Métodos computacionales para flujo superficial libre

En física , un flujo de superficie libre es la superficie de un fluido que fluye y que está sujeto tanto a una tensión normal perpendicular cero como a una tensión cortante paralela . Este puede ser el límite entre dos fluidos homogéneos , como el agua en un recipiente abierto y el aire en la atmósfera terrestre que forman un límite en la cara abierta del recipiente.

El cálculo de superficies libres es complejo debido al cambio continuo en la ubicación de la capa límite . Los métodos de cálculo convencionales son insuficientes para dicho análisis. Por lo tanto, se desarrollan métodos especiales para el cálculo de flujos de superficie libre.

Introducción

El cálculo de flujos con límites libres y móviles como el flujo en canal abierto es una tarea difícil. La posición del límite se conoce solo en el momento inicial y su ubicación en momentos posteriores se puede determinar mediante diversos métodos, como el método de seguimiento de la interfaz y el método de captura de la interfaz.

Condiciones de contorno

Despreciando el cambio de fase en la superficie libre, se aplican las siguientes condiciones de contorno.

Condición cinemática

La superficie libre debe ser un límite nítido que separe los dos fluidos . No debe haber flujo a través de este límite, es decir,

${\displaystyle [(v-v_{b})\cdot n]_{fs}=0,}$o

${\displaystyle {\dot {m}}_{fs}=0}$

donde el subíndice representa la superficie libre. Esto implica que el componente normal de la velocidad del fluido en la superficie es igual al componente normal de la velocidad de la superficie libre. ${\displaystyle \Box _{fs}}$

Condición dinámica

Las fuerzas que actúan sobre el fluido en la superficie libre deben estar en equilibrio , es decir, el momento se conserva en la superficie libre. Las fuerzas normales a ambos lados de la superficie libre son iguales y opuestas en dirección y las fuerzas en dirección tangencial deben ser iguales en magnitud y dirección.

${\displaystyle (n\cdot T)_{l}\cdot n+\sigma K=-(n\cdot T)_{g}\cdot n,}$

${\displaystyle (n\cdot T)_{l}\cdot t-{\frac {\partial \sigma }{\partial t}}=(n\cdot T)_{g}\cdot t,}$

${\displaystyle (n\cdot T)_{l}\cdot s-{\frac {\partial \sigma }{\partial s}}=(n\cdot T)_{g}\cdot s,}$

Aquí σ es la tensión superficial , n , t y s son vectores unitarios en un sistema de coordenadas ortogonales locales ( n , t , s ) en la superficie libre ( n es normal hacia afuera a la superficie libre mientras que los otros dos se encuentran en el plano tangencial y son mutuamente ortogonales ). Los índices ' l' y ' g' denotan líquido y gas, respectivamente y K es la curvatura de la superficie libre.

${\displaystyle K={\frac {1}{R_{t}}}+{\frac {1}{R_{s}}}}$

siendo R _t y R _s los radios de curvatura a lo largo de las coordenadas t y s .

La tensión superficial σ es la fuerza por unidad de longitud de un elemento de superficie y actúa tangencialmente a la superficie libre.

${\displaystyle f_{\sigma }=\sigma \ dl}$

Para un elemento de superficie infinitesimalmente pequeño dS , los componentes tangenciales de las fuerzas de tensión superficial se cancelan cuando σ = constante , y el componente normal puede expresarse como una fuerza local que resulta en un salto de presión a través de la superficie.

Métodos de cálculo

Método de seguimiento de la interfaz

Este es un método que trata la superficie libre como una interfaz definida cuyo movimiento se sigue. En este método, se utilizan cuadrículas ajustadas a los límites y se avanzan cada vez que se mueve la superficie libre.
El método de seguimiento de la interfaz es útil en situaciones como el cálculo del flujo alrededor de cuerpos sumergidos. Esto se hace haciendo que una superficie libre no perturbada sea lineal, por lo que se introduce una función de altura para la elevación de la superficie libre en relación con su estado no perturbado.

${\displaystyle Z=H(x,y,t)}$

Esto le da a la condición de contorno cinemático una nueva forma:

${\displaystyle {\dfrac {\partial H}{\partial t}}=u_{z}-u_{x}{\dfrac {\partial H}{\partial x}}-u_{y}{\dfrac {\partial H}{\partial y}}}$

Esta ecuación se puede integrar y la velocidad del fluido en la superficie libre se puede obtener ya sea por extrapolación desde el interior o utilizando condiciones de contorno dinámicas. Para el cálculo del flujo, se utiliza ampliamente el método FV. Los pasos para un método FV totalmente conservador de este tipo son:

• Se resuelve la ecuación del momento para obtener la velocidad en la superficie libre actual utilizando la presión especificada. ${\displaystyle u}$ _{${\displaystyle i}$} ^{${\displaystyle *}$}
• La conservación de la masa local se aplica en cada CV resolviendo una ecuación de corrección de presión. La masa se conserva tanto global como localmente, pero se produce una corrección de velocidad en la superficie libre, lo que da como resultado un flujo de masa distinto de cero.
• La posición de la superficie libre se corrige para compensar el flujo de masa distinto de cero con el flujo de volumen debido al movimiento de cada cara de celda de la superficie libre mediante la aplicación de las condiciones de límite cinemáticas.
• Iterar hasta que no se necesiten más correcciones, satisfaciendo las ecuaciones de continuidad y momento.
• Avanzar al siguiente paso de tiempo. ^[1]

El principal problema con el algoritmo en este procedimiento es que solo hay una ecuación para una celda, pero una gran cantidad de nodos de la cuadrícula en movimiento. Para evitar la inestabilidad y la reflexión de las ondas, el método se modifica de la siguiente manera:
A partir de los pasos anteriores, podemos calcular el volumen de fluido que debe fluir hacia adentro o hacia afuera de la celda de control para que se conserve la masa. Para obtener las coordenadas de los vértices de la celda de control en la superficie libre, tenemos más incógnitas y menos ecuaciones debido al caudal volumétrico único para cada celda.

