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Conjetura de Carathéodory

En geometría diferencial , la conjetura de Carathéodory es una conjetura matemática atribuida a Constantin Carathéodory por Hans Ludwig Hamburger en una sesión de la Sociedad Matemática de Berlín en 1924. [1] Carathéodory publicó un artículo sobre un tema relacionado, [2] pero nunca puso la conjetura por escrito. En [3] John Edensor Littlewood menciona la conjetura y la contribución de Hamburger [4] como un ejemplo de una afirmación matemática que es fácil de enunciar pero difícil de demostrar. Dirk Struik describe en [5] la analogía formal de la conjetura con el Teorema de los Cuatro Vértices para curvas planas . Las referencias modernas a la conjetura son la lista de problemas de Shing-Tung Yau , [6] los libros de Marcel Berger , [7] [8] así como los libros. [9] [10] [11] [12]

La conjetura ha tenido una historia problemática con pruebas publicadas en el caso analítico [13] [14] que contenían lagunas, [15] y afirmaciones de prueba en el caso general sin complicaciones [16] que no han sido aceptadas para su publicación.

Enunciado de la conjetura

La conjetura afirma que cualquier superficie convexa, cerrada y suficientemente lisa en el espacio euclidiano tridimensional necesita admitir al menos dos puntos umbilicales . En el sentido de la conjetura, el esferoide con solo dos puntos umbilicales y la esfera , cuyos puntos son todos umbilicales, son ejemplos de superficies con números mínimos y máximos de ombligos. Para que la conjetura esté bien planteada, o que los puntos umbilicales estén bien definidos, la superficie necesita ser al menos dos veces diferenciable.

El caso de superficies analíticas reales

El discurso de invitación de Stefan Cohn-Vossen [17] al Congreso Internacional de Matemáticos de 1928 en Bolonia fue sobre este tema y en la edición de 1929 del tercer volumen de Wilhelm Blaschke sobre Geometría Diferencial [18] afirma:

Mientras se edita este libro, el Sr. Cohn-Vossen ha conseguido demostrar que las superficies analíticas reales cerradas no tienen puntos umbilicales de índice > 2 (conferencia invitada en el ICM de Bolonia en 1928). Esto prueba la conjetura de Carathéodory para tales superficies, es decir, que necesitan tener al menos dos puntos umbilicales.

En este caso, el índice de Blaschke es el doble de la definición habitual de índice de un punto umbilical, y la conjetura global se deduce del teorema del índice de Poincaré-Hopf . Cohn-Vossen no presentó ningún artículo a las actas del Congreso Internacional, mientras que en ediciones posteriores del libro de Blaschke se eliminaron los comentarios anteriores. Por lo tanto, es razonable suponer que este trabajo no fue concluyente.

En el caso de las superficies analíticas, Hans Hamburger dio una respuesta afirmativa a esta conjetura en 1940 en un extenso artículo publicado en tres partes. [4] El enfoque de Hamburger también se basó en una estimación del índice local para umbilicales aislados, que había demostrado que implicaba la conjetura en su trabajo anterior. [19] [20] En 1943, Gerrit Bol propuso una prueba más corta , [13] véase también, [21] pero, en 1959, Tilla Klotz encontró y corrigió una laguna en la prueba de Bol en. [14] [4] Su prueba, a su vez, fue anunciada como incompleta en la disertación de Hanspeter Scherbel [15] (no se publicaron resultados de esa disertación relacionados con la conjetura de Carathéodory durante décadas, al menos no se publicó nada hasta junio de 2009). Entre otras publicaciones, nos referimos a los artículos. [22] [23] [24]

Todas las pruebas mencionadas anteriormente se basan en la reducción que hace Hamburger de la conjetura de Carathéodory a la siguiente conjetura: el índice de cada punto umbilical aislado nunca es mayor que uno . [19] En términos generales, la principal dificultad reside en la resolución de las singularidades generadas por los puntos umbilicales. Todos los autores mencionados anteriormente resuelven las singularidades por inducción sobre el "grado de degeneración" del punto umbilical, pero ninguno de ellos fue capaz de presentar el proceso de inducción con claridad.

