Combinación

Selección de artículos de un conjunto.

En matemáticas , una combinación es una selección de elementos de un conjunto que tiene miembros distintos, de modo que el orden de selección no importa (a diferencia de las permutaciones ). Por ejemplo, dadas tres frutas, digamos una manzana, una naranja y una pera, hay tres combinaciones de dos que se pueden extraer de este conjunto: una manzana y una pera; una manzana y una naranja; o una pera y una naranja. Más formalmente, una k combinación de un conjunto S es un subconjunto de k elementos distintos de S. Entonces, dos combinaciones son idénticas si y sólo si cada combinación tiene los mismos miembros. (La disposición de los miembros en cada conjunto no importa). Si el conjunto tiene n elementos, el número de k -combinaciones, denotado por o , es igual al coeficiente binomial ${\displaystyle C(n,k)}$ ${\displaystyle C_{k}^{n}}$

$${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n(n-1)\dotsb (n-k+1)}{k(k-1)\dotsb 1}},}$$

que se puede escribir usando factoriales como siempre y que es cero cuando . Esta fórmula se puede derivar del hecho de que cada k -combinación de un conjunto S de n miembros tiene permutaciones so o . ^[1] El conjunto de todas las k -combinaciones de un conjunto S a menudo se denota por . ${\displaystyle \textstyle {\frac {n!}{k!(n-k)!}}}$ ${\displaystyle k\leq n}$ ${\displaystyle k>n}$ ${\displaystyle k!}$ ${\displaystyle P_{k}^{n}=C_{k}^{n}\times k!}$ ${\displaystyle C_{k}^{n}=P_{k}^{n}/k!}$ ${\displaystyle \textstyle {\binom {S}{k}}}$

Una combinación es una combinación de n cosas tomadas k a la vez sin repetición . Para referirse a combinaciones en las que se permite la repetición, se suelen utilizar los términos k -combinación con repetición, k - multiset , ^[2] o k -selección, ^{[3] . [4]} Si, en el ejemplo anterior, fuera posible tener dos de cualquier tipo de fruta, habría 3 2 selecciones más: una con dos manzanas, otra con dos naranjas y otra con dos peras.

Aunque el conjunto de tres frutas era lo suficientemente pequeño como para escribir una lista completa de combinaciones, esto resulta poco práctico a medida que aumenta el tamaño del conjunto. Por ejemplo, una mano de póquer se puede describir como una combinación de 5 ( k  = 5) de cartas de una baraja de 52 cartas ( n  = 52). Las 5 cartas de la mano son todas distintas y el orden de las cartas en la mano no importa. Hay 2.598.960 combinaciones de este tipo y la probabilidad de sacar una mano al azar es 1/2.598.960.

Número de k -combinaciones

Subconjuntos de 3 elementos de un conjunto de 5 elementos

El número de k -combinaciones de un conjunto dado S de n elementos a menudo se denota en textos de combinatoria elemental por , o por una variación como , , o incluso ^[5] (la última forma es estándar en francés, rumano, ruso, Textos en chino ^{[6] [7]} y polaco ^{[ cita necesaria ]} ). Sin embargo, el mismo número ocurre en muchos otros contextos matemáticos, donde se denota por (a menudo se lee como " n elige k "); en particular, aparece como un coeficiente en la fórmula binomial , de ahí su nombre coeficiente binomial. Se puede definir para todos los números naturales k a la vez mediante la relación ${\displaystyle C(n,k)}$ ${\displaystyle C_{k}^{n}}$ ${\displaystyle {}_{n}C_{k}}$ ${\displaystyle {}^{n}C_{k}}$ ${\displaystyle C_{n,k}}$ ${\displaystyle C_{n}^{k}}$ ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$ ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$

$${\displaystyle (1+X)^{n}=\sum _{k\geq 0}{\binom {n}{k}}X^{k},}$$

de lo cual se desprende claramente que

$${\displaystyle {\binom {n}{0}}={\binom {n}{n}}=1,}$$

y además

$${\displaystyle {\binom {n}{k}}=0}$$

para k  >  norte .

