En matemáticas , una categoría concreta es una categoría que está equipada con un funtor fiel a la categoría de conjuntos (o, a veces, a otra categoría, consulte Concreción relativa a continuación ). Este functor permite pensar en los objetos de la categoría como conjuntos con estructura adicional , y en sus morfismos como funciones que preservan la estructura. Muchas categorías importantes tienen interpretaciones obvias como categorías concretas, por ejemplo la categoría de espacios topológicos y la categoría de grupos , y trivialmente también la categoría de conjuntos en sí. Por otro lado, la categoría de homotopía de espacios topológicos no es concretizable , es decir, no admite un functor fiel a la categoría de conjuntos.
Una categoría concreta, cuando se define sin referencia a la noción de categoría, consta de una clase de objetos , cada uno de ellos equipado con un conjunto subyacente ; y para dos objetos cualesquiera A y B un conjunto de funciones, llamadas morfismos , desde el conjunto subyacente de A hasta el conjunto subyacente de B. Además, para cada objeto A , la función de identidad en el conjunto subyacente de A debe ser un morfismo de A a A , y la composición de un morfismo de A a B seguido de un morfismo de B a C debe ser un morfismo de A a C . [1]
Una categoría concreta es un par ( C , U ) tal que
El funtor U debe considerarse como un funtor olvidadizo , que asigna a cada objeto de C su "conjunto subyacente" y a cada morfismo en C su "función subyacente".
Una categoría C es concretizable si existe una categoría concreta ( C , U ); es decir, si existe un funtor fiel U : C → Set . Todas las categorías pequeñas son concretizables: defina U para que su parte objeto asigne cada objeto b de C al conjunto de todos los morfismos de C cuyo codominio es b (es decir, todos los morfismos de la forma f : a → b para cualquier objeto a de C ) , y su parte de morfismo asigna cada morfismo g : b → c de C a la función U ( g ): U ( b ) → U ( c ) que asigna cada miembro f : a → b de U ( b ) a la composición gf : a → c , un miembro de U ( c ). (El punto 6 en Más ejemplos expresa la misma U en un lenguaje menos elemental a través de presheaves). La sección Contraejemplos exhibe dos grandes categorías que no son concretizables.
Es importante señalar que, contrariamente a la intuición, la concreción no es una propiedad que una categoría puede satisfacer o no, sino más bien una estructura con la que una categoría puede estar equipada o no. En particular, una categoría C puede admitir varios functores fieles en Set . Por tanto, puede haber varias categorías concretas ( C , U ) , todas correspondientes a la misma categoría C.
En la práctica, sin embargo, la elección del funtor fiel suele ser clara y en este caso simplemente hablamos de la "categoría concreta C ". Por ejemplo, "la categoría concreta Conjunto " significa el par ( Conjunto , I ) donde I denota el funtor de identidad Conjunto → Conjunto .
El requisito de que U sea fiel significa que asigna diferentes morfismos entre los mismos objetos a diferentes funciones. Sin embargo, U puede asignar diferentes objetos al mismo conjunto y, si esto ocurre, también asignará diferentes morfismos a la misma función.
Por ejemplo, si S y T son dos topologías diferentes en el mismo conjunto X , entonces ( X , S ) y ( X , T ) son objetos distintos en la categoría Top de espacios topológicos y mapas continuos, pero asignados al mismo conjunto X. por el functor olvidadizo Arriba → Establecer . Además, el morfismo de identidad ( X , S ) → ( X , S ) y el morfismo de identidad ( X , T ) → ( X , T ) se consideran morfismos distintos en Top , pero tienen la misma función subyacente, es decir, la función de identidad. en X.
De manera similar, a cualquier conjunto con cuatro elementos se le pueden dar dos estructuras de grupo no isomorfas: una isomorfa a y la otra isomorfa a .
La categoría hTop , donde los objetos son espacios topológicos y los morfismos son clases de homotopía de funciones continuas, es un ejemplo de una categoría que no es concretizable. Si bien los objetos son conjuntos (con estructura adicional), los morfismos no son funciones reales entre ellos, sino clases de funciones. El hecho de que no existe ningún funtor fiel desde hTop hasta Set lo demostró por primera vez Peter Freyd . En el mismo artículo, Freyd cita un resultado anterior de que la categoría de "categorías pequeñas y clases de functores de equivalencia natural " tampoco logra ser concretable.
Dada una categoría concreta ( C , U ) y un número cardinal N , sea U N el funtor C → Conjunto determinado por U N (c) = (U(c)) N . Entonces un subfunctor de U N se llama predicado N-ario y una transformación natural U N → U operación N-aria .
La clase de todos los predicados N -arios y operaciones N -arias de una categoría concreta ( C , U ), con N abarcando la clase de todos los números cardinales, forma una firma grande . La categoría de modelos para esta firma contiene entonces una subcategoría completa que equivale a C.
En algunas partes de la teoría de categorías, más notablemente en la teoría del topos , es común reemplazar la categoría Conjunto con una categoría diferente X , a menudo llamada categoría base . Por esta razón, tiene sentido llamar a un par ( C , U ) donde C es una categoría y U un functor fiel C → X una categoría concreta sobre X . Por ejemplo, puede ser útil pensar que los modelos de una teoría con N tipos forman una categoría concreta sobre el Conjunto N.
En este contexto, una categoría concreta sobre Set a veces se denomina construcción .