En 2002, Vladimir Ivanov revisó el trabajo de Hamburger sobre superficies analíticas con la siguiente intención declarada: [25]

"En primer lugar, considerando las superficies analíticas, afirmamos con toda responsabilidad que Carathéodory tenía razón. En segundo lugar, sabemos cómo se puede demostrar esto rigurosamente. En tercer lugar, pretendemos presentar aquí una prueba que, en nuestra opinión, convencerá a todo lector que esté realmente dispuesto a emprender con nosotros un largo y agotador viaje."

En primer lugar sigue el camino recorrido por Gerrit Bol y Tilla Klotz , pero más tarde propone su propio camino para la resolución de singularidades, donde el papel crucial pertenece al análisis complejo (más precisamente, a las técnicas que involucran funciones analíticas implícitas , el teorema de preparación de Weierstrass , las series de Puiseux y los sistemas de raíces circulares ).

El caso general liso

En 2008, Guilfoyle y Klingenberg anunciaron [16] una prueba de la conjetura global para superficies de suavidad , que ha permanecido inédita hasta 2024. Su método utiliza la geometría neutral de Kähler de la cuadrática de Klein [26] para definir un problema de valor límite de Riemann-Hilbert asociado, y luego aplica el flujo de curvatura media y el teorema de Sard-Smale sobre valores regulares de operadores de Fredholm para demostrar una contradicción para una superficie con un único punto umbilical.

En particular, el problema de valor de contorno busca encontrar una curva holomorfa con un límite que se encuentra en la superficie de Lagrange en la cuadrática de Klein determinada por las líneas normales a la superficie en el 3-espacio euclidiano. Previamente se demostró que el número de puntos umbilicales aislados contenidos en la superficie en determina la clase de Keller-Maslov de la curva de contorno [27] y por lo tanto, cuando el problema es regular de Fredholm, determina la dimensión del espacio de discos holomorfos. [16] Todas las cantidades geométricas a las que se hace referencia se definen con respecto a la estructura neutra canónica de Kähler, para la cual las superficies pueden ser tanto holomorfas como lagrangianas. [26]

Al abordar la conjetura global, la pregunta es " ¿qué tendría de especial una superficie convexa cerrada y suave en con un único punto umbilical? ". Guilfoyle y Klingenberg responden a esta pregunta: [28] el problema de valor límite de Riemann-Hilbert asociado sería regular de Fredholm. Se ha demostrado que la existencia de un grupo de isometría de tamaño suficiente para fijar un punto es suficiente para asegurar esto, identificando así el tamaño del grupo de isometría euclidiano de como la razón subyacente por la que la conjetura de Carathéodory es verdadera. Esto se ve reforzado por un resultado más reciente [29] en el que se construyen métricas ambientales suaves (sin simetrías) que son diferentes pero arbitrariamente cercanas a la métrica euclidiana en , que admiten superficies convexas suaves que violan tanto la conjetura local como la global.

Por la regularidad de Fredholm, para una superficie convexa genérica cercana a un supuesto contraejemplo de la conjetura global de Carathéodory, el problema de Riemann-Hilbert asociado no tendría soluciones. El segundo paso de la prueba es demostrar que tales soluciones siempre existen, concluyendo así la inexistencia de un contraejemplo. Esto se hace utilizando un flujo de curvatura media de codimensión 2 con borde. Si bien el segundo paso completo de la prueba no se ha publicado a enero de 2022, las estimaciones interiores requeridas para un flujo de curvatura media codimensional superior en una geometría indefinida han aparecido impresas. [30] La parte final es el establecimiento de un control de borde suficiente bajo el flujo de curvatura media para garantizar una convergencia débil.