Para ver que estos coeficientes cuentan k -combinaciones de S , primero se puede considerar una colección de n variables distintas X _s etiquetadas por los elementos s de S y expandir el producto sobre todos los elementos de  S :

$${\displaystyle \prod _{s\in S}(1+X_{s});}$$

tiene 2 ⁿ términos distintos correspondientes a todos los subconjuntos de S , cada subconjunto da el producto de las variables correspondientes X _s . Ahora, igualando todas las X _s a la variable sin etiquetar X , de modo que el producto se convierta en (1 + X ) ⁿ , el término para cada k combinación de S se convierta en X ^k , de modo que el coeficiente de esa potencia en el resultado sea igual el número de tales k -combinaciones.

Los coeficientes binomiales se pueden calcular explícitamente de varias maneras. Para obtenerlos todos para las expansiones hasta (1 + X ) ⁿ , se puede usar (además de los casos básicos ya dados) la relación de recursividad

$${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\binom {n-1}{k-1}}+{\binom {n-1}{k}},}$$

para 0 < k < n , que se sigue de (1 + X ) ⁿ = (1 + X ) ^{n − 1} (1 + X ) ; esto lleva a la construcción del triángulo de Pascal .

Para determinar un coeficiente binomial individual, es más práctico utilizar la fórmula

$${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}{k!}}.}$$

El numerador da el número de k -permutaciones de n , es decir, de secuencias de k elementos distintos de S , mientras que el denominador da el número de tales k -permutaciones que dan la misma k -combinación cuando se ignora el orden.

Cuando k excede n /2, la fórmula anterior contiene factores comunes al numerador y al denominador, y al cancelarlos se obtiene la relación

$${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\binom {n}{n-k}},}$$

para 0 ≤ k ≤ norte . Esto expresa una simetría que es evidente a partir de la fórmula binomial, y también puede entenderse en términos de k -combinaciones tomando el complemento de dicha combinación, que es una ( n − k ) -combinación.

Finalmente hay una fórmula que muestra directamente esta simetría y tiene el mérito de ser fácil de recordar:

$${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!(n-k)!}},}$$

donde norte ! denota el factorial de n . Se obtiene de la fórmula anterior multiplicando el denominador y el numerador por ( n − k ) !, por lo que ciertamente es computacionalmente menos eficiente que esa fórmula.

La última fórmula se puede entender directamente, considerando n ! permutaciones de todos los elementos de S . Cada una de estas permutaciones da una k -combinación seleccionando sus primeros k elementos. Hay muchas selecciones duplicadas: cualquier permutación combinada de los primeros k elementos entre sí y de los elementos finales ( n  −  k ) entre sí produce la misma combinación; esto explica la división en la fórmula.

De las fórmulas anteriores se siguen las relaciones entre números adyacentes en el triángulo de Pascal en las tres direcciones:

$${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\begin{cases}{\binom {n}{k-1}}{\frac {n-k+1}{k}}&\quad {\text{if }}k>0\\{\binom {n-1}{k}}{\frac {n}{n-k}}&\quad {\text{if }}k<n\\{\binom {n-1}{k-1}}{\frac {n}{k}}&\quad {\text{if }}n,k>0\end{cases}}.}$$

Junto con los casos básicos , estos permiten el cálculo sucesivo de, respectivamente, todos los números de combinaciones del mismo conjunto (una fila en el triángulo de Pascal), de k combinaciones de conjuntos de tamaños crecientes y de combinaciones con un complemento de tamaño fijo n − k. . ${\displaystyle {\tbinom {n}{0}}=1={\tbinom {n}{n}}}$

Ejemplo de combinaciones de conteo.

Como ejemplo específico, se puede calcular el número de manos de cinco cartas posibles a partir de una baraja estándar de cincuenta y dos cartas como: ^[8]

$${\displaystyle {52 \choose 5}={\frac {52\times 51\times 50\times 49\times 48}{5\times 4\times 3\times 2\times 1}}={\frac {311{,}875{,}200}{120}}=2{,}598{,}960.}$$

Alternativamente, se puede usar la fórmula en términos de factoriales y cancelar los factores en el numerador contra partes de los factores en el denominador, después de lo cual solo se requiere la multiplicación de los factores restantes:

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}{52 \choose 5}&={\frac {52!}{5!47!}}\\[5pt]&={\frac {52\times 51\times 50\times 49\times 48\times {\cancel {47!}}}{5\times 4\times 3\times 2\times {\cancel {1}}\times {\cancel {47!}}}}\\[5pt]&={\frac {52\times 51\times 50\times 49\times 48}{5\times 4\times 3\times 2}}\\[5pt]&={\frac {(26\times {\cancel {2}})\times (17\times {\cancel {3}})\times (10\times {\cancel {5}})\times 49\times (12\times {\cancel {4}})}{{\cancel {5}}\times {\cancel {4}}\times {\cancel {3}}\times {\cancel {2}}}}\\[5pt]&={26\times 17\times 10\times 49\times 12}\\[5pt]&=2{,}598{,}960.\end{alignedat}}}$$

Otro cálculo alternativo, equivalente al primero, se basa en escribir

$${\displaystyle {n \choose k}={\frac {(n-0)}{1}}\times {\frac {(n-1)}{2}}\times {\frac {(n-2)}{3}}\times \cdots \times {\frac {(n-(k-1))}{k}},}$$

lo que da

$${\displaystyle {52 \choose 5}={\frac {52}{1}}\times {\frac {51}{2}}\times {\frac {50}{3}}\times {\frac {49}{4}}\times {\frac {48}{5}}=2{,}598{,}960.}$$

Cuando se evalúa en el siguiente orden, 52 ÷ 1 × 51 ÷ 2 × 50 ÷ 3 × 49 ÷ 4 × 48 ÷ 5 , esto se puede calcular usando solo aritmética de enteros. La razón es que cuando ocurre cada división, el resultado intermedio que se produce es en sí mismo un coeficiente binomial, por lo que nunca aparecen restos.

Usar la fórmula simétrica en términos de factoriales sin realizar simplificaciones da un cálculo bastante extenso:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{52 \choose 5}&={\frac {n!}{k!(n-k)!}}={\frac {52!}{5!(52-5)!}}={\frac {52!}{5!47!}}\\[6pt]&={\tfrac {80,658,175,170,943,878,571,660,636,856,403,766,975,289,505,440,883,277,824,000,000,000,000}{120\times 258,623,241,511,168,180,642,964,355,153,611,979,969,197,632,389,120,000,000,000}}\\[6pt]&=2{,}598{,}960.\end{aligned}}}$$

Enumerar k -combinaciones

Se pueden enumerar todas las k -combinaciones de un conjunto dado S de n elementos en algún orden fijo, lo que establece una biyección a partir de un intervalo de números enteros con el conjunto de esas k -combinaciones. Suponiendo que S está ordenado, por ejemplo S = { 1, 2, ..., n }, existen dos posibilidades naturales para ordenar sus k -combinaciones: comparando primero sus elementos más pequeños (como en las ilustraciones anteriores) o comparando sus elementos más grandes primero. La última opción tiene la ventaja de que agregar un nuevo elemento más grande a S no cambiará la parte inicial de la enumeración, sino que simplemente agregará las nuevas k combinaciones del conjunto más grande después de las anteriores. Repitiendo este proceso, la enumeración se puede extender indefinidamente con k combinaciones de conjuntos cada vez mayores. Si además se considera que los intervalos de los números enteros comienzan en 0, entonces la combinación k en un lugar dado i en la enumeración se puede calcular fácilmente a partir de i , y la biyección así obtenida se conoce como sistema numérico combinatorio . También se conoce como "rango"/"clasificación" y "desclasificación" en matemáticas computacionales. ^{[9] [10]} ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$

Hay muchas formas de enumerar k combinaciones. Una forma es visitar todos los números binarios menores que 2 ⁿ . Elija aquellos números que tengan k bits distintos de cero, aunque esto es muy ineficiente incluso para n pequeño (por ejemplo, n = 20 requeriría visitar alrededor de un millón de números, mientras que el número máximo de k combinaciones permitidas es aproximadamente 186 mil para k = 10). Las posiciones de estos 1 bits en dicho número son una k combinación específica del conjunto {1, ..., n }. ^[11] Otra forma sencilla y más rápida es realizar un seguimiento de k números de índice de los elementos seleccionados, comenzando con {0 .. k −1} (de base cero) o {1 .. k } (de base uno) como el primero permitido. k -combinación y luego pasar repetidamente a la siguiente k -combinación permitida incrementando el último número de índice si es menor que n -1 (de base cero) o n (de base uno) o el último número de índice x que es menor que el número de índice que le sigue menos uno si dicho índice existe y restableciendo los números de índice después de x a { x +1, x +2, ...}.

