Compresión de pulso

La compresión de pulsos es una técnica de procesamiento de señales comúnmente utilizada por el radar , el sonar y la ecografía para aumentar la resolución del rango cuando la longitud del pulso está limitada o aumentar la relación señal-ruido cuando la potencia máxima y el ancho de banda (o, equivalentemente, la resolución del rango) de la señal transmitida están restringidos. Esto se logra modulando el pulso transmitido y luego correlacionando la señal recibida con el pulso transmitido. ^[1]

pulso simple

Descripción de la señal

El modelo ideal para el tipo de señales más simple, e históricamente el primero, que un radar o sonar de pulsos puede transmitir es un pulso sinusoidal truncado (también llamado pulso CW -onda portadora--), de amplitud y frecuencia portadora , truncado por una línea rectangular. función del ancho, . El pulso se transmite periódicamente, pero ese no es el tema principal de este artículo; Consideraremos solo un pulso . Si asumimos que el pulso comienza en el tiempo , la señal se puede escribir de la siguiente manera, usando la notación compleja : ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f_{0}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle t=0}$

${\displaystyle s(t)={\begin{cases}e^{2i\pi f_{0}t}&{\text{if}}\;0\leq t<T\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

Resolución de rango

Determinemos la resolución de alcance que se puede obtener con dicha señal. La señal de retorno, escrita , es una copia atenuada y en diferido de la señal transmitida original (en realidad, el efecto Doppler también puede desempeñar un papel, pero esto no es importante aquí). También hay ruido en la señal entrante, tanto en El canal imaginario y el real. Se supone que el ruido tiene una banda limitada, es decir, que sólo tiene frecuencias (esto generalmente se cumple en la realidad, donde generalmente se utiliza un filtro de paso de banda como una de las primeras etapas de la cadena de recepción); escribimos para denotar ese ruido. Para detectar la señal entrante, normalmente se utiliza un filtro adaptado . Este método es óptimo cuando se va a detectar una señal conocida entre ruido aditivo que tiene una distribución normal . ${\displaystyle r(t)}$ ${\displaystyle [f_{0}-\Delta f/2,f_{0}+\Delta f/2]}$ ${\displaystyle N(t)}$

En otras palabras, se calcula la correlación cruzada de la señal recibida con la señal transmitida. Esto se logra convolucionando la señal entrante con una versión conjugada y en tiempo inverso de la señal transmitida. Esta operación se puede realizar ya sea en software o con hardware. Escribimos para esta correlación cruzada. Tenemos: ${\displaystyle \langle s,r\rangle (t)}$

${\displaystyle \langle s,r\rangle (t)=\int _{t'\,=\,0}^{+\infty }s^{\star }(t')r(t+t')dt'}$

Si la señal reflejada regresa al receptor en ese momento y se atenúa por el factor , esto produce: ${\displaystyle t_{r}}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle r(t)=\left\{{\begin{array}{ll}Ae^{2i\pi f_{0}(t\,-\,t_{r})}+N(t)&{\mbox{if}}\;t_{r}\leq t<t_{r}+T\\N(t)&{\mbox{otherwise}}\end{array}}\right.}$

Como conocemos la señal transmitida, obtenemos:

${\displaystyle \langle s,r\rangle (t)=A\Lambda \left({\frac {t-t_{r}}{T}}\right)e^{2i\pi f_{0}(t\,-\,t_{r})}+N'(t)}$

donde , es el resultado de la intercorrelación entre el ruido y la señal transmitida. La función es la función triangular, su valor es 0 en , aumenta linealmente cuando alcanza su máximo 1 y disminuye linealmente hasta llegar a 0 nuevamente. Las figuras al final de este párrafo muestran la forma de la intercorrelación para una señal de muestra (en rojo), en este caso un seno real truncado, de segundos de duración, de amplitud unitaria y frecuencia hercios. Dos ecos (en azul) regresan con retrasos de 3 y 5 segundos y amplitudes iguales a 0,5 y 0,3 veces la amplitud del pulso transmitido, respectivamente; estos son sólo valores aleatorios por el bien del ejemplo. Dado que la señal es real, la intercorrelación se pondera con 1 ⁄ 2 factor adicional. ${\displaystyle N'(t)}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\textstyle [-\infty ,-{\frac {1}{2}}]\cup [{\frac {1}{2}},+\infty ]}$ ${\textstyle [-{\frac {1}{2}},0]}$ ${\textstyle [0,{\frac {1}{2}}]}$ ${\displaystyle T=1}$ ${\textstyle f_{0}=10}$

