coma pitagórica

Pequeño intervalo entre notas musicales.

Coma pitagórica (531441:524288) en C

"Coma pitagórica en C usando la notación de Ben Johnston" . La nota representada como más baja en el pentagrama (B ♯ +++ ) tiene un tono ligeramente más alto (que C ♮ ).

Coma pitagórica ( PC ) definida en la afinación pitagórica como diferencia entre semitonos (A1 – m2), o intervalo entre notas enarmónicamente equivalentes (de D ♭ a C ♯ ). La segunda disminuida tiene el mismo ancho pero una dirección opuesta (de a C ♯ a D ♭ ).

En afinación musical , la coma pitagórica (o coma ditónica ^[a] ), llamada así en honor al antiguo matemático y filósofo Pitágoras , es el pequeño intervalo (o coma ) existente en la afinación pitagórica entre dos notas enarmónicamente equivalentes como C y B♯ , o D ♭ y C♯ . ^[1] Es igual a la relación de frecuencia (1,5) ¹² ⁄ 2 ⁷ = 531441 ⁄ 524288 ≈ 1,01364, o aproximadamente 23,46 cents , aproximadamente un cuarto de semitono (entre 75:74 y 74:73 ^[2] ). La coma que los temperamentos musicales suelen "templar" es la coma pitagórica. ^[3]

La coma pitagórica también se puede definir como la diferencia entre una apótoma pitagórica y una limma pitagórica ^{[4] (es decir, entre un} semitono cromático y uno diatónico , como se determina en la afinación pitagórica); la diferencia entre 12 quintas perfectas y siete octavas ; o la diferencia entre tres ditonos pitagóricos y una octava (por eso a la coma pitagórica también se le llama coma ditónica ).

La segunda disminuida , en la afinación pitagórica, se define como la diferencia entre limma y apótoma. Coincide, por lo tanto, con lo opuesto a una coma pitagórica, y puede verse como una coma pitagórica descendente (por ejemplo, de C ♯ a D ♭ ), equivalente a aproximadamente −23,46 centavos.

Derivación

Como se describe en la introducción, la coma pitagórica se puede derivar de varias maneras:

• Diferencia entre dos notas enarmónicamente equivalentes en una escala pitagórica, como C y B ♯ , o D ♭ y C ♯ (ver más abajo).
• Diferencia entre apótoma pitagórica y limma pitagórica .
• Diferencia entre 12 quintas perfectas y siete octavas .
• Diferencia entre tres ditonos pitagóricos ( tercios mayores ) y una octava.

Una quinta justa tiene una relación de frecuencia de 3:2. Se utiliza en la afinación pitagórica, junto con la octava, como criterio para definir, respecto de una nota inicial determinada, la frecuencia de cualquier otra nota.

Apotome y limma son los dos tipos de semitonos definidos en la afinación pitagórica. Es decir, la apotoma (alrededor de 113,69 cents, por ejemplo de C a C ♯ ) es el semitono cromático o unísono aumentado (A1), mientras que la limma (alrededor de 90,23 cents, por ejemplo de C a D ♭ ) es el semitono diatónico o menor segundo (m2).

Un dítono (o tercera mayor ) es un intervalo formado por dos tonos mayores . En la afinación pitagórica, un tono mayor tiene un tamaño de aproximadamente 203,9 céntimos (relación de frecuencia 9:8), por lo que un dítono pitagórico mide aproximadamente 407,8 céntimos.

Tamaño

La coma pitagórica se muestra como el espacio (en el lado derecho) que hace que una estrella de 12 puntas no se cierre, estrella que representa la escala pitagórica; cada línea representa una quinta justa. Esa brecha tiene un ángulo central de 7,038 grados, que es el 23,46% de 30 grados.

El tamaño de una coma pitagórica, medida en centavos , es

${\displaystyle {\hbox{apotome}}-{\hbox{limma}}\approx 113.69-90.23\approx 23.46~{\hbox{cents}}\!}$

o más exactamente, en términos de relaciones de frecuencia :

${\displaystyle {\frac {\hbox{apotome}}{\hbox{limma}}}={\frac {3^{7}/2^{11}}{2^{8}/3^{5}}}={\frac {3^{12}}{2^{19}}}={\frac {531441}{524288}}=1.0136432647705078125\!}$

Círculo de quintas y cambio enarmónico

Coma pitagórica como doce quintas justas afinadas en notación de Ben Johnston

La coma pitagórica también puede considerarse como la discrepancia entre 12 quintas perfectas justamente afinadas (proporción 3:2) y siete octavas (proporción 2:1):

${\displaystyle {\frac {\hbox{twelve fifths}}{\hbox{seven octaves}}}=\left({\tfrac {3}{2}}\right)^{12}\!\!{\Big /}\,2^{7}={\frac {3^{12}}{2^{19}}}={\frac {531441}{524288}}=1.0136432647705078125\!}$

En la siguiente tabla de escalas musicales en el círculo de quintas , la coma pitagórica es visible como el pequeño intervalo entre, por ejemplo, F ♯ y G ♭ . Dar la vuelta al círculo de quintas con intervalos justos da como resultado un bombeo de coma junto a la coma pitagórica.