Número de combinaciones con repetición.

Una k - combinación con repeticiones , o k - multicombinación , o multisubconjunto de tamaño k de un conjunto S de tamaño n está dada por un conjunto de k elementos no necesariamente distintos de S , donde el orden no se tiene en cuenta: dos secuencias definen el mismo conjunto múltiple si uno puede obtenerse del otro permutando los términos. En otras palabras, es una muestra de k elementos de un conjunto de n elementos que permiten duplicados (es decir, con reemplazo) pero sin tener en cuenta diferentes ordenamientos (por ejemplo, {2,1,2} = {1,2,2}). Asocie un índice a cada elemento de S y piense en los elementos de S como tipos de objetos, luego podemos denotar el número de elementos de tipo i en un multisubconjunto. El número de multisubconjuntos de tamaño k es entonces el número de soluciones enteras no negativas (permitiendo así cero) de la ecuación diofántica : ^[12] ${\displaystyle x_{i}}$

$${\displaystyle x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}=k.}$$

Si S tiene n elementos, el número de tales k -multisubconjuntos se denota por

$${\displaystyle \left(\!\!{\binom {n}{k}}\!\!\right),}$$

una notación análoga al coeficiente binomial que cuenta k -subconjuntos. Esta expresión, n multichoose k , ^[13] también se puede dar en términos de coeficientes binomiales:

$${\displaystyle \left(\!\!{\binom {n}{k}}\!\!\right)={\binom {n+k-1}{k}}.}$$

Esta relación se puede demostrar fácilmente utilizando una representación conocida como estrellas y barras . ^[14]

Prueba

Una solución de la ecuación diofántica anterior se puede representar mediante estrellas , un separador (una barra ), luego más estrellas, otro separador, etc. El número total de estrellas en esta representación es k y el número de barras es n - 1 (ya que una separación en n partes necesita n-1 separadores). Por lo tanto, una cadena de k + n - 1 (o n + k - 1) símbolos (estrellas y barras) corresponde a una solución si hay k estrellas en la cadena. Cualquier solución se puede representar eligiendo k entre k + n − 1 posiciones para colocar estrellas y llenando las posiciones restantes con barras. Por ejemplo, la solución de la ecuación ( n = 4 y k = 10) se puede representar por ^[15] ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle x_{1}=3,x_{2}=2,x_{3}=0,x_{4}=5}$ ${\displaystyle x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=10}$

$${\displaystyle \bigstar \bigstar \bigstar |\bigstar \bigstar ||\bigstar \bigstar \bigstar \bigstar \bigstar .}$$

El número de tales cadenas es el número de formas de colocar 10 estrellas en 13 posiciones, que es el número de 10 multisubconjuntos de un conjunto con 4 elementos. ${\textstyle {\binom {13}{10}}={\binom {13}{3}}=286,}$

Biyección entre 3 subconjuntos de un conjunto de 7 (izquierda) y 3 multiconjuntos con elementos de un conjunto de 5 (derecha).
Esto ilustra eso . ${\textstyle {\binom {7}{3}}=\left(\!\!{\binom {5}{3}}\!\!\right)}$

Al igual que con los coeficientes binomiales, existen varias relaciones entre estas expresiones de elección múltiple. Por ejemplo, para , ${\displaystyle n\geq 1,k\geq 0}$

$${\displaystyle \left(\!\!{\binom {n}{k}}\!\!\right)=\left(\!\!{\binom {k+1}{n-1}}\!\!\right).}$$

^[dieciséis]

Ejemplo de conteo de subconjuntos múltiples

Por ejemplo, si tiene cuatro tipos de donas ( n  = 4) en un menú para elegir y quiere tres donas ( k  = 3), el número de formas de elegir las donas con repetición se puede calcular como

$${\displaystyle \left(\!\!{\binom {4}{3}}\!\!\right)={\binom {4+3-1}{3}}={\binom {6}{3}}={\frac {6\times 5\times 4}{3\times 2\times 1}}=20.}$$