Si dos impulsos regresan (casi) al mismo tiempo, la intercorrelación es igual a la suma de las intercorrelaciones de las dos señales elementales. Para distinguir una envolvente "triangular" de la del otro impulso, se ve claramente que los tiempos de llegada de los dos impulsos deben estar separados por al menos una distancia de al menos para que se puedan separar los máximos de ambos impulsos. Si no se cumple esta condición, ambos triángulos quedarán mezclados y será imposible separarlos. ${\displaystyle T}$

Dado que la distancia recorrida por una onda durante es (donde c es la velocidad de la onda en el medio), y dado que esta distancia corresponde a un tiempo de ida y vuelta, obtenemos: ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle cT}$

 

Energía y relación señal-ruido de la señal recibida.

La potencia instantánea del pulso recibido es . La energía puesta en esa señal es: ${\displaystyle P(t)=|r|^{2}(t)}$

${\displaystyle E=\int _{0}^{T}P(t)dt=A^{2}T}$

Si es la desviación estándar del ruido que se supone tiene el mismo ancho de banda que la señal, la relación señal-ruido (SNR) en el receptor es: ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle SNR={\frac {E_{r}}{\sigma ^{2}}}={\frac {A^{2}T}{\sigma ^{2}}}}$

La SNR es proporcional a la duración del pulso , si otros parámetros se mantienen constantes. Esto introduce una compensación: aumentar mejora la SNR, pero reduce la resolución, y viceversa. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$

Compresión de pulsos mediante modulación de frecuencia lineal (o chirrido )

Principios básicos

¿Cómo se puede tener un pulso lo suficientemente grande (para seguir teniendo una buena SNR en el receptor) sin una resolución deficiente? Aquí es donde la compresión del pulso entra en escena. El principio básico es el siguiente:

• Se transmite una señal, con una longitud suficiente para que el presupuesto de energía sea correcto.
• esta señal está diseñada para que después del filtrado adaptado, el ancho de las señales intercorrelacionadas sea menor que el ancho obtenido por el pulso sinusoidal estándar, como se explicó anteriormente (de ahí el nombre de la técnica: compresión de pulso).

En aplicaciones de radar o sonar , los chirridos lineales son las señales más utilizadas para lograr la compresión de pulsos. Al ser el pulso de longitud finita, la amplitud es una función rectangular . Si la señal transmitida tiene una duración , comienza en y barre linealmente la banda de frecuencia centrada en la portadora , se puede escribir: ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle \Delta f}$ ${\displaystyle f_{0}}$

${\displaystyle s_{c}(t)=\left\{{\begin{array}{ll}e^{i2\pi \left(\left(f_{0}\,-\,{\frac {\Delta f}{2}}\right)t\,+\,{\frac {\Delta f}{2T}}t^{2}\,\right)}&{\mbox{if}}\;0\leq t<T\\0&{\mbox{otherwise}}\end{array}}\right.}$

La definición de chirrido anterior significa que la fase de la señal chirriada (es decir, el argumento del exponencial complejo) es la cuadrática:

${\displaystyle \phi (t)=2\pi \left(\left(f_{0}\,-\,{\frac {\Delta f}{2}}\right)t\,+\,{\frac {\Delta f}{2T}}t^{2}\,\right)}$

por tanto, la frecuencia instantánea es (por definición):

${\displaystyle f(t)={\frac {1}{2\pi }}\left[{\frac {d\phi }{dt}}\right]_{t}=f_{0}-{\frac {\Delta f}{2}}+{\frac {\Delta f}{T}}t}$

que es la rampa lineal prevista que va de at a at . ${\displaystyle f_{0}-{\frac {\Delta f}{2}}}$ ${\displaystyle t=0}$ ${\textstyle f_{0}+{\frac {\Delta f}{2}}}$ ${\displaystyle t=T}$