Las escalas 6 ♭ y 6 ♯ ^[i] no son idénticas, aunque estén en el teclado del piano , pero las escalas ♭ están una coma pitagórica más abajo. Ignorar esta diferencia conduce a un cambio enarmónico .

1. Las escalas 7 ♭ y 5 ♯ , respectivamente 5 ♭ y 7 ♯ , difieren de la misma manera en una coma pitagórica. Rara vez se utilizan escalas con siete alteraciones, ^[5] porque las escalas enarmónicas con cinco alteraciones se tratan como equivalentes.

Este intervalo tiene serias implicaciones para los diversos esquemas de afinación de la escala cromática , porque en la música occidental, 12 quintas perfectas y siete octavas se tratan como el mismo intervalo. El temperamento igual , hoy el sistema de afinación más común en Occidente, conciliaba esto aplanando cada quinta en una doceava parte de una coma pitagórica (aproximadamente 2 centésimas), produciendo así octavas perfectas.

Otra forma de expresar esto es que la quinta justa tiene una relación de frecuencia (en comparación con la tónica) de 3:2 o 1,5 a 1, mientras que el séptimo semitono (basado en 12 divisiones logarítmicas iguales de una octava) es la séptima potencia de la duodécima raíz de dos o 1,4983... a 1, que no es exactamente lo mismo (una diferencia de aproximadamente 0,1%). Lleva la quinta a la duodécima potencia, luego resta siete octavas y obtendrás la coma pitagórica (aproximadamente una diferencia del 1,4%).

Historia

El primero en mencionar la proporción de la coma de 531441:524288 fue Euclides , quien toma como base el tono completo de la afinación pitagórica con la proporción de 9:8, la octava con la proporción de 2:1 y un número A = 262144. Concluye que aumentar este número en seis tonos completos produce un valor, G, que es mayor que el obtenido al aumentarlo una octava (dos veces La). Da que G es 531441. ^[6] Los cálculos necesarios dicen:

Cálculo de G:

${\displaystyle 262144\cdot \left(\textstyle {\frac {9}{8}}\right)^{6}=531441}$

Cálculo del doble de A:

${\displaystyle 262144\cdot \left(\textstyle {\frac {2}{1}}\right)^{1}=524288}$

Los matemáticos chinos conocían la coma pitagórica ya en el año 122 a. C. (su cálculo se detalla en el Huainanzi ), y alrededor del año 50 a. C., Ching Fang descubrió que si el ciclo de quintas perfectas continuaba más allá de 12 hasta llegar a 53, la diferencia entre este tono 53 y el tono inicial sería mucho más pequeño que la coma pitagórica. Este intervalo mucho más pequeño recibió más tarde el nombre de coma de Mercator ( ver: historia de 53 temperamento igual ).

En el Concepto cromático de organización tonal lidia de George Russell (1953), el medio tono entre la tónica lidia y ♭ 2 en sus escalas de blues disminuidas auxiliares mayores y menores alteradas se basa teóricamente en la coma pitagórica. ^[7]

Ver también

• Coma Holdriana
• cisma

Notas

1. no debe confundirse con la coma diatónica, más conocida como coma sintónica , igual a la relación de frecuencia 81:80, o alrededor de 21,51 centavos. Ver: Johnston, Ben (2006). "Máxima claridad" y otros escritos sobre música , editado por Bob Gilmore . Urbana: Prensa de la Universidad de Illinois. ISBN  0-252-03098-2 .

Referencias

1. Apel, Willi (1969). Diccionario de Música de Harvard , pág. 188. ISBN 978-0-674-37501-7 . "...la diferencia entre los dos semitonos de la escala pitagórica..." 
2. Ginsburg, Jekuthiel (2003). Scripta Mathematica , pág. 287. ISBN 978-0-7661-3835-3 . 
3. Coyne, Richard (2010). La sintonía del lugar: espacios sociables y medios digitales omnipresentes , p. 45. ISBN 978-0-262-01391-8 . 
4. Kottick, Edward L. (1992). Guía del propietario del clavicémbalo , p. 151. ISBN 0-8078-4388-1 . 
5. "Resumen completo de composiciones con siete alteraciones", Ulrich Reinhardt
6. Euclides : Katatome kanonos (lat. Sectio canonis ). ingles. trad. en: Andrew Barker (ed.): Escritos musicales griegos. vol. 2: Teoría armónica y acústica , Cambridge, Massachusetts: Cambridge University Press, 2004, págs. 190-208, aquí: pág. 199.
7. Russell, George (2001) [1953]. "Concepto cromático lidio de organización tonal de George Russell" . Volumen uno: El arte y la ciencia de la gravedad tonal (Cuarta (segunda impresión, corregida, 2008) ed.). Brookline, Massachusetts: Compañía editorial de conceptos. págs. 17, 57–59. ISBN 0-9703739-0-2 .