Este resultado se puede verificar enumerando todos los 3 multisubconjuntos del conjunto S = {1,2,3,4}. Esto se muestra en la siguiente tabla. ^[17] La ​​segunda columna enumera los donuts que realmente elegiste, la tercera columna muestra las soluciones enteras no negativas de la ecuación y la última columna brinda la representación de estrellas y barras de las soluciones. ^[18] ${\displaystyle [x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}]}$ ${\displaystyle x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=3}$

Número de k -combinaciones para todos los k

El número de k -combinaciones para todo k es el número de subconjuntos de un conjunto de n elementos. Hay varias formas de ver que este número es 2 ⁿ . En términos de combinaciones, que es la suma de la enésima fila (contando desde 0) de los coeficientes binomiales en el triángulo de Pascal . Estas combinaciones (subconjuntos) se enumeran mediante los 1 dígitos del conjunto de números de base 2 contando de 0 a 2 ⁿ  − 1, donde cada posición de dígito es un elemento del conjunto de n . ${\textstyle \sum _{0\leq {k}\leq {n}}{\binom {n}{k}}=2^{n}}$

Dadas 3 cartas numeradas del 1 al 3, hay 8 combinaciones distintas ( subconjuntos ), incluido el conjunto vacío :

$${\displaystyle |\{\{\};\{1\};\{2\};\{1,2\};\{3\};\{1,3\};\{2,3\};\{1,2,3\}\}|=2^{3}=8}$$

Representando estos subconjuntos (en el mismo orden) como números de base 2:

• 0 – 000
• 1 – 001
• 2 – 010
• 3 – 011
• 4 – 100
• 5 – 101
• 6 – 110
• 7 – 111

Probabilidad: muestreo de una combinación aleatoria

Existen varios algoritmos para seleccionar una combinación aleatoria de un conjunto o lista determinada. El muestreo de rechazo es extremadamente lento para muestras de gran tamaño. Una forma de seleccionar una combinación k de manera eficiente de una población de tamaño n es iterar a través de cada elemento de la población y, en cada paso, seleccionar ese elemento con una probabilidad que cambia dinámicamente de (consulte Muestreo de yacimientos ). Otra es elegir un número entero aleatorio no negativo menor que y convertirlo en una combinación usando el sistema numérico combinatorio . ${\textstyle {\frac {k-\#{\text{samples chosen}}}{n-\#{\text{samples visited}}}}}$ ${\displaystyle \textstyle {\binom {n}{k}}}$

Número de formas de poner objetos en contenedores

Una combinación también puede considerarse como una selección de dos conjuntos de elementos: los que van al contenedor elegido y los que van al contenedor no elegido. Esto se puede generalizar a cualquier número de contenedores con la restricción de que cada artículo debe ir exactamente a un contenedor. El número de formas de colocar objetos en contenedores está dado por el coeficiente multinomial

$${\displaystyle {n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}={\frac {n!}{k_{1}!\,k_{2}!\cdots k_{m}!}},}$$

donde n es el número de artículos, m es el número de contenedores y es el número de artículos que van al contenedor i . ${\displaystyle k_{i}}$

Una forma de ver por qué se cumple esta ecuación es numerar primero los objetos arbitrariamente del 1 al n y colocar los objetos con números en el primer contenedor en orden, los objetos con números en el segundo contenedor en orden, y así sucesivamente. Hay numeraciones distintas, pero muchas de ellas son equivalentes, porque sólo importa el conjunto de elementos en un contenedor, no su orden en él. Cada permutación combinada del contenido de cada contenedor produce una forma equivalente de colocar artículos en los contenedores. Como resultado, cada clase de equivalencia consta de numeraciones distintas y el número de clases de equivalencia es . ${\displaystyle 1,2,\ldots ,k_{1}}$ ${\displaystyle k_{1}+1,k_{1}+2,\ldots ,k_{2}}$ ${\displaystyle n!}$ ${\displaystyle k_{1}!\,k_{2}!\cdots k_{m}!}$ ${\displaystyle \textstyle {\frac {n!}{k_{1}!\,k_{2}!\cdots k_{m}!}}}$

