En geometría diferencial , la conjetura de Carathéodory es una conjetura matemática atribuida a Constantin Carathéodory por Hans Ludwig Hamburger en una sesión de la Sociedad Matemática de Berlín en 1924. [1] Carathéodory publicó un artículo sobre un tema relacionado, [2] pero nunca puso la conjetura por escrito. En [3] John Edensor Littlewood menciona la conjetura y la contribución de Hamburger [4] como un ejemplo de una afirmación matemática que es fácil de enunciar pero difícil de demostrar. Dirk Struik describe en [5] la analogía formal de la conjetura con el Teorema de los Cuatro Vértices para curvas planas . Las referencias modernas a la conjetura son la lista de problemas de Shing-Tung Yau , [6] los libros de Marcel Berger , [7] [8] así como los libros. [9] [10] [11] [12]
La conjetura ha tenido una historia problemática con pruebas publicadas en el caso analítico [13] [14] que contenían lagunas, [15] y afirmaciones de prueba en el caso general sin complicaciones [16] que no han sido aceptadas para su publicación.
La conjetura afirma que cualquier superficie convexa, cerrada y suficientemente lisa en el espacio euclidiano tridimensional necesita admitir al menos dos puntos umbilicales . En el sentido de la conjetura, el esferoide con solo dos puntos umbilicales y la esfera , cuyos puntos son todos umbilicales, son ejemplos de superficies con números mínimos y máximos de ombligos. Para que la conjetura esté bien planteada, o que los puntos umbilicales estén bien definidos, la superficie necesita ser al menos dos veces diferenciable.
El discurso de invitación de Stefan Cohn-Vossen [17] al Congreso Internacional de Matemáticos de 1928 en Bolonia fue sobre este tema y en la edición de 1929 del tercer volumen de Wilhelm Blaschke sobre Geometría Diferencial [18] afirma:
Mientras se edita este libro, el Sr. Cohn-Vossen ha conseguido demostrar que las superficies analíticas reales cerradas no tienen puntos umbilicales de índice > 2 (conferencia invitada en el ICM de Bolonia en 1928). Esto prueba la conjetura de Carathéodory para tales superficies, es decir, que necesitan tener al menos dos puntos umbilicales.
En este caso, el índice de Blaschke es el doble de la definición habitual de índice de un punto umbilical, y la conjetura global se deduce del teorema del índice de Poincaré-Hopf . Cohn-Vossen no presentó ningún artículo a las actas del Congreso Internacional, mientras que en ediciones posteriores del libro de Blaschke se eliminaron los comentarios anteriores. Por lo tanto, es razonable suponer que este trabajo no fue concluyente.
En el caso de las superficies analíticas, Hans Hamburger dio una respuesta afirmativa a esta conjetura en 1940 en un extenso artículo publicado en tres partes. [4] El enfoque de Hamburger también se basó en una estimación del índice local para umbilicales aislados, que había demostrado que implicaba la conjetura en su trabajo anterior. [19] [20] En 1943, Gerrit Bol propuso una prueba más corta , [13] véase también, [21] pero, en 1959, Tilla Klotz encontró y corrigió una laguna en la prueba de Bol en. [14] [4] Su prueba, a su vez, fue anunciada como incompleta en la disertación de Hanspeter Scherbel [15] (no se publicaron resultados de esa disertación relacionados con la conjetura de Carathéodory durante décadas, al menos no se publicó nada hasta junio de 2009). Entre otras publicaciones, nos referimos a los artículos. [22] [23] [24]
Todas las pruebas mencionadas anteriormente se basan en la reducción que hace Hamburger de la conjetura de Carathéodory a la siguiente conjetura: el índice de cada punto umbilical aislado nunca es mayor que uno . [19] En términos generales, la principal dificultad reside en la resolución de las singularidades generadas por los puntos umbilicales. Todos los autores mencionados anteriormente resuelven las singularidades por inducción sobre el "grado de degeneración" del punto umbilical, pero ninguno de ellos fue capaz de presentar el proceso de inducción con claridad.
En 2002, Vladimir Ivanov revisó el trabajo de Hamburger sobre superficies analíticas con la siguiente intención declarada: [25]
"En primer lugar, considerando las superficies analíticas, afirmamos con toda responsabilidad que Carathéodory tenía razón. En segundo lugar, sabemos cómo se puede demostrar esto rigurosamente. En tercer lugar, pretendemos presentar aquí una prueba que, en nuestra opinión, convencerá a todo lector que esté realmente dispuesto a emprender con nosotros un largo y agotador viaje."
