Equivalencia de filas

Equivalencia de matrices bajo operaciones por filas

En álgebra lineal , dos matrices son equivalentes por filas si una puede cambiarse por la otra mediante una secuencia de operaciones elementales por filas . Alternativamente, dos matrices m  ×  n son equivalentes por filas si y solo si tienen el mismo espacio por filas . El concepto se aplica más comúnmente a matrices que representan sistemas de ecuaciones lineales , en cuyo caso dos matrices del mismo tamaño son equivalentes por filas si y solo si los sistemas homogéneos correspondientes tienen el mismo conjunto de soluciones, o equivalentemente las matrices tienen el mismo espacio nulo .

Dado que las operaciones elementales de filas son reversibles, la equivalencia de filas es una relación de equivalencia . Se suele denotar con una tilde (~). ^[1]

Existe una noción similar de equivalencia de columnas , definida por operaciones elementales de columnas; dos matrices son equivalentes en columnas si y solo si sus matrices transpuestas son equivalentes en filas. Dos matrices rectangulares que se pueden convertir entre sí, lo que permite operaciones elementales de filas y columnas, se denominan simplemente equivalentes .

Operaciones elementales por filas

Una operación de fila elemental es cualquiera de los siguientes movimientos:

1. Intercambiar: intercambiar dos filas de una matriz.
2. Escala: Multiplica una fila de una matriz por una constante distinta de cero.
3. Pivote: agrega un múltiplo de una fila de una matriz a otra fila.

Dos matrices A y B son equivalentes por filas si es posible transformar A en B mediante una secuencia de operaciones elementales por filas.

Espacio entre filas

El espacio fila de una matriz es el conjunto de todas las posibles combinaciones lineales de sus vectores fila. Si las filas de la matriz representan un sistema de ecuaciones lineales , entonces el espacio fila consiste en todas las ecuaciones lineales que pueden deducirse algebraicamente de aquellas del sistema. Dos matrices m  ×  n son equivalentes por filas si y solo si tienen el mismo espacio fila.

Por ejemplo, las matrices

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&1\end{pmatrix}}\;\;\;\;{\text{and}}\;\;\;\;{\begin{pmatrix}1&0&0\\1&1&1\end{pmatrix}}}$

son equivalentes por filas, siendo el espacio de filas todos los vectores de la forma . Los sistemas correspondientes de ecuaciones homogéneas transmiten la misma información: ${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b&b\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}x=0\\y+z=0\end{matrix}}\;\;\;\;{\text{and}}\;\;\;\;{\begin{matrix}x=0\\x+y+z=0.\end{matrix}}}$

En particular, ambos sistemas implican cada ecuación de la forma ${\displaystyle ax+by+bz=0.\,}$

Equivalencia de las definiciones

El hecho de que dos matrices sean equivalentes por filas si y solo si tienen el mismo espacio de filas es un teorema importante en álgebra lineal. La prueba se basa en las siguientes observaciones:

1. Las operaciones elementales de filas no afectan el espacio de filas de una matriz. En particular, dos matrices equivalentes en filas tienen el mismo espacio de filas.
2. Cualquier matriz puede reducirse mediante operaciones de fila elementales a una matriz en forma escalonada reducida .
3. Dos matrices en forma escalonada reducida tienen el mismo espacio de filas si y solo si son iguales.

Esta línea de razonamiento también demuestra que cada matriz es equivalente por filas a una matriz única con forma escalonada reducida.

Propiedades adicionales

• Dado que el espacio nulo de una matriz es el complemento ortogonal del espacio de filas , dos matrices son equivalentes en filas si y solo si tienen el mismo espacio nulo.
• El rango de una matriz es igual a la dimensión del espacio de filas, por lo que las matrices equivalentes por filas deben tener el mismo rango. Este es igual a la cantidad de pivotes en la forma escalonada reducida por filas.
• Una matriz es invertible si y sólo si es equivalente en filas a la matriz identidad .
• Las matrices A y B son equivalentes por filas si y sólo si existe una matriz invertible P tal que A=PB . ^[2]

Véase también

• Operaciones elementales por filas
• Espacio entre filas
• Base (álgebra lineal)
• Reducción de filas
• Forma escalonada (reducida)

Referencias

1. Lay 2005, pág. 21, Ejemplo 4
2. Roman 2008, p. 9, Ejemplo 0.3

• Axler, Sheldon Jay (1997), Álgebra lineal bien hecha (2.ª ed.), Springer-Verlag, ISBN 0-387-98259-0
• Lay, David C. (22 de agosto de 2005), Álgebra lineal y sus aplicaciones (3.ª ed.), Addison Wesley, ISBN 978-0-321-28713-7
• Meyer, Carl D. (15 de febrero de 2001), Análisis matricial y álgebra lineal aplicada, Sociedad de Matemáticas Industriales y Aplicadas (SIAM), ISBN 978-0-89871-454-8, archivado desde el original el 1 de marzo de 2001
• Poole, David (2006), Álgebra lineal: una introducción moderna (2.ª ed.), Brooks/Cole, ISBN 0-534-99845-3
• Anton, Howard (2005), Álgebra lineal elemental (versión de aplicaciones) (novena edición), Wiley International
• Leon, Steven J. (2006), Álgebra lineal con aplicaciones (7.ª ed.), Pearson Prentice Hall
• Roman, Steven (2008). Álgebra lineal avanzada . Textos de posgrado en matemáticas . Vol. 135 (3.ª ed.). Springer Science+Business Media, LLC. ISBN 978-0-387-72828-5.

Enlaces externos