Por lo tanto, los CV se definen por los centros de las caras de las celdas en lugar de los vértices, y los vértices se obtienen por interpolación . Esto da un sistema tridiagonal para 2D y se puede resolver utilizando el método TDMA . Para 3D, el sistema es tridiagonal por bloques y se resuelve mejor con uno de los solucionadores iterativos.

Método de captura de interfaz

En el cálculo de flujos de dos fluidos, en algunos casos la interfaz puede ser demasiado compleja para rastrear mientras se mantiene la frecuencia de remallado a un nivel aceptable. No ser capaz de reducir la frecuencia de remallado en 3D puede introducir costos abrumadores de generación y proyección de malla, haciendo que los cálculos con la técnica de seguimiento de interfaz ya no sean factibles. En tales casos, las técnicas de captura de interfaz, que normalmente no requieren pasos costosos de actualización de malla, podrían usarse con el entendimiento de que la interfaz no se representará con tanta precisión como lo habríamos hecho con una técnica de seguimiento de interfaz. ^[2] Métodos que no definen la interfaz como un límite nítido. Una cuadrícula fija se extiende más allá de la superficie libre sobre la que se realiza el cálculo. Para determinar la forma de la superficie libre, se calcula la fracción de cada celda cerca de la interfaz que está parcialmente llena.

Esquema de marcadores y células o MAC

El método MAC fue propuesto por Harlow y Welch en 1965. En este método, se introduce una partícula sin masa en el momento inicial en la superficie libre y se sigue el movimiento de esta partícula sin masa a lo largo del tiempo.

Beneficio: Este esquema puede tratar fenómenos complejos como la rotura de olas.

Desventaja: En el flujo tridimensional, resolver las ecuaciones que gobiernan el flujo de fluidos y también seguir el movimiento de un gran número de marcadores simultáneamente exige un alto poder computacional.

Esquema de volumen de fluido o VOF

El esquema VOF fue propuesto por Hirt y Nichols en 1981. En este método, la fracción de la celda ocupada por la fase líquida se puede calcular resolviendo la ecuación de transporte. ^[3] La ecuación de transporte es:

⁠∂c/∂t+ div(cv) = 0

donde c es la fracción del volumen de control lleno. c = 1 para volúmenes de control completamente llenos y c = 0 para volúmenes de control completamente vacíos.
Por lo tanto, en total, para el método VOF, uno tiene que resolver tres formas de ecuaciones, ecuaciones de conservación de masa, ecuaciones de conservación de momento y ecuación para la fracción llena para cada volumen de control.

NOTA : EN FLUJOS INCOMPRESIBLES, LA ECUACIÓN ANTERIOR DA LOS MISMOS RESULTADOS CON c Y 1 - c, LO QUE HACE OBLIGATORIO EL CUMPLIMIENTO DE LA CONSERVACIÓN DE LA MASA.

Dado que se prefieren los esquemas de orden superior a los de orden inferior para evitar la mezcla artificial de los dos fluidos, es importante evitar los sobreimpulsos y subimpulsos debido a la condición 0 ≤ c ≤ 1. Para tales problemas, se realizaron modificaciones a los esquemas MAC y VOF.

Modificaciones al esquema MAC y VOF

Método de marcadores y microceldas en el que el refinamiento local de la cuadrícula se realiza de acuerdo con los siguientes criterios:

Sólo se refinan las celdas que tienen 0 < c < 1.

Este método es más eficiente que el esquema MAC porque solo se refinan las celdas en el límite. Pero en este método, el perfil de superficie libre no está definido con precisión.

Métodos híbridos

Existen algunos flujos de fluidos que no entran en ninguna de las categorías, por ejemplo, los flujos burbujeantes. Para el cálculo de estos flujos de dos fases que no entran en ninguna de las categorías analizadas anteriormente, se toman prestados elementos de los métodos de captura de superficie y de seguimiento de superficie. Estos métodos se denominan métodos híbridos. En este método, las propiedades del fluido se esparcen sobre un número fijo de puntos de la cuadrícula normales a la interfaz. Ahora, como en el método de captura de interfaz, ambos fluidos se tratan como un solo fluido con propiedades variables. La interfaz también se rastrea como en el método de seguimiento de interfaz para evitar que se esparza moviendo las partículas marcadoras utilizando el campo de velocidad generado por el solucionador de flujo. Las partículas marcadoras se agregan y eliminan para mantener la precisión manteniendo el espaciado aproximado entre ellas igual.

Referencias

1. Ferziger, Joel H. y Milovan Perić. Métodos computacionales para dinámica de fluidos. Vol. 3. Berlín: Springer, 2002.
2. Tezduyar, T. "Técnicas de rastreo y captura de interfaces para el cálculo de límites e interfaces móviles". Actas del 6º Congreso Mundial de Mecánica Computacional, publicación en línea: http://wccm ^{[ enlace permanente muerto ]} . tuwien. ac. at/, Paper-ID. Vol. 81513. 2002.
3. Hirt, CW; Nichols, BD (1981), Método del volumen de fluido (VOF) para la dinámica de límites libres, Journal of Computational Physics 39 (1): 201–225, Bibcode :1981JCoPh..39..201H, doi :10.1016/0021-9991(81)90145-5