En primer lugar sigue el camino recorrido por Gerrit Bol y Tilla Klotz , pero más tarde propone su propio camino para la resolución de singularidades, donde el papel crucial pertenece al análisis complejo (más precisamente, a las técnicas que involucran funciones analíticas implícitas , el teorema de preparación de Weierstrass , las series de Puiseux y los sistemas de raíces circulares ).
En 2008, Guilfoyle y Klingenberg anunciaron [16] una prueba de la conjetura global para superficies de suavidad , que ha permanecido inédita hasta 2024. Su método utiliza la geometría neutral de Kähler de la cuadrática de Klein [26] para definir un problema de valor límite de Riemann-Hilbert asociado, y luego aplica el flujo de curvatura media y el teorema de Sard-Smale sobre valores regulares de operadores de Fredholm para demostrar una contradicción para una superficie con un único punto umbilical.
En particular, el problema de valor de contorno busca encontrar una curva holomorfa con un límite que se encuentra en la superficie de Lagrange en la cuadrática de Klein determinada por las líneas normales a la superficie en el 3-espacio euclidiano. Previamente se demostró que el número de puntos umbilicales aislados contenidos en la superficie en determina la clase de Keller-Maslov de la curva de contorno [27] y por lo tanto, cuando el problema es regular de Fredholm, determina la dimensión del espacio de discos holomorfos. [16] Todas las cantidades geométricas a las que se hace referencia se definen con respecto a la estructura neutra canónica de Kähler, para la cual las superficies pueden ser tanto holomorfas como lagrangianas. [26]
Al abordar la conjetura global, la pregunta es " ¿qué tendría de especial una superficie convexa cerrada y suave en con un único punto umbilical? ". Guilfoyle y Klingenberg responden a esta pregunta: [28] el problema de valor límite de Riemann-Hilbert asociado sería regular de Fredholm. Se ha demostrado que la existencia de un grupo de isometría de tamaño suficiente para fijar un punto es suficiente para asegurar esto, identificando así el tamaño del grupo de isometría euclidiano de como la razón subyacente por la que la conjetura de Carathéodory es verdadera. Esto se ve reforzado por un resultado más reciente [29] en el que se construyen métricas ambientales suaves (sin simetrías) que son diferentes pero arbitrariamente cercanas a la métrica euclidiana en , que admiten superficies convexas suaves que violan tanto la conjetura local como la global.
Por la regularidad de Fredholm, para una superficie convexa genérica cercana a un supuesto contraejemplo de la conjetura global de Carathéodory, el problema de Riemann-Hilbert asociado no tendría soluciones. El segundo paso de la prueba es demostrar que tales soluciones siempre existen, concluyendo así la inexistencia de un contraejemplo. Esto se hace utilizando un flujo de curvatura media de codimensión 2 con borde. Si bien el segundo paso completo de la prueba no se ha publicado a enero de 2022, las estimaciones interiores requeridas para un flujo de curvatura media codimensional superior en una geometría indefinida han aparecido impresas. [30] La parte final es el establecimiento de un control de borde suficiente bajo el flujo de curvatura media para garantizar una convergencia débil.
En 2012 se anunció la prueba de una versión más débil de la conjetura del índice local para superficies lisas, a saber, que un umbilical aislado debe tener un índice menor o igual a 3/2. [31] La prueba sigue la de la conjetura global, pero también utiliza métodos más topológicos, en particular, reemplazando los puntos umbilicales hiperbólicos por cross-caps totalmente reales en el límite del problema de Riemann-Hilbert asociado. Deja abierta la posibilidad de una superficie convexa lisa (analítica no real por Hamburger [4] ) con un umbilical aislado de índice 3/2. La prueba por métodos similares de una conjetura de Toponogov sobre puntos umbilicales en planos completos se publicó en 2024. [32]
En 2012, Mohammad Ghomi y Ralph Howard demostraron, utilizando una transformación de Möbius , que la conjetura global para superficies de suavidad puede reformularse en términos del número de puntos umbilicales en gráficos sujetos a ciertas asintóticas del gradiente. [33] [34]