Intersección completa

En matemáticas, una variedad algebraica V en el espacio proyectivo es una intersección completa si el ideal de V es generado por elementos V exactamente codificados . Es decir, si V tiene dimensión m y se encuentra en el espacio proyectivo P ⁿ , deberían existir n − m polinomios homogéneos: ^[1]

${\displaystyle F_{i}(X_{0},\cdots ,X_{n}),1\leq i\leq n-m,}$

en las coordenadas homogéneas X _j , que generan todos los demás polinomios homogéneos que desaparecen en V .

Geométricamente, cada F _i define una hipersuperficie ; la intersección de estas hipersuperficies debería ser V . La intersección de n − m hipersuperficies siempre tendrá dimensión al menos m , asumiendo que el campo de los escalares es un campo algebraicamente cerrado como el de los números complejos . La pregunta es esencialmente: ¿podemos reducir la dimensión a m sin puntos adicionales en la intersección? Esta condición es bastante difícil de comprobar una vez que la codimensión n − m ≥ 2 . Cuando n − m = 1 entonces V es automáticamente una hipersuperficie y no hay nada que demostrar.

Ejemplos

Ejemplos sencillos de intersecciones completas los dan las hipersuperficies que están definidas por el lugar geométrico de fuga de un solo polinomio. Por ejemplo,

${\displaystyle \mathbb {V} (x_{0}^{5}+\cdots +x_{4}^{5})={\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {F} [x_{0},\ldots ,x_{4}]}{(x_{0}^{5}+\cdots +x_{4}^{5})}}\right){\xrightarrow {i}}\mathbb {P} _{\mathbb {F} }^{4}}$

da un ejemplo de un triple quíntico. Puede ser difícil encontrar ejemplos explícitos de intersecciones completas de variedades de dimensiones superiores usando dos o más ejemplos explícitos (bestiario), pero hay un ejemplo explícito de un tipo triple dado por ${\displaystyle (2,4)}$

${\displaystyle \mathbb {V} (x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}x_{5},x_{4}^{4}+x_{5}^{4}-2x_{0}x_{1}x_{2}x_{3})}$

No ejemplos

cúbico retorcido

Un método para construir intersecciones completas locales es tomar una variedad de intersección completa proyectiva e incrustarla en un espacio proyectivo de dimensiones superiores. Un ejemplo clásico de esto es el cúbico torcido : es una intersección completa local suave, lo que significa que en cualquier gráfico puede expresarse como el lugar geométrico de fuga de dos polinomios, pero globalmente se expresa como el lugar geométrico de fuga de más de dos polinomios. Podemos construirlo usando el paquete de líneas muy amplio en lugar de darle la incrustación. ${\displaystyle \mathbb {P} _{R}^{3}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(3)}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$

${\displaystyle \mathbb {P} _{R}^{1}\to \mathbb {P} _{R}^{3}}$por ${\displaystyle [s:t]\mapsto [s^{3}:s^{2}t:st^{2}:t^{3}]}$

Tenga en cuenta que . Si dejamos la incrustación da las siguientes relaciones: ${\displaystyle \Gamma ({\mathcal {O}}(3))={\text{Span}}_{R}\{s^{3},s^{2}t,st^{2},t^{3}\}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} _{R}^{3}={\text{Proj}}(R[x_{0},x_{1},x_{2},x_{3}])}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{1}&=x_{0}x_{3}-x_{1}x_{2}\\f_{2}&=x_{1}^{2}-x_{0}x_{2}\\f_{3}&=x_{2}^{2}-x_{1}x_{3}\end{aligned}}}$

Por tanto, la cúbica retorcida es el esquema proyectivo.

${\displaystyle {\text{Proj}}\left({\frac {R[x_{0},x_{1},x_{2},x_{3}]}{(f_{1},f_{2},f_{3})}}\right)}$

Unión de variedades que difieren en dimensión.

Otra forma conveniente de construir una intersección no completa, que nunca puede ser una intersección completa local, es tomando la unión de dos variedades diferentes donde sus dimensiones no concuerdan. Por ejemplo, la unión de una línea y un plano que se cruzan en un punto es un ejemplo clásico de este fenómeno. Está dado por el esquema.

${\displaystyle {\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y,z]}{(xz,yz)}}\right)}$

multigrado

Una intersección completa tiene un multigrado , escrito como la tupla (correctamente a través de un multiconjunto ) de los grados de las hipersuperficies definitorias. Por ejemplo, tomando nuevamente cuádricas en P ³ , (2,2) es el multigrado de la intersección completa de dos de ellas, que cuando están en posición general es una curva elíptica . Kunihiko Kodaira resolvió los números de Hodge de intersecciones completas, complejas y suaves .

Posición general

Para cuestiones más refinadas, la naturaleza de la intersección debe abordarse más de cerca. Es posible que se requiera que las hipersuperficies satisfagan una condición de transversalidad (como que sus espacios tangentes estén en una posición general en los puntos de intersección). La intersección puede ser teórica de esquemas ; en otras palabras, aquí se puede requerir que el ideal homogéneo generado por F _i ( X ₀ , ..., X _n ) sea el ideal definitorio de V , y no solo tenga el radical correcto . En álgebra conmutativa , la condición de intersección completa se traduce en términos de secuencia regular , lo que permite la definición de intersección completa local , o después de alguna localización , un ideal tiene secuencias regulares que definen.

Topología

Homología

Dado que las intersecciones completas de dimensión en son intersecciones de secciones de hiperplano, podemos usar el teorema del hiperplano de Lefschetz para deducir que ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n+m}}$

${\displaystyle H^{j}(X)=\mathbb {Z} }$

para . Además, se puede comprobar que los grupos de homología siempre están libres de torsión mediante el teorema del coeficiente universal . Esto implica que el grupo de homología medio está determinado por la característica de Euler del espacio. ${\displaystyle j<n}$

característica de euler

Hirzebruch dio una función generadora que calcula la dimensión de todas las intersecciones completas de varios grados . Se lee ${\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{r})}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\chi (X_{n}(a_{1},\ldots ,a_{r}))z^{n}={\frac {a_{1}\cdots a_{r}}{(1-z)^{2}}}\prod _{i=1}^{r}{\frac {1}{(1+(a_{i}-1)z)}}}$

Citación

1. Harris 1992, pág. 136, Definición.

Referencias

• Harris, Joe (1992). Geometría algebraica, un primer curso. Ciencia Springer . ISBN 978-0-387-97716-4.
• Hübsch, Tristan, Calabi-Yau Manifolds, Un bestiario para físicos , World Scientific, p. 380, ISBN 978-981-02-0662-8
• Looijenga, EJN (1984), Puntos singulares aislados en intersecciones completas , Serie de notas de conferencias de la London Mathematical Society, vol. 77, Cambridge: Cambridge University Press, doi :10.1017/CBO9780511662720, ISBN 0-521-28674-3, señor  0747303
• Meyer, Christian (2005), Triples modulares Calabi-Yau , vol. 22, Monografías del Fields Institute, pág. 194, ISBN 978-0-8218-3908-9
• Características de Euler de intersecciones completas (PDF) , archivado desde el original (PDF) el 15 de agosto de 2017

enlaces externos

• Intersecciones completas en Manifold Atlas