La relación de fase a frecuencia se usa a menudo en la otra dirección, comenzando con la fase deseada y escribiendo la fase del chirrido mediante la integración de la frecuencia: ${\displaystyle f(t)}$

${\displaystyle \phi (t)=2\pi \int _{0}^{t}f(u)\,du}$

Esta señal transmitida generalmente es reflejada por el objetivo y sufre atenuación debido a diversas causas, por lo que la señal recibida es una versión atenuada y con retardo de tiempo de la señal transmitida más un ruido aditivo de densidad espectral de potencia constante en y cero en el resto: ${\displaystyle [f_{0}-\Delta f/2,f_{0}+\Delta f/2]}$

${\displaystyle r(t)=\left\{{\begin{array}{ll}Ae^{i2\pi \left(\left(f_{0}\,-\,{\frac {\Delta f}{2}}\right)(t-t_{r})\,+\,{\frac {\Delta f}{2T}}(t-t_{r})^{2}\,\right)}+N(t)&{\mbox{if}}\;t_{r}\leq t<t_{r}+T\\N(t)&{\mbox{otherwise}}\end{array}}\right.}$

Correlación cruzada entre la señal transmitida y recibida.

Ahora nos esforzamos en calcular la correlación de la señal recibida con las señales transmitidas. Para ello se van a tomar dos acciones:

- La primera acción es una simplificación. En lugar de calcular la correlación cruzada, vamos a calcular una autocorrelación que equivale a suponer que el pico de autocorrelación está centrado en cero. Esto no cambiará la resolución ni las amplitudes, pero simplificará las matemáticas:

${\displaystyle r'(t)={\begin{cases}Ae^{2i\pi \left(f_{0}\,+\,{\frac {\Delta f}{2T}}t\right)t}+N(t)&{\mbox{if}}\;-{\frac {T}{2}}\leq t<{\frac {T}{2}}\\N(t)&{\mbox{otherwise}}\end{cases}}}$

- La segunda acción es, como se muestra a continuación, establecer una amplitud para la señal de referencia que no sea una, sino . La constante debe determinarse de modo que la energía se conserve mediante correlación. ${\displaystyle \rho \neq 1}$ ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle s_{c}'(t)={\begin{cases}\rho e^{2i\pi \left(f_{0}\,+\,{\frac {\Delta f}{2T}}t\right)t}&{\mbox{if}}\;-{\frac {T}{2}}\leq t<{\frac {T}{2}}\\0&{\mbox{otherwise}}\end{cases}}}$

Ahora se puede demostrar ^[2] que la función de correlación de con es: ${\displaystyle s_{c}'}$ ${\displaystyle r'}$

${\displaystyle \langle s_{c}',r'\rangle (t)=\rho A{\sqrt {T}}\Lambda \left({\frac {t}{T}}\right)\mathrm {sinc} \left[\Delta ft\Lambda \left({\frac {t}{T}}\right)\right]e^{2i\pi f_{0}t}+N'(t)}$

¿Dónde está la correlación de la señal de referencia con el ruido recibido? ${\displaystyle N'(t)}$

Ancho de la señal después de la correlación.

Suponiendo que el ruido es cero, el máximo de la función de autocorrelación se alcanza en 0. Alrededor de 0, esta función se comporta como el término sinc (o seno cardinal), definido aquí como . El ancho temporal de −3 dB de ese seno cardinal es más o menos igual a . Todo sucede como si, tras un filtrado coincidente, tuviéramos la resolución que se habría alcanzado con un simple pulso de duración . Para los valores comunes de , es menor que , de ahí el nombre de compresión de pulso . ${\displaystyle s_{c'}}$ ${\displaystyle sinc(x)=sin(\pi x)/(\pi x)}$ ${\textstyle T'={\frac {1}{\Delta f}}}$ ${\displaystyle T'}$ ${\displaystyle \Delta f}$ ${\displaystyle T'}$ ${\displaystyle T}$

Dado que el seno cardinal puede tener lóbulos laterales molestos , una práctica común es filtrar el resultado por una ventana ( Hamming , Hann , etc.). En la práctica, esto se puede hacer al mismo tiempo que el filtrado adaptado multiplicando el chirrido de referencia por el filtro. El resultado será una señal con una amplitud máxima ligeramente menor, pero los lóbulos laterales se filtrarán, lo cual es más importante.