En 2012 se anunció la prueba de una versión más débil de la conjetura del índice local para superficies lisas, a saber, que un umbilical aislado debe tener un índice menor o igual a 3/2. [31] La prueba sigue la de la conjetura global, pero también utiliza métodos más topológicos, en particular, reemplazando los puntos umbilicales hiperbólicos por cross-caps totalmente reales en el límite del problema de Riemann-Hilbert asociado. Deja abierta la posibilidad de una superficie convexa lisa (analítica no real por Hamburger [4] ) con un umbilical aislado de índice 3/2. La prueba por métodos similares de una conjetura de Toponogov sobre puntos umbilicales en planos completos se publicó en 2024. [32]

En 2012, Mohammad Ghomi y Ralph Howard demostraron, utilizando una transformación de Möbius , que la conjetura global para superficies de suavidad puede reformularse en términos del número de puntos umbilicales en gráficos sujetos a ciertas asintóticas del gradiente. [33] [34]

Véase también

Referencias

  1. ^ Sitzungsberichte der Berliner Mathematischen Gesellschaft , 210. Sitzung am 26. März 1924, Dieterichsche Universitätsbuchdruckerei, Göttingen 1924
  2. ^ Einfache Bemerkungen über Nabelpunktskurven , en: Festschrift 25 Jahre Technische Hochschule Breslau zur Feier ihres 25jährigen Bestehens, 1910—1935, Verlag WG Korn, Breslau, 1935, págs. 105 - 107, y en: Constantin Carathéodory, Gesammelte Mathematische Schrif diez, editorial CH Beck , Múnich, 1957, vol 5, 26-30
  3. ^ Miscelánea de un matemático , Nabu Press (31 de agosto de 2011) ISBN  978-1179121512
  4. ^ abcd H. Hamburger , Beweis einer Caratheodoryschen Vermutung. Yo , Ana. Matemáticas. (2) 41 , 63-86 (1940); Beweis einer Caratheodoryschen Vermutung. II , Acta Matemáticas. 73 , 175-228 (1941), y Beweis einer Caratheodoryschen Vermutung. III , Acta Matemáticas. 73 , 229—332 (1941)
  5. ^ Struik, DJ (1931). "Geometría diferencial en las grandes dimensiones". Bull. Amer. Math. Soc. 37 (2): 49–62. doi : 10.1090/S0002-9904-1931-05094-1 .
  6. ^ ST Yau , Sección de problemas, pág. 684 , en: Seminario sobre geometría diferencial, ed. ST Yau, Anales de estudios matemáticos 102 , Princeton 1982
  7. ^ M. Berger , Una visión panorámica de la geometría de Riemann , Springer 2003 ISBN 3-540-65317-1 
  8. ^ M. Berger , Geometría revelada: una escalera de Jacob hacia la geometría superior moderna , Springer 2010 ISBN 3-540-70996-7 
  9. ^ I. Nikolaev, Foliaciones en superficies , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge A, Serie de estudios modernos en matemáticas, Springer 2001 ISBN 3-540-67524-8 
  10. ^ DJ Struik , Conferencias sobre geometría diferencial clásica , Dover 1978 ISBN 0-486-65609-8 
  11. ^ VA Toponogov , Geometría diferencial de curvas y superficies: una guía concisa , Birkhäuser, Boston 2006 ISBN 978-0-8176-4402-4 
  12. ^ RV Gamkrelidze (Ed.), Geometría I: Ideas y conceptos básicos de geometría diferencial , Enciclopedia de ciencias matemáticas, Springer 1991 ISBN 0-387-51999-8 
  13. ^ ab Bol, G. (1944). "Über Nabelpunkte auf einer Eifläche". Matemáticas. Z. 49 : 389–410. doi :10.1007/bf01174209. S2CID  120816230.
  14. ^ ab Klotz, Tilla (1959). "Sobre la prueba de G. Bol de la conjetura de Carathéodory". Commun. Pure Appl. Math. 12 (2): 277–311. doi :10.1002/cpa.3160120207.
  15. ^ ab Scherbel, H. (1993). Una nueva demostración del teorema del índice de Hamburger en puntos umbilicales . Tesis doctoral n.º 10281. ETH Zürich .
