Combinatoria aritmética

En matemáticas , la combinatoria aritmética es un campo en la intersección de la teoría de números , la combinatoria , la teoría ergódica y el análisis armónico .

Alcance

La combinatoria aritmética trata de las estimaciones combinatorias asociadas con operaciones aritméticas (suma, resta, multiplicación y división). La combinatoria aditiva es el caso especial en el que solo se utilizan las operaciones de suma y resta.

Ben Green explica la combinatoria aritmética en su reseña de "Combinatoria aditiva" de Tao y Vu . ^[1]

Resultados importantes

Teorema de Szemerédi

El teorema de Szemerédi es un resultado de la combinatoria aritmética que se refiere a progresiones aritméticas en subconjuntos de los números enteros. En 1936, Erdős y Turán conjeturaron ^[2] que todo conjunto de números enteros A con densidad natural positiva contiene una progresión aritmética de k términos para cada k . Esta conjetura, que se convirtió en el teorema de Szemerédi, generaliza el enunciado del teorema de van der Waerden .

Teorema de Green-Tao y extensiones

El teorema de Green-Tao , demostrado por Ben Green y Terence Tao en 2004, ^[3] establece que la sucesión de números primos contiene progresiones aritméticas arbitrariamente largas . En otras palabras, existen progresiones aritméticas de primos, con k términos, donde k puede ser cualquier número natural. La demostración es una extensión del teorema de Szemerédi .

En 2006, Terence Tao y Tamar Ziegler extendieron el resultado para cubrir progresiones polinómicas. ^[4] Más precisamente, dados polinomios de valor entero P ₁ ,..., P _k en una incógnita m todos con término constante 0, hay infinitos enteros x , m tales que x  +  P ₁ ( m ), ..., x  +  P _k ( m ) son simultáneamente primos. El caso especial cuando los polinomios son m , 2 m , ..., km implica el resultado anterior de que hay progresiones aritméticas de longitud k de primos.

Teorema de Breuillard-Green-Tao

El teorema de Breuillard-Green-Tao, demostrado por Emmanuel Breuillard , Ben Green y Terence Tao en 2011, ^[5] proporciona una clasificación completa de los grupos aproximados. Este resultado puede considerarse una versión no abeliana del teorema de Freiman y una generalización del teorema de Gromov sobre grupos de crecimiento polinomial .

Ejemplo

Si A es un conjunto de N números enteros, ¿qué tan grande o pequeño puede ser el conjunto sumatorio?

${\displaystyle A+A:=\{x+y:x,y\in A\},}$

El conjunto de diferencias

${\displaystyle A-A:=\{x-y:x,y\in A\},}$

y el conjunto de productos

${\displaystyle A\cdot A:=\{xy:x,y\in A\}}$

ser, y ¿cómo se relacionan los tamaños de estos conjuntos? (No confundir: los términos conjunto de diferencias y conjunto de productos pueden tener otros significados).

Extensiones

Los conjuntos en estudio también pueden ser subconjuntos de estructuras algebraicas distintas de los números enteros, por ejemplo, grupos , anillos y cuerpos . ^[6]

Véase también

• Teoría de números aditivos
• Combinatoria aditiva
• Grupo aproximado
• Teorema de los vértices
• Teoría ergódica de Ramsey
• Problemas que involucran progresiones aritméticas
• Densidad de Schnirelmann
• Lema de Shapley-Folkman
• Conjunto de Sidón
• Conjunto sin suma
• Suma restringida
• Fenómeno suma-producto

