Concentración de medida

Parámetro estadístico

En matemáticas , la concentración de la medida (alrededor de una mediana ) es un principio que se aplica en la teoría de la medida , la probabilidad y la combinatoria , y tiene consecuencias para otros campos como la teoría del espacio de Banach . De manera informal, afirma que "Una variable aleatoria que depende de manera Lipschitziana de muchas variables independientes (pero no demasiado de ninguna de ellas) es esencialmente constante". ^[1]

El fenómeno de concentración de medida fue propuesto a principios de la década de 1970 por Vitali Milman en sus trabajos sobre la teoría local de los espacios de Banach , ampliando una idea que se remonta al trabajo de Paul Lévy . ^{[2] [3]} Se desarrolló aún más en los trabajos de Milman y Gromov , Maurey , Pisier , Schechtman , Talagrand , Ledoux y otros.

El entorno general

Sea un espacio métrico con una medida en los conjuntos de Borel con . Sea ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu (X)=1}$

${\displaystyle \alpha (\epsilon )=\sup \left\{\mu (X\setminus A_{\epsilon })\,|A{\mbox{ is a Borel set and}}\,\mu (A)\geq 1/2\right\},}$

dónde

${\displaystyle A_{\epsilon }=\left\{x\,|\,d(x,A)<\epsilon \right\}}$

es la - extensión (también llamada -engorde en el contexto de la distancia de Hausdorff ) de un conjunto . ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle A}$

La función se denomina tasa de concentración del espacio . La siguiente definición equivalente tiene muchas aplicaciones: ${\displaystyle \alpha (\cdot )}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \alpha (\epsilon )=\sup \left\{\mu (\{F\geq \mathop {M} +\epsilon \})\right\},}$

donde el supremo es sobre todas las funciones 1-Lipschitz , y la mediana (o media de Levy) está definida por las desigualdades ${\displaystyle F:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle M=\mathop {\mathrm {Med} } F}$

${\displaystyle \mu \{F\geq M\}\geq 1/2,\,\mu \{F\leq M\}\geq 1/2.}$

De manera informal, el espacio exhibe un fenómeno de concentración si decae muy rápido a medida que crece. De manera más formal, una familia de espacios de medida métrica se denomina familia de Lévy si las tasas de concentración correspondientes satisfacen ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \alpha (\epsilon )}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle (X_{n},d_{n},\mu _{n})}$ ${\displaystyle \alpha _{n}}$

${\displaystyle \forall \epsilon >0\,\,\alpha _{n}(\epsilon )\to 0{\rm {\;as\;}}n\to \infty ,}$

y una familia Lévy normal si

${\displaystyle \forall \epsilon >0\,\,\alpha _{n}(\epsilon )\leq C\exp(-cn\epsilon ^{2})}$

Para algunas constantes . Para ver ejemplos, consulte a continuación. ${\displaystyle c,C>0}$

Concentración en la esfera

El primer ejemplo se remonta a Paul Lévy . Según la desigualdad isoperimétrica esférica , entre todos los subconjuntos de la esfera con medida esférica prescrita , el casquete esférico ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle \sigma _{n}(A)}$

${\displaystyle \left\{x\in S^{n}|\mathrm {dist} (x,x_{0})\leq R\right\},}$

Para que sea adecuado , tiene la extensión más pequeña (para cualquier ). ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle A_{\epsilon }}$ ${\displaystyle \epsilon >0}$

Aplicando esto a conjuntos de medidas (donde ), se puede deducir la siguiente desigualdad de concentración : ${\displaystyle \sigma _{n}(A)=1/2}$ ${\displaystyle \sigma _{n}(S^{n})=1}$

${\displaystyle \sigma _{n}(A_{\epsilon })\geq 1-C\exp(-cn\epsilon ^{2})}$,

donde son constantes universales. Por lo tanto, cumple con la definición anterior de una familia de Lévy normal. ${\displaystyle C,c}$ ${\displaystyle (S^{n})_{n}}$

Vitali Milman aplicó este hecho a varios problemas en la teoría local de espacios de Banach, en particular, para dar una nueva prueba del teorema de Dvoretzky .

Concentración de medida en física

Toda la física estadística clásica se basa en la concentración de fenómenos de medida: la idea fundamental ('teorema') sobre la equivalencia de conjuntos en el límite termodinámico ( Gibbs , 1902 ^[4] y Einstein , 1902-1904 ^{[5] [6] [7]} ) es exactamente el teorema de concentración de capa delgada. Para cada sistema mecánico, considere el espacio de fase equipado por la medida de Liouville invariante (el volumen de fase) y la energía conservante E . El conjunto microcanónico es simplemente una distribución invariante sobre la superficie de energía constante E obtenida por Gibbs como el límite de distribuciones en el espacio de fase con densidad constante en capas delgadas entre las superficies de estados con energía E y con energía E+ΔE . El conjunto canónico está dado por la densidad de probabilidad en el espacio de fase (con respecto al volumen de fase) donde las cantidades F = const y T = const están definidas por las condiciones de normalización de probabilidad y la expectativa dada de energía E . ${\displaystyle \rho =e^{\frac {F-E}{kT}},}$

