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El compuesto de cinco tetraedros es uno de los cinco compuestos poliédricos regulares. Este poliedro compuesto es también una estelación del icosaedro regular . Fue descrito por primera vez por Edmund Hess en 1876.
Puede verse como una faceta de un dodecaedro regular .
Se puede construir disponiendo cinco tetraedros en simetría icosaédrica rotacional ( I ), como se colorea en el modelo superior derecho. Es uno de los cinco compuestos regulares que se pueden construir a partir de sólidos platónicos idénticos . [2]
Comparte la misma disposición de vértices que un dodecaedro regular .
Existen dos formas enantiomorfas (la misma figura pero con quiralidad opuesta) de este poliedro compuesto. Ambas formas juntas crean el compuesto simétrico de reflexión de diez tetraedros .
Tiene una densidad superior a 1.
También se puede obtener estelando el icosaedro , y se da como índice del modelo de Wenninger 24. [ 3]
Se trata de una faceta de un dodecaedro, como se muestra a la izquierda.
El compuesto de cinco tetraedros es una ilustración geométrica de la noción de órbitas y estabilizadores , como sigue.
El grupo de simetría del compuesto es el grupo icosaédrico (rotacional) I de orden 60, mientras que el estabilizador de un solo tetraedro elegido es el grupo tetraédrico (rotacional) T de orden 12, y el espacio de órbitas I / T (de orden 60/12 = 5) se identifica naturalmente con los 5 tetraedros – la clase lateral gT corresponde a qué tetraedro g envía al tetraedro elegido.
Este compuesto es inusual, ya que la figura dual es el enantiomorfo del original. Si las caras están torcidas hacia la derecha, entonces los vértices están torcidos hacia la izquierda. Cuando dualizamos , las caras se dualizan en vértices torcidos hacia la derecha y los vértices se dualizan en caras torcidas hacia la izquierda, dando lugar al maclado quiral. Las figuras con esta propiedad son extremadamente raras.
El compuesto de cinco tetraedros está relacionado con el tetraedro regular de 5 celdas , el tetraedro regular de 4-símplex , que también está compuesto por 5 tetraedros regulares. En el tetraedro de 5 celdas, los tetraedros están unidos cara a cara de tal manera que cada cara triangular es compartida por dos celdas tetraédricas.
El compuesto de cinco tetraedros se presenta incrustado en el espacio de 4 dimensiones , inscrito en las 120 celdas dodecaédricas de la celda de 120. La celda de 120 es el 4-politopo regular más grande y completo ; la celda de 5 regular es la más pequeña y elemental. La celda de 120 contiene inscritas dentro de sí misma instancias de cada otro 4-politopo regular. [4] En cada una de las celdas dodecaédricas de la celda de 120, hay dos instancias inscritas del compuesto de 5 tetraedros (en otras palabras, una instancia del compuesto de diez tetraedros ). Los 5 tetraedros de cada compuesto de cinco ocurren como celdas de otro 4-politopo regular inscrito dentro de la celda de 120, la celda de 600 , que tiene 600 tetraedros regulares como sus celdas. La célula de 120 es un compuesto de 5 células de 600 disjuntas, y cada una de sus células dodecaédricas es un compuesto de 5 células tetraédricas , una célula de cada una de las 5 células de 600 disjuntas.