 

 

Energía y potencia máxima después de la correlación.

Cuando la señal de referencia se escala correctamente usando el término , entonces es posible conservar la energía antes y después de la correlación. La potencia máxima (y promedio) antes de la correlación es: ${\displaystyle s_{c}'}$ ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle P_{r'}=|r'(t)|^{2}=P_{r'}^{peak}=A^{2}}$

Dado que antes de la compresión el pulso tiene forma de caja, la energía antes de la correlación es:

${\displaystyle E_{r'}=\int _{-T/2}^{T/2}|r'(t)|^{2}dt=A^{2}T}$

La potencia máxima después de la correlación se alcanza en : ${\displaystyle t=0}$

${\displaystyle P_{<s_{c},r'>}^{peak}=|<s_{c}',r'>(0)|^{2}=\rho ^{2}A^{2}T}$

Tenga en cuenta que si esta potencia máxima es la energía de la señal recibida antes de la correlación, lo cual es lo esperado. Después de la compresión, el pulso es aproximado por una caja que tiene un ancho igual al ancho típico de la función, es decir, un ancho , por lo que la energía después de la correlación es: ${\displaystyle \rho =1}$ ${\displaystyle sinc}$ ${\displaystyle T'=1/\Delta f}$

${\displaystyle E_{<s_{c},r'>}=\int _{-\infty }^{+\infty }|<s_{c}',r'>(t)|^{2}dt\approx P_{<s_{c},r'>}^{peak}\times T'=\rho ^{2}{\frac {A^{2}T}{\Delta f}}}$

Si se conserva la energía:

${\displaystyle E_{r'}=E_{<s_{c}',r'>}}$

... resulta que: de modo que la potencia máxima después de la correlación es: ${\displaystyle \rho ={\sqrt {\Delta f}}}$

${\displaystyle P_{<s_{c}',r'>}^{peak}=A^{2}T=P_{r'}\times \Delta f\times T}$

Como conclusión, la potencia máxima de la señal de pulso comprimido es la de la señal recibida sin procesar (suponiendo que la plantilla esté correctamente escalada para conservar energía mediante correlación). ${\displaystyle \Delta f\times T}$ ${\displaystyle s_{c}'}$

Ganancia señal-ruido después de la correlación

Equivalencia entre un pulso chirriado y un pulso CW más corto después de la compresión del pulso. La energía es el área bajo las curvas azules (en el dominio del tiempo); la potencia es el área bajo las curvas rojas (en el dominio espectral).

Como hemos visto anteriormente, las cosas están escritas para que la energía de la señal no varíe durante la compresión del pulso. Sin embargo, ahora se ubica en el lóbulo principal del seno cardinal, cuyo ancho es de aproximadamente . Si es la potencia de la señal antes de la compresión y la potencia de la señal después de la compresión, la energía se conserva y tenemos: ${\textstyle T'\approx {\frac {1}{\Delta f}}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P'}$ ${\displaystyle E}$

${\displaystyle E=P\times T=P'\times T'}$

lo que produce un aumento de potencia después de la compresión del pulso:

${\displaystyle P'=P\times {\frac {T}{T'}}}$

En el dominio espectral, el espectro de potencia del chirrido tiene una densidad espectral casi constante en el intervalo y cero en otros lugares, de modo que la energía se expresa de manera equivalente como . Esta densidad espectral sigue siendo la misma después del filtrado combinado. ${\displaystyle D=P/\Delta f}$ ${\displaystyle [f_{0}-\Delta f/2,f_{0}+\Delta f/2]}$ ${\displaystyle E=P\times T=D.\Delta f.T}$

Imaginando ahora un pulso sinusoidal equivalente (CW) de duración y potencia de entrada idéntica, este pulso sinusoidal equivalente tiene una energía: ${\displaystyle T'=1/\Delta f}$