Cuando el número de partículas es grande, entonces la diferencia entre los valores promedio de las variables macroscópicas para los conjuntos canónicos y microcanónicos tiende a cero, y sus fluctuaciones se evalúan explícitamente. Estos resultados son probados rigurosamente bajo ciertas condiciones de regularidad en la función de energía E por Khinchin (1943). ^[8] El caso particular más simple cuando E es una suma de cuadrados era bien conocido en detalle antes de Khinchin y Lévy e incluso antes de Gibbs y Einstein. Esta es la distribución de Maxwell-Boltzmann de la energía de la partícula en un gas ideal.

El conjunto microcanónico es muy natural desde el punto de vista físico ingenuo: se trata simplemente de una equidistribución natural en la hipersuperficie isoenergética. El conjunto canónico es muy útil debido a una propiedad importante: si un sistema consta de dos subsistemas que no interactúan, es decir, si la energía E es la suma , donde son los estados de los subsistemas, entonces los estados de equilibrio de los subsistemas son independientes, la distribución de equilibrio del sistema es el producto de las distribuciones de equilibrio de los subsistemas con la misma T. La equivalencia de estos conjuntos es la piedra angular de los fundamentos mecánicos de la termodinámica. ${\displaystyle E=E_{1}(X_{1})+E_{2}(X_{2})}$ ${\displaystyle X_{1},X_{2}}$

Otros ejemplos

• Desigualdad de Borell-TIS
• Desigualdad isoperimétrica gaussiana
• Desigualdad de McDiarmid
• Desigualdad de concentración de Talagrand
• Propiedad de equipartición asintótica

Referencias

1. Talagrand, Michel (1996). "Una nueva mirada a la independencia". Anales de probabilidad . 24 (1): 1–34. doi : 10.1214/aop/1042644705 .
2. " La concentración de , omnipresente en la teoría de la probabilidad y la mecánica estadística, fue llevada a la geometría (a partir de los espacios de Banach) por Vitali Milman, siguiendo el trabajo anterior de Paul Lévy ${\displaystyle f_{\ast }(\mu )}$ " - M. Gromov , Espacios y preguntas, GAFA 2000 (Tel Aviv, 1999), Geom. Funct. Anal. 2000, Volumen especial, Parte I, 118-161.
3. " La idea de concentración de la medida (descubierta por V. Milman) es sin duda una de las grandes ideas del análisis de nuestros tiempos. Si bien su impacto en la probabilidad es sólo una pequeña parte del panorama general, no se debe ignorar este impacto ". - M. Talagrand , Una nueva mirada a la independencia, Ann. Probab. 24 (1996), no. 1, 1–34.
4. Gibbs, Josiah Willard (1902). Principios elementales de mecánica estadística (PDF) . Nueva York, NY: Charles Scribner's Sons.
5. Einstein, Alberto (1902). "Kinetische Theorie des Wärmegleichgewichtes und des zweiten Hauptsatzes der Thermodynamik [Teoría cinética del equilibrio térmico y de la segunda ley de la termodinámica]" (PDF) . Annalen der Physik . Serie 4. 9 : 417–433. doi : 10.1002/andp.19023141007 . Consultado el 21 de enero de 2020 .
6. Einstein, Alberto (1904). "Eine Theorie der Grundlagen der Thermodynamik [Una teoría de los fundamentos de la termodinámica]" (PDF) . Annalen der Physik . Serie 4. 11 : 417–433 . Consultado el 21 de enero de 2020 .
7. Einstein, Alberto (1904). "Allgemeine molekulare Theorie der Wärme [Sobre la teoría molecular general del calor]" (PDF) . Annalen der Physik . Serie 4. 14 : 354–362. doi : 10.1002/andp.19043190707 . Consultado el 21 de enero de 2020 .
8. Khinchin, Aleksandr Y. (1949). Fundamentos matemáticos de la mecánica estadística [traducción al inglés de la edición rusa, Moscú, Leningrado, 1943]. Nueva York, NY: Courier Corporation . Consultado el 21 de enero de 2020 .

Lectura adicional

• Ledoux, Michel (2001). El fenómeno de la concentración de la medida . American Mathematical Society. ISBN 0-8218-2864-9.
• Giannopoulos, AA; Milman, VD (2000). "Propiedad de concentración en espacios de probabilidad" (PDF) . Avances en Matemáticas . 156 : 77–106. doi : 10.1006/aima.2000.1949 .

Enlaces externos

• Huszár, Ferenc (9 de noviembre de 2017). "Las distribuciones gaussianas son pompas de jabón".– entrada de blog que ilustra una de las implicaciones de la concentración de la medida