  16. ^ abc Guilfoyle, B.; Klingenberg, W. (2008). "Prueba de la conjetura de Carathéodory". arXiv : 0808.0851 [math.DG].
  17. ^ S. Cohn-Vossen , Der Index eines Nabelpunktes im Netz der Krümmungslinien , Actas del Congreso Internacional de Matemáticos , vol II, Nicola Zanichelli Editore, Bolonia 1929
  18. ^ Blaschke, W. (1929). Differentialgeometrie der Kreise und Kugeln, Vorlesungen über Differentialgeometrie, vol. 3 . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. vol. XXIX. Berlín: Springer-Verlag .
  19. ^ ab Hamburguesa, H. (1922). "Ein Satz über Kurvennetze auf geschlossenen Flächen". Sitzungsberichte der Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin . 21 : 258–262.
  20. ^ Hamburguesa, H. (1924). "Über Kurvennetze mit isolierten Singularitäten auf geschossenen Flächen". Matemáticas. Z. 19 : 50–66. doi :10.1007/bf01181063. S2CID  121237690.
  21. ^ Blaschke, W. (1942). "Sugli ombelichi d'un ovaloide". Atti Convegno Mat. romaníes . 1942 : 201–208.
  22. ^ Titus, CJ (1973). "Una prueba de una conjetura de Loewner y de la conjetura de Carathéodory sobre puntos umbilicales". Acta Math. 131 (1–2): 43–77. doi : 10.1007/BF02392036 . S2CID  119377800.
  23. ^ Sotomayor, J.; Mello, LF (1999). "Una nota sobre algunos desarrollos de la conjetura de Carathéodory sobre puntos umbilicales". Exposición de Matemáticas . 17 (1): 49–58. ISSN  0723-0869.
  24. ^ Gutiérrez, C.; Sotomayor, J. (1998). "Líneas de curvatura, puntos umbilicales y conjetura de Carathéodory". Resén. Inst. Estera. Estado. Univ. São Paulo . 3 (3): 291–322. ISSN  0104-3854.
  25. ^ Ivanov, VV (2002). "La conjetura analítica de Carathéodory". Sib. Math. J. 43 (2): 251–322. doi :10.1023/A:1014797105633. ISSN  0037-4474. S2CID  117115329.
  26. ^ ab Guilfoyle, B.; Klingenberg, W. (2005). "Una métrica de Kähler indefinida en el espacio de líneas orientadas". J. London Math. Soc . 72 (2): 497–509. arXiv : math/0407490 . doi :10.1112/S0024610705006605. S2CID  14978450.
  27. ^ Guilfoyle, B.; Klingenberg, W. (2004). "Superficies generalizadas en ". Math. Proc. R. Ir. Acad . 104A (2): 199–209. doi :10.1353/mpr.2004.0013. S2CID  118128548.
  28. ^ Guilfoyle, B.; Klingenberg, W. (2020). "Regularidad de Fredholm de discos holomorfos en haces planos sobre superficies compactas". Ann. Fac. Sci. Toulouse Math . Serie 6. 29 (3): 565–576. arXiv : 1812.00707 . doi : 10.5802/afst.1639 . S2CID  : 119659239.
  29. ^ Guilfoyle, B. (2020). "Sobre puntos umbilicales aislados". Comm. Anal. Geom . 28 (8): 2005–2018. arXiv : 1812.03562 . doi :10.4310/CAG.2020.v28.n8.a8. S2CID  119158738.
  30. ^ Guilfoyle, B.; Klingenberg, W. (2019). "Flujo de curvatura media codimensional superior de subvariedades compactas de tipo espacial". Trans. Amer. Math. Soc . 372 (9): 6263–6281. arXiv : 1812.00710 . doi : 10.1090/tran/7766 . S2CID  119253397.
  31. ^ Guilfoyle, B.; Klingenberg, W. (2012). "De lo global a lo local: un índice cota para puntos umbilicales en superficies convexas suaves". arXiv : 1207.5994 [math.DG].
  32. ^ Guilfoyle, B.; Klingenberg, W. (2024). "Prueba de la conjetura de Toponogov en superficies completas". J. Gökova Geom. Topol. GGT . 17 : 1–50.
  33. ^ Ghomi, M.; Howard, R. (2012). "Curvaturas normales de grafos asintóticamente constantes y conjetura de Carathéodory". Proc. Amer. Math. Soc. 140 (12): 4323–4335. arXiv : 1101.3031 . doi :10.1090/S0002-9939-2012-11420-0. S2CID  12148752.
  34. ^ Ghomi, M. (2017). "Problemas abiertos en geometría de curvas y superficies" (PDF) .