Notas

1. Green, Ben (julio de 2009). "Reseñas de libros: Combinatoria aditiva, por Terence C. Tao y Van H. Vu" (PDF) . Boletín de la Sociedad Matemática Americana . 46 (3): 489–497. doi : 10.1090/s0273-0979-09-01231-2 .
2. Erdős, Paul ; Turán, Paul (1936). "Sobre algunas sucesiones de números enteros" (PDF) . Revista de la Sociedad Matemática de Londres . 11 (4): 261–264. doi :10.1112/jlms/s1-11.4.261. MR  1574918..
3. Green, Ben ; Tao, Terence (2008). "Los primos contienen progresiones aritméticas arbitrariamente largas". Anales de Matemáticas . 167 (2): 481–547. arXiv : math.NT/0404188 . doi :10.4007/annals.2008.167.481. MR  2415379. S2CID  1883951..
4. Tao, Terence ; Ziegler, Tamar (2008). "Los primos contienen progresiones polinómicas arbitrariamente largas". Acta Mathematica . 201 (2): 213–305. arXiv : math/0610050 . doi :10.1007/s11511-008-0032-5. MR  2461509. S2CID  119138411..
5. Breuillard, Emmanuel ; Verde, Ben ; Tao, Terence (2012). "La estructura de grupos aproximados". Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 116 : 115–221. arXiv : 1110.5008 . doi :10.1007/s10240-012-0043-9. SEÑOR  3090256. S2CID  119603959..
6. Bourgain, Jean; Katz, Nets; Tao, Terence (2004). "Una estimación de suma-producto en campos finitos y aplicaciones". Análisis geométrico y funcional . 14 (1): 27–57. arXiv : math/0301343 . doi :10.1007/s00039-004-0451-1. MR  2053599. S2CID  14097626.

Referencias

• Łaba, Izabella (2008). "Del análisis armónico a la combinatoria aritmética". Bull. Amer. Math. Soc . 45 (1): 77–115. doi : 10.1090/S0273-0979-07-01189-5 .
• Combinatoria aditiva y ciencia informática teórica Archivado el 4 de marzo de 2016 en Wayback Machine , Luca Trevisan, SIGACT News, junio de 2009
• Bibak, Khodakhast (2013). "Combinatoria aditiva con vistas a la informática y la criptografía". En Borwein, Jonathan M.; Shparlinski, Igor E.; Zudilin, Wadim (eds.). Teoría de números y campos relacionados: en memoria de Alf van der Poorten . Vol. 43. Nueva York: Springer Proceedings in Mathematics & Statistics. págs. 99–128. arXiv : 1108.3790 . doi :10.1007/978-1-4614-6642-0_4. ISBN . 978-1-4614-6642-0.S2CID14979158  .​
• Problemas abiertos en combinatoria aditiva, E Croot, V Lev
• De las agujas giratorias a la estabilidad de las ondas: conexiones emergentes entre la combinatoria, el análisis y las ecuaciones diferenciales parciales, Terence Tao , AMS Notices, marzo de 2001
• Tao, Terence ; Vu, Van H. (2006). Combinatoria aditiva . Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 105. Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 0-521-85386-9.MR 2289012.Zbl 1127.11002  . ​
• Granville, Andrew ; Nathanson, Melvyn B.; Solymosi, József , eds. (2007). Combinatoria aditiva . Actas y notas de conferencias de CRM. Vol. 43. American Mathematical Society . ISBN. 978-0-8218-4351-2.Zbl 1124.11003  .
• Mann, Henry (1976). Teoremas de adición: Teoremas de adición de la teoría de grupos y la teoría de números (reimpresión corregida de la edición de Wiley de 1965). Huntington, Nueva York: Robert E. Krieger Publishing Company. ISBN 0-88275-418-1.
• Nathanson, Melvyn B. (1996). Teoría de números aditivos: las bases clásicas . Textos de posgrado en matemáticas . Vol. 164. Nueva York: Springer-Verlag. ISBN. 0-387-94656-X.Señor 1395371  .
• Nathanson, Melvyn B. (1996). Teoría de números aditivos: problemas inversos y geometría de conjuntos sumatorios . Textos de posgrado en matemáticas . Vol. 165. Nueva York: Springer-Verlag. ISBN. 0-387-94655-1.Señor 1477155  .

Lectura adicional

• Algunos aspectos destacados de la combinatoria aritmética, recursos de Terence Tao
• Combinatoria aditiva: invierno de 2007, K Soundararajan
• Las primeras conexiones entre la combinatoria aditiva y la informática, Luca Trevisan