En matemáticas , conectividad [1] se utiliza para referirse a varias propiedades que significan, en cierto sentido, "todo de una sola pieza". Cuando un objeto matemático tiene tal propiedad, decimos que es conexo ; en caso contrario se desconecta . Cuando un objeto desconectado se puede dividir de forma natural en piezas conectadas, cada pieza suele denominarse componente ( o componente conectado ).
Un espacio topológico se dice conexo si no es la unión de dos conjuntos abiertos no vacíos disjuntos . [2] Un conjunto es abierto si no contiene ningún punto que se encuentre en su límite ; así, en un sentido informal e intuitivo, el hecho de que un espacio pueda dividirse en conjuntos abiertos disjuntos sugiere que el límite entre los dos conjuntos no es parte del espacio y, por lo tanto, lo divide en dos partes separadas.
Los campos de las matemáticas suelen ocuparse de tipos especiales de objetos. A menudo se dice que un objeto de este tipo es conexo si, cuando se lo considera un espacio topológico, es un espacio conexo. Por lo tanto, las variedades , los grupos de Lie y los gráficos se denominan todos conectados si están conectados como espacios topológicos y sus componentes son los componentes topológicos. A veces resulta conveniente reformular la definición de conectividad en dichos campos. Por ejemplo, se dice que un gráfico es conexo si cada par de vértices del gráfico está unido por un camino . Esta definición es equivalente a la topológica, aplicada a los grafos, pero es más fácil de abordar en el contexto de la teoría de grafos . La teoría de grafos también ofrece una medida de conectividad independiente del contexto, llamada coeficiente de agrupamiento .
Otros campos de las matemáticas se ocupan de objetos que rara vez se consideran espacios topológicos. No obstante, las definiciones de conectividad a menudo reflejan el significado topológico de alguna manera. Por ejemplo, en teoría de categorías , se dice que una categoría está conectada si cada par de objetos que la componen está unido por una secuencia de morfismos . Así, una categoría está conectada si, intuitivamente, es toda una sola pieza.
Puede haber diferentes nociones de conectividad que sean intuitivamente similares, pero diferentes como conceptos definidos formalmente. Podríamos desear llamar conexo a un espacio topológico si cada par de puntos en él está unido por un camino . Sin embargo, esta condición resulta ser más fuerte que la conectividad topológica estándar; en particular, hay espacios topológicos conectados para los cuales esta propiedad no se cumple. Debido a esto, se utiliza una terminología diferente; Se dice que los espacios con esta propiedad están conectados por caminos . Si bien no todos los espacios conectados están conectados por caminos, todos los espacios conectados por caminos están conectados.
Los términos que implican conexidad también se utilizan para propiedades que están relacionadas con la conectividad, pero que son claramente diferentes de ella. Por ejemplo, un espacio topológico conectado por caminos es simplemente conexo si cada bucle (camino desde un punto hacia sí mismo) en él es contráctil ; es decir, intuitivamente, si esencialmente hay una sola manera de llegar de un punto a otro. Por tanto, una esfera y un disco están simplemente conectados, mientras que un toro no lo está. Como otro ejemplo, un grafo dirigido está fuertemente conexo si cada par ordenado de vértices está unido por un camino dirigido (es decir, uno que "sigue las flechas").
Otros conceptos expresan la forma en que un objeto no está conectado. Por ejemplo, un espacio topológico está totalmente desconectado si cada uno de sus componentes es un único punto.
Las propiedades y parámetros basados en la idea de conectividad a menudo implican la palabra conectividad . Por ejemplo, en teoría de grafos , un grafo conexo es aquel al que debemos quitar al menos un vértice para crear un grafo desconectado. [3] En reconocimiento de esto, también se dice que tales gráficos son 1-conexos . De manera similar, un gráfico es conexo 2 si debemos eliminar al menos dos vértices para crear un gráfico desconectado. Un gráfico de 3 conexiones requiere la eliminación de al menos tres vértices, y así sucesivamente. La conectividad de un grafo es el número mínimo de vértices que se deben eliminar para desconectarlo. De manera equivalente, la conectividad de un gráfico es el mayor entero k para el cual el gráfico está k -conectado.
Si bien la terminología varía, las formas sustantivas de propiedades relacionadas con la conectividad a menudo incluyen el término conectividad . Por lo tanto, cuando se habla de espacios topológicos simplemente conectados, es mucho más común hablar de conectividad simple que de conectividad simple . Por otro lado, en campos sin una noción formalmente definida de conectividad , la palabra puede usarse como sinónimo de conectividad .
Otro ejemplo de conectividad se puede encontrar en los mosaicos regulares. Aquí, la conectividad describe la cantidad de vecinos accesibles desde un solo mosaico :