El coeficiente binomial es el caso especial en el que k elementos van al contenedor elegido y los elementos restantes van al contenedor no elegido: ${\displaystyle n-k}$

$${\displaystyle {\binom {n}{k}}={n \choose k,n-k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}.}$$

Ver también

• Portal de matemáticas

• Coeficiente binomial
• combinatoria
• Diseño de bloques
• gráfico de Kneser
• Lista de temas de permutación
• Conjunto múltiple
• el triangulo de pascal
• Permutación
• Probabilidad
• Subconjunto

Notas

1. Reichl, Linda E. (2016). "2.2. Contando estados microscópicos". Un curso moderno de física estadística . WILEY-VCH. pag. 30.ISBN​ 978-3-527-69048-0.
2. Mazur 2010, pag. 10
3. Ryser 1963, pag. 7 también conocida como selección desordenada .
4. Cuando se utiliza el término combinación para referirse a cualquiera de las situaciones (como en (Brualdi 2010)), se debe tener cuidado de aclarar si se están discutiendo conjuntos o conjuntos múltiples.
5. Uspensky 1937, pag. 18
6. Libro de texto de escuela secundaria para estudiantes de tiempo completo (obligatorio) Libro de matemáticas II B (en chino) (2ª ed.). China: Prensa de Educación Popular. Junio ​​de 2006. págs. 107-116. ISBN 978-7-107-19616-4.
7. 人教版高中数学选修2-3 (Libro de texto de matemáticas, volumen 2-3, para la escuela secundaria superior, People's Education Press). Prensa de Educación Popular. pag. 21.
8. Mazur 2010, pag. 21
9. Lucía Moura. "Generación de objetos combinatorios elementales" (PDF) . Sitio.uottawa.ca . Archivado (PDF) desde el original el 9 de octubre de 2022 . Consultado el 10 de abril de 2017 .
10. "SAGE: Subconjuntos" (PDF) . Sagemath.org . Consultado el 10 de abril de 2017 .
11. "Combinaciones: Código Rosetta". 23 de octubre de 2022.^{[ fuente generada por el usuario? ]}
12. Brualdi 2010, pag. 52
13. Benjamín y Quinn 2003, pag. 70
14. En el artículo Estrellas y barras (combinatoria) se invierten los roles de n y k .
15. Benjamín y Quinn 2003, págs. 71 –72
16. Benjamín y Quinn 2003, pag. 72 (identidad 145)
17. Benjamín y Quinn 2003, pag. 71
18. Mazur 2010, pag. 10 donde las estrellas y barras se escriben como números binarios, con estrellas = 0 y barras = 1.

Referencias

• Benjamín, Arthur T .; Quinn, Jennifer J. (2003), Pruebas que realmente cuentan: el arte de la prueba combinatoria , Las exposiciones matemáticas de Dolciani 27, Asociación Matemática de América, ISBN 978-0-88385-333-7
• Brualdi, Richard A. (2010), Combinatoria introductoria (5ª ed.), Pearson Prentice Hall, ISBN 978-0-13-602040-0
• Erwin Kreyszig , Matemáticas de ingeniería avanzada , John Wiley & Sons, INC, 1999.
• Mazur, David R. (2010), Combinatoria: una visita guiada , Asociación Matemática de América, ISBN 978-0-88385-762-5
• Ryser, Herbert John (1963), Matemáticas combinatorias , The Carus Mathematical Monographs 14, Asociación Matemática de América
• Uspensky, James (1937), Introducción a la probabilidad matemática, McGraw-Hill

enlaces externos

• Tutorial de Topcoder sobre combinatoria
• Código C para generar todas las combinaciones de n elementos elegidos como k
• Muchos tipos comunes de problemas matemáticos de permutación y combinación, con soluciones detalladas
• La fórmula desconocida Para combinaciones en las que las opciones se pueden repetir y el orden no importa
• Combinaciones con repeticiones (por: Akshatha AG y Smitha B) ^{[ enlace muerto permanente ]}
• El problema de la tirada de dados con una suma dada Una aplicación de las combinaciones con repetición al lanzamiento de varios dados