${\displaystyle E'=P\times T'=E{\frac {T'}{T}}}$

Después de un filtrado combinado, el pulso sinusoidal equivalente se convierte en una señal de forma triangular del doble de su ancho original pero con la misma potencia máxima. Se conserva la energía. El dominio espectral se aproxima mediante una densidad espectral casi constante en el intervalo donde . Mediante la conservación de la energía tenemos: ${\displaystyle D'}$ ${\displaystyle [f_{0}-\Delta f/2,f_{0}+\Delta f/2]}$ ${\displaystyle \Delta f\approx 1/T'}$

${\displaystyle E'=E{\frac {T'}{T}}=D\Delta fT{\frac {T'}{T}}=D\Delta fT'}$

Dado que, por definición, también tenemos: viene eso: lo que significa que las densidades espectrales del pulso chirriado y el pulso CW equivalente son casi idénticas y equivalentes a las de un filtro de paso de banda en . El efecto de filtrado de correlación también actúa sobre el ruido, es decir, que la banda de referencia para el ruido es y como , se obtiene el mismo efecto de filtrado sobre el ruido en ambos casos tras la correlación. Esto significa que el efecto neto de la compresión de pulsos es que, en comparación con el pulso CW equivalente, la relación señal-ruido (SNR) ha mejorado en un factor porque la señal se amplifica pero no el ruido. ${\displaystyle E'=D'\Delta fT'}$ ${\displaystyle D'=D}$ ${\displaystyle [f_{0}-\Delta f/2,f_{0}+\Delta f/2]}$ ${\displaystyle \Delta f}$ ${\displaystyle D=D'}$ ${\displaystyle T/T'}$

Como consecuencia:  

 

Por razones técnicas, la correlación no se realiza necesariamente para los impulsos CW recibidos reales como para los impulsos chirriados. Sin embargo, durante el cambio de banda base , la señal sufre un filtrado de paso de banda que tiene el mismo efecto neto sobre el ruido que la correlación, por lo que el razonamiento general sigue siendo el mismo (es decir, la SNR sólo tiene sentido para el ruido definido en un ancho de banda determinado, siendo aquí el de la señal). ${\displaystyle [f_{0}-\Delta f/2,f_{0}+\Delta f/2]}$

Esta ganancia en la SNR parece mágica, pero recuerda que la densidad espectral de potencia no representa la fase de la señal. En realidad, las fases son diferentes para el pulso CW equivalente, el pulso CW después de la correlación, el pulso chirriado original y el pulso chirriado correlacionado, lo que explica las diferentes formas de las señales (especialmente las diferentes longitudes) a pesar de tener (casi) la misma potencia. espectro en todos los casos. Si la potencia máxima de transmisión y el ancho de banda están limitados, la compresión de pulso logra una mejor potencia máxima (pero la misma resolución) al transmitir un pulso más largo (es decir, más energía), en comparación con un pulso CW equivalente de la misma potencia máxima y ancho de banda . y apretar el pulso por correlación. Esto funciona mejor sólo para un número limitado de tipos de señales que, después de la correlación, tienen un pico más estrecho que la señal original y lóbulos laterales bajos. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \Delta f}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \Delta f}$

Procesamiento de estiramiento

Si bien la compresión de pulsos puede garantizar una buena relación señal-ruido y una resolución de rango fino al mismo tiempo, el procesamiento de señales digitales en un sistema de este tipo puede ser difícil de implementar debido al alto ancho de banda instantáneo de la forma de onda ( puede ser de cientos de megahercios o incluso superar 1 GHz). Stretch Processing es una técnica para el filtrado adaptado de formas de onda de chirrido de banda ancha y es adecuado para aplicaciones que buscan una resolución de rango muy fino en intervalos de rango relativamente cortos. ^[3] ${\displaystyle \Delta f}$

Procesamiento de estiramiento

La imagen de arriba muestra el escenario para analizar el procesamiento de estiramiento. El punto de referencia central (CRP) está en el medio de la ventana de rango de interés en el rango de , correspondiente a un retraso de tiempo de . ${\displaystyle R_{0}}$ ${\displaystyle t_{0}}$

Si la forma de onda transmitida es la forma de onda chirrido:

