de su teorema. Las exposiciones del artículo original de Carleson (1966) incluyen a Kahane (1995), Mozzochi (1971), Jørsboe & Mejlbro (1982) y Arias de Reyna (2002). Charles Fefferman  (1973) publicó una nueva prueba de la extensión de Hunt que procedía acotando un operador máximo . Esto, a su vez, inspiró una prueba mucho más simplificada del resultado L ^{2 realizada por} Michael Lacey y Christoph Thiele (2000), explicada con más detalle en Lacey (2004). Los libros Fremlin (2003) y Grafakos (2014) también dan pruebas del teorema de Carleson.

Katznelson (1966) demostró que para cualquier conjunto de medida 0 existe una función periódica continua cuya serie de Fourier diverge en todos los puntos del conjunto (y posiblemente en otros lugares). Cuando se combina con el teorema de Carleson, esto muestra que existe una función continua cuya serie de Fourier diverge en todos los puntos de un conjunto dado de reales si y sólo si el conjunto tiene medida 0.

La extensión del teorema de Carleson a L ^p para p > 1 se afirmó como una extensión "bastante obvia" del caso p = 2 en el artículo de Carleson, y fue demostrada por Hunt (1968). El resultado de Carleson fue mejorado aún más por Sjölin (1971) al espacio L log ₊ ( L )log ₊ log ₊ ( L ) y por Antonov (1996) al espacio L log ₊ ( L )log ₊ log ₊ log ₊ ( L ) . (Aquí log ₊ ( L ) es log( L ) si L > 1 y 0 en caso contrario, y si φ es una función entonces φ ( L ) representa el espacio de funciones f tal que φ (| f ( x ) |) es integrables.)

Konyagin (2000) mejoró el contraejemplo de Kolmogorov al encontrar funciones con series de Fourier divergentes en todas partes en un espacio ligeramente mayor que L log ₊ ( L ) ^1/2 . Uno puede preguntarse si existe en algún sentido un espacio natural más grande de funciones cuyas series de Fourier convergen en casi todas partes. El candidato más simple para dicho espacio que es consistente con los resultados de Antonov y Konyagin es L log ₊ ( L ) .

La extensión del teorema de Carleson a series de Fourier e integrales en varias variables se vuelve más complicada ya que hay muchas formas diferentes de sumar los coeficientes; por ejemplo, se pueden sumar bolas crecientes o rectángulos crecientes. La convergencia de sumas parciales rectangulares (y de hecho de sumas parciales poligonales generales) se deriva del caso unidimensional, pero el problema de la suma esférica aún está abierto para L ² .

El operador Carleson

El operador de Carleson C es el operador no lineal definido por $${\displaystyle Cf(x)=\sup _{N}\left|\int _{-N}^{N}{\hat {f}}(y)e^{2\pi ixy}\,dy\right|}$$

Es relativamente fácil demostrar que el teorema de Carleson-Hunt se deriva de la acotación del operador de Carleson desde L ^p ( R ) hacia sí mismo para 1 < p < ∞ . Sin embargo, demostrar que es acotado es difícil, y esto fue en realidad lo que demostró Carleson.

Ver también

• Convergencia de series de Fourier

Referencias

• Antónov, N. Yu. (1996), "Convergencia de la serie Fourier", East Journal on Approximations , 2 (2): 187–196, MR  1407066
• Arias de Reyna, Juan (2002), Convergencia puntual de series de Fourier , Lecture Notes in Mathematics, vol. 1785, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi :10.1007/b83346, ISBN 978-3-540-43270-8, SEÑOR  1906800
• Carleson, Lennart (1966), "Sobre la convergencia y el crecimiento de sumas parciales de series de Fourier", Acta Mathematica , 116 (1): 135–157, doi : 10.1007/BF02392815 , MR  0199631
• Fefferman, Charles (1973), "Convergencia puntual de series de Fourier", Annals of Mathematics , Second Series, 98 (3): 551–571, ​​doi :10.2307/1970917, JSTOR  1970917, MR  0340926
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