En geometría , un compuesto poliédrico es una figura que está formada por varios poliedros que comparten un centro común . Son los análogos tridimensionales de compuestos poligonales como el hexagrama .
Los vértices externos de un compuesto se pueden conectar para formar un poliedro convexo llamado envoltura convexa . Un compuesto es una faceta de su envoltura convexa. [ cita requerida ]
Otro poliedro convexo está formado por el pequeño espacio central común a todos los miembros del compuesto. Este poliedro puede utilizarse como núcleo para un conjunto de estelaciones .
Un compuesto poliédrico regular puede definirse como un compuesto que, al igual que un poliedro regular , es transitivo por vértices , transitivo por aristas y transitivo por caras . A diferencia del caso de los poliedros, esto no es equivalente al grupo de simetría que actúa transitivamente sobre sus banderas ; el compuesto de dos tetraedros es el único compuesto regular con esa propiedad. Existen cinco compuestos regulares de poliedros:
El más conocido es el compuesto regular de dos tetraedros , a menudo llamado stella octangula , nombre que le dio Kepler . Los vértices de los dos tetraedros definen un cubo , y la intersección de los dos define un octaedro regular , que comparte los mismos planos de las caras que el compuesto. Por lo tanto, el compuesto de dos tetraedros es una estelación del octaedro y, de hecho, la única estelación finita del mismo.
El compuesto regular de cinco tetraedros se presenta en dos versiones enantiomórficas , que juntas forman el compuesto regular de diez tetraedros. [1] El compuesto regular de diez tetraedros también puede verse como un compuesto de cinco stellae octangulae. [1]
Cada uno de los compuestos tetraédricos regulares es autodual o dual con su gemelo quiral; el compuesto regular de cinco cubos y el compuesto regular de cinco octaedros son duales entre sí.
Por lo tanto, los compuestos poliédricos regulares también pueden considerarse compuestos dual-regulares .
La notación de Coxeter para compuestos regulares se da en la tabla anterior, incorporando símbolos de Schläfli . El material dentro de los corchetes, [ d { p , q }], denota los componentes del compuesto: d separa los { p , q }. El material antes de los corchetes denota la disposición de los vértices del compuesto: c { m , n }[ d { p , q }] es un compuesto de d { p , q } que comparten los vértices de { m , n } contados c veces. El material después de los corchetes denota la disposición de las facetas del compuesto: [ d { p , q }] e { s , t } es un compuesto de d { p , q } que comparten las caras de { s , t } contados e veces. Estos pueden combinarse: así, c { m , n }[ d { p , q }] e { s , t } es un compuesto de d { p , q } que comparten los vértices de { m , n } contados c veces y las caras de { s , t } contadas e veces. Esta notación puede generalizarse a compuestos en cualquier número de dimensiones. [2]
Un compuesto dual está formado por un poliedro y su dual, dispuestos recíprocamente alrededor de una esfera media común , de modo que la arista de un poliedro interseca la arista dual del poliedro dual. Hay cinco compuestos duales de poliedros regulares.
El núcleo es la rectificación de ambos sólidos. La envoltura es el dual de esta rectificación, y sus caras rómbicas tienen como diagonales las aristas que se intersecan de los dos sólidos (y tienen sus cuatro vértices alternos). Para los sólidos convexos, esta es la envoltura convexa .
El tetraedro es autodual, por lo que el compuesto dual de un tetraedro con su dual es el octaedro estrellado regular .
Los compuestos duales octaédricos e icosaédricos son las primeras estelaciones del cuboctaedro y del icosidodecaedro , respectivamente.
El compuesto dual dodecaédrico estrellado pequeño (o gran dodecaedro) tiene el gran dodecaedro completamente interior al dodecaedro estrellado pequeño. [3]
En 1976, John Skilling publicó Uniform Compounds of Uniform Polyhedra (Compuestos uniformes de poliedros uniformes), en el que enumeraba 75 compuestos (incluidos 6 conjuntos prismáticos infinitos de compuestos, n.° 20-n.° 25) formados a partir de poliedros uniformes con simetría rotacional. (Cada vértice es transitivo con respecto a los vértices y cada vértice es transitivo con respecto a todos los demás vértices). Esta lista incluye los cinco compuestos regulares anteriores. [1]
Los 75 compuestos uniformes se enumeran en la siguiente tabla. La mayoría se muestran con un color único según cada elemento del poliedro. Algunos pares quirales de grupos de caras están coloreados según la simetría de las caras dentro de cada poliedro.
Dos poliedros que son compuestos pero tienen sus elementos fijados rígidamente en su lugar son el pequeño icosidodecaedro complejo (compuesto de icosaedro y gran dodecaedro ) y el gran icosidodecaedro complejo (compuesto de pequeño dodecaedro estrellado y gran icosaedro ). Si se generaliza la definición de un poliedro uniforme , son uniformes.
La sección de pares de enantiomorfos en la lista de Skilling no contiene el compuesto de dos grandes dodecicosidodecaedros chatos , ya que las caras del pentagrama coincidirían. Al eliminar las caras coincidentes, se obtiene el compuesto de veinte octaedros .
En 4 dimensiones, hay una gran cantidad de compuestos regulares de politopos regulares. Coxeter enumera algunos de ellos en su libro Regular Polytopes [Polítopos regulares ]. [4] McMullen agregó seis en su artículo New Regular Compounds of 4-Polytopes [Nuevos compuestos regulares de 4 politopos ]. [5]
Autoduales:
Pares duales:
Compuestos uniformes y duales con 4-politopos convexos:
El superíndice (var) en las tablas anteriores indica que los compuestos etiquetados son distintos de los otros compuestos con el mismo número de constituyentes.
Compuestos estelares autoduales:
Pares duales de estrellas compuestas:
Estrellas compuestas uniformes y duales :
Posiciones duales:
En términos de teoría de grupos , si G es el grupo de simetría de un compuesto poliédrico, y el grupo actúa transitivamente sobre los poliedros (de modo que cada poliedro puede enviarse a cualquiera de los otros, como en compuestos uniformes), entonces si H es el estabilizador de un solo poliedro elegido, los poliedros pueden identificarse con el espacio de órbitas G / H – la clase lateral gH corresponde a qué poliedro g envía al poliedro elegido.
Existen dieciocho familias de teselaciones compuestas regulares de dos parámetros en el plano euclidiano. En el plano hiperbólico se conocen cinco familias de un parámetro y diecisiete casos aislados, pero no se ha enumerado la totalidad de esta lista.
Las familias compuestas euclidianas e hiperbólicas 2 { p , p } (4 ≤ p ≤ ∞, p un entero) son análogas a la stella octangula esférica , 2 {3,3}.
Una familia conocida de panales euclidianos regulares compuestos en cualquier número de dimensiones es una familia infinita de compuestos de panales hipercúbicos , todos ellos compartiendo vértices y caras con otro panal hipercúbico. Este compuesto puede tener cualquier número de panales hipercúbicos.
También existen compuestos de teselación dual-regular . Un ejemplo sencillo es el compuesto E 2 de una teselación hexagonal y su teselación triangular dual , que comparte sus aristas con la teselación trihexagonal deltoidal . Los compuestos euclidianos de dos panales hipercúbicos son tanto regulares como dual-regulares.
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