${\displaystyle x(t)=\exp \left(j\pi {\frac {\Delta f}{T}}(t)^{2}\right)\exp(j2\pi f_{0}(t)),0\leq t\leq T}$

entonces el eco del objetivo a distancia se puede expresar como: ${\displaystyle R_{b}}$

${\displaystyle {\bar {x}}(t)=\rho \exp \left(j\pi {\frac {\Delta f}{T}}(t-t_{b})^{2}\right)\exp(j2\pi f_{0}(t-t_{b})),0\leq t-t_{b}\leq T}$

donde es proporcional a la reflectividad del dispersor. Luego multiplicamos el eco por y el eco quedará: ${\displaystyle \rho }$ ${\textstyle \exp(-j2\pi f_{0}t)\exp \left(-j\pi {\frac {\Delta f}{T}}(t-t_{0})^{2}\right)}$

${\displaystyle y(t)=\rho \exp \left(-j{\frac {4\pi R_{b}}{\lambda }}\right)\exp \left(-j2\pi {\frac {\Delta f}{T}}\delta t_{b}(t-t_{0})\right)\exp \left(j\pi {\frac {\Delta f}{T}}(\delta t_{b})^{2}\right),t_{0}\leq t-\delta t_{b}\leq t_{0}+T}$

¿Dónde está la longitud de onda de la onda electromagnética en el aire? ${\displaystyle \lambda }$

Después de realizar un muestreo y una transformada discreta de Fourier en y(t), se puede resolver la frecuencia sinusoide: ${\displaystyle F_{b}}$

${\displaystyle F_{b}=-\delta t_{b}{\frac {\Delta f}{T}}(Hz)}$

y el rango diferencial se puede obtener: ${\displaystyle \delta R_{b}}$

${\displaystyle \delta R_{b}=-{\frac {cTF_{b}}{2\Delta f}}}$

Para demostrar que el ancho de banda de y(t) es menor que el ancho de banda de la señal original , suponemos que la ventana de rango es larga. Si el objetivo está en el límite inferior de la ventana de alcance, el eco llegará segundos después de la transmisión; De manera similar, si el objetivo está en el límite superior de la ventana de alcance, el eco llegará segundos después de la transmisión. El tiempo de llegada diferencial para cada caso es y , respectivamente. ${\displaystyle \Delta f}$ ${\displaystyle R_{w}={\frac {cT_{w}}{2}}}$ ${\displaystyle t_{0}-T_{w}/2}$ ${\displaystyle t_{0}+T_{w}/2}$ ${\displaystyle \delta t_{b}}$ ${\displaystyle -T_{w}/2}$ ${\displaystyle T_{w}/2}$

Luego podemos obtener el ancho de banda considerando la diferencia en la frecuencia sinusoide para los objetivos en el límite inferior y superior de la ventana de rango:

$${\displaystyle \Delta f_{s}=F_{b,{\text{near}}}-F_{b,{\text{far}}}=-{\frac {\Delta f}{T}}(-T_{w}/2-T_{w}/2)={\frac {T_{w}}{T}}\Delta f}$$

  Para demostrar que el procesamiento de estiramiento preserva la resolución del rango, debemos entender que y(t) es en realidad un tren de impulsos con una duración de pulso T y un período , que es igual al período del tren de impulsos transmitido. Como resultado, la transformada de Fourier de y(t) es en realidad una función sinc con resolución de Rayleigh . Es decir, el procesador podrá resolver dispersores que estén al menos separados. ${\displaystyle T_{trans}}$ ${\textstyle {\frac {1}{T}}}$ ${\displaystyle F_{b}}$ ${\displaystyle \Delta F_{b}=1/T}$

Como consecuencia,

${\displaystyle {\frac {1}{T}}=\left\vert {\frac {\Delta f}{T}}\Delta (\delta t_{b})\right\vert \Rightarrow \left\vert \Delta (\delta t_{b})\right\vert ={\frac {1}{\Delta f}}}$

y,

${\displaystyle \Delta (\delta R_{b})={\frac {c\Delta (\delta t_{b})}{2}}={\frac {c}{2\Delta f}}}$

que es la misma que la resolución de la forma de onda de modulación de frecuencia lineal original.

Forma de onda de frecuencia escalonada

Aunque el procesamiento extendido puede reducir el ancho de banda de la señal de banda base recibida, todos los componentes analógicos en los circuitos frontales de RF aún deben poder soportar un ancho de banda instantáneo de . Además, la longitud de onda efectiva de la onda electromagnética cambia durante el barrido de frecuencia de una señal de chirrido y, por lo tanto, la dirección de visión de la antena cambiará inevitablemente en un sistema de matriz en fase . ${\displaystyle \Delta f}$

Las formas de onda de frecuencia escalonada son una técnica alternativa que puede preservar la resolución de rango fino y la SNR de la señal recibida sin un gran ancho de banda instantáneo. A diferencia de la forma de onda chirriante, que recorre linealmente un ancho de banda total en un solo pulso, la forma de onda de frecuencia escalonada emplea un tren de impulsos donde la frecuencia de cada pulso aumenta con respecto al pulso anterior. La señal de banda base se puede expresar como: ${\displaystyle \Delta f}$ ${\displaystyle \Delta F}$

${\displaystyle x(t)=\sum _{m=0}^{M-1}x_{p}(t-mT)e^{j2\pi m\Delta F(t-mT)}}$

donde es un impulso rectangular de longitud y M es el número de pulsos en un solo tren de pulsos. El ancho de banda total de la forma de onda sigue siendo igual a , pero los componentes analógicos se pueden restablecer para admitir la frecuencia del siguiente pulso durante el tiempo entre pulsos. Como resultado, se puede evitar el problema mencionado anteriormente. ${\displaystyle x_{p}(t)}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \Delta f=M\Delta F}$

Para calcular la distancia del objetivo correspondiente a un retraso , se procesan pulsos individuales a través del filtro de pulso coincidente simple: ${\displaystyle t_{l}+\delta t}$

${\displaystyle h_{p}(t)=x_{p}^{*}(-t)}$

y la salida del filtro coincidente es:

${\displaystyle y_{m}(t)=s_{p}^{*}(t-(t_{l}+\delta t)-mT)e^{j2\pi m\Delta F(t-(t_{l}+\delta t)-mT)}}$

dónde

${\displaystyle s_{p}^{*}(t-(t_{l}+\delta t)-mT)=x_{p}(t-(t_{l}+\delta t)-mT)*h_{p}(t)}$

Si tomamos una muestra en , podemos obtener: ${\displaystyle y_{m}(t)}$ ${\displaystyle t=t_{l}+mT}$

${\displaystyle y[l,m]=s_{p}^{*}(\delta t)e^{j2\pi m\Delta F\delta t}}$

donde l significa el rango bin l. Realice DTFT (aquí se sirve m como tiempo) y podemos obtener:

${\displaystyle Y[l,\omega ]=\sum _{m=0}^{M-1}y[l,m]e^{-j\omega m}=s_{p}^{*}(\delta t)\sum _{m=0}^{M-1}e^{j(\omega -2\pi \Delta F\delta t)m}}$

, y el pico de la sumatoria ocurre cuando . ${\displaystyle \omega =2\pi \Delta F\delta t}$

En consecuencia, el DTFT de proporciona una medida del retraso del objetivo en relación con el retraso del rango del rango : ${\displaystyle y[l,m]}$ ${\displaystyle t_{l}}$

$${\displaystyle \delta t={\frac {\omega _{p}}{2\pi \Delta F}}={\frac {f_{p}}{\Delta F}}}$$

${\displaystyle \delta R={\frac {cf_{p}}{2\Delta F}}}$

donde c es la velocidad de la luz.

Para demostrar que la forma de onda de frecuencia escalonada conserva la resolución del rango, debe tenerse en cuenta que es una función tipo sinc y, por lo tanto, tiene una resolución de Rayleigh de . Como resultado: ${\displaystyle Y[l,\omega ]}$ ${\displaystyle \Delta f_{p}=1/M}$

${\displaystyle \Delta (\delta t)={\frac {1}{M\Delta F}}={\frac {1}{\Delta f}}}$

y por lo tanto la resolución de rango diferencial es:

${\displaystyle \Delta (\delta R)={\frac {c}{2\Delta f}}}$

que es la misma que la resolución de la forma de onda de modulación de frecuencia lineal original.

Compresión de impulsos mediante codificación de fase.

Existen otros medios para modular la señal. La modulación de fase es una técnica comúnmente utilizada; en este caso, el impulso se divide en intervalos de duración para los cuales se elige la fase en el origen según una convención preestablecida. Por ejemplo, es posible no cambiar la fase durante algunos intervalos de tiempo (lo que se reduce a dejar la señal tal como está, en esos intervalos) y desfasar la señal en los otros intervalos (lo que equivale a cambiar el signo de la señal); esto se conoce como manipulación binaria por desplazamiento de fase . La forma precisa de elegir la secuencia de fases se puede realizar según una técnica conocida como códigos de Barker . ${\displaystyle N}$ ${\textstyle {\frac {T}{N}}}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \{0,\pi \}}$

Las ventajas ^[4] de los códigos de Barker son su simplicidad (como se indicó anteriormente, un desfase es un simple cambio de signo), pero la relación de compresión del pulso es menor que en el caso del chirrido y la compresión es muy sensible a los cambios de frecuencia debidos. al efecto Doppler si ese cambio es mayor que . ${\displaystyle \pi }$ ${\textstyle {\frac {1}{T}}}$

Otras secuencias binarias pseudoaleatorias tienen propiedades de compresión de pulsos casi óptimas, como los códigos Gold , los códigos JPL o los códigos Kasami , porque su pico de autocorrelación es muy estrecho. Estas secuencias tienen otras propiedades interesantes que las hacen adecuadas para el posicionamiento GNSS , por ejemplo.

Es posible codificar la secuencia en más de dos fases (codificación polifásica). Al igual que con un chirrido lineal, la compresión del pulso se logra mediante la intercorrelación.

Ver también

• Radar de onda continua
• Espectro ensanchado
• Compresión de chirrido

Notas

1. JR Klauder, A. C, Price, S. Darlington y WJ Albersheim, 'La teoría y el diseño de los radares Chirp', Bell System Technical Journal 39, 745 (1960).
2. Achim Hein, Procesamiento de datos SAR: fundamentos, procesamiento de señales, interferometría , Springer, 2004, ISBN  3-540-05043-4 , páginas 38 a 44. Demostración muy rigurosa de la función de autocorrelación de un chirrido. El autor trabaja con chirridos reales, de ahí el factor de 1 ⁄ 2 en su libro, que no se utiliza aquí.
3. Richards, Mark A. 2014. Fundamentos del procesamiento de señales de radar. Nueva York [etc.]: Educación McGraw-Hill.
4. J.-P. Hardange, P. Lacomme, J.-C. Marchais, Radars aéroportés et spatiaux , Masson, París, 1995, ISBN 2-225-84802-5 , página 104. Disponible en inglés: Air and Spaceborne Radar Systems: una introducción , Instituto de Ingenieros Eléctricos, 2001, ISBN 0-85296- 981-3  

Otras lecturas

• Nadav Levanon y Eli Mozeson. Señales de radar. Wiley. com, 2004.
• Hao He, Jian Li y Petre Stoica . Diseño de formas de onda para sistemas de detección activa: un enfoque computacional. Prensa de la Universidad de Cambridge, 2012.
• M. Soltanalian. Diseño de señales para comunicaciones y detección activa. Disertaciones de Uppsala de la Facultad de Ciencia y Tecnología (impresas por Elanders Sverige AB), 2014.
• Solomon W. Golomb y Guang Gong. Diseño de señales para una buena correlación: para comunicación inalámbrica, criptografía y radar. Prensa de la Universidad de Cambridge, 2005.
• Fulvio Gini, Antonio De Maio y Lee Patton, eds. Diseño y diversidad de formas de onda para sistemas de radar avanzados. Institución de ingeniería y tecnología, 2012.
• John J. Benedetto, Ioannis Konstantinidis y Muralidhar Rangaswamy. "Formas de onda codificadas en fase y su diseño". Revista de procesamiento de señales IEEE, 26.1 (2009): 22-31.
• Ducoff, Michael R. y Byron W. Tietjen. "Radar de compresión de pulsos". Manual de radar (2008): 8-3.