En geometría , una relación de incidencia es una relación heterogénea que captura la idea que se expresa cuando se utilizan frases como "un punto se encuentra sobre una línea" o "una línea está contenida en un plano". La relación de incidencia más básica es la que se da entre un punto, P , y una línea, l , a veces denominada P I l . Si P y l son incidentes, P I l , el par ( P , l ) se denomina bandera .
Existen muchas expresiones que se utilizan en el lenguaje común para describir la incidencia (por ejemplo, una línea pasa por un punto, un punto se encuentra en un plano, etc.) pero se prefiere el término "incidencia" porque no tiene las connotaciones adicionales que tienen estos otros términos y se puede utilizar de manera simétrica. Enunciados como "la línea l 1 interseca la línea l 2 " también son enunciados sobre relaciones de incidencia, pero en este caso, se debe a que se trata de una forma abreviada de decir que "existe un punto P que es incidente tanto con la línea l 1 como con la línea l 2 ". Cuando un tipo de objeto puede considerarse como un conjunto del otro tipo de objeto ( es decir , un plano es un conjunto de puntos), entonces una relación de incidencia puede considerarse como contención .
Afirmaciones como "dos líneas cualesquiera en un plano se encuentran" se denominan proposiciones de incidencia . Esta afirmación en particular es verdadera en un plano proyectivo , aunque no es cierta en el plano euclidiano, donde las líneas pueden ser paralelas . Históricamente, la geometría proyectiva se desarrolló para hacer que las proposiciones de incidencia fueran verdaderas sin excepciones, como las causadas por la existencia de paralelas. Desde el punto de vista de la geometría sintética , la geometría proyectiva debería desarrollarse utilizando tales proposiciones como axiomas . Esto es más significativo para los planos proyectivos debido a la validez universal del teorema de Desargues en dimensiones superiores.
Por el contrario, el enfoque analítico consiste en definir el espacio proyectivo basándose en el álgebra lineal y utilizando coordenadas homogéneas . Las proposiciones de incidencia se derivan del siguiente resultado básico sobre espacios vectoriales : dados los subespacios U y W de un espacio vectorial (de dimensión finita) V , la dimensión de su intersección es dim U + dim W − dim ( U + W ) . Teniendo en cuenta que la dimensión geométrica del espacio proyectivo P ( V ) asociado a V es dim V − 1 y que la dimensión geométrica de cualquier subespacio es positiva, la proposición básica de incidencia en este contexto puede tomar la forma: los subespacios lineales L y M del espacio proyectivo P se encuentran siempre que dim L + dim M ≥ dim P . [1]
Las siguientes secciones se limitan a planos proyectivos definidos sobre cuerpos , a menudo denotados por PG(2, F ) , donde F es un cuerpo, o P 2 F . Sin embargo, estos cálculos se pueden extender naturalmente a espacios proyectivos de dimensiones superiores, y el cuerpo se puede reemplazar por un anillo de división (o campo oblicuo) siempre que se preste atención al hecho de que la multiplicación no es conmutativa en ese caso.
Sea V el espacio vectorial tridimensional definido sobre el cuerpo F. El plano proyectivo P ( V ) = PG(2, F ) está formado por los subespacios vectoriales unidimensionales de V , llamados puntos , y los subespacios vectoriales bidimensionales de V , llamados líneas . La incidencia de un punto y una línea está dada por la contención del subespacio unidimensional en el subespacio bidimensional.
Fijemos una base para V de modo que podamos describir sus vectores como ternas de coordenadas (con respecto a esa base). Un subespacio vectorial unidimensional consta de un vector distinto de cero y todos sus múltiplos escalares. Los múltiplos escalares distintos de cero, escritos como ternas de coordenadas, son las coordenadas homogéneas del punto dado, llamadas coordenadas del punto . Con respecto a esta base, el espacio solución de una única ecuación lineal {( x , y , z ) | ax + by + cz = 0 } es un subespacio bidimensional de V , y por lo tanto una línea de P ( V ) . Esta línea puede denotarse por coordenadas de línea [ a , b , c ] , que también son coordenadas homogéneas ya que los múltiplos escalares distintos de cero darían la misma línea. También se utilizan ampliamente otras notaciones. Las coordenadas de puntos se pueden escribir como vectores columna, ( x , y , z ) T , con dos puntos, ( x : y : z ) , o con un subíndice, ( x , y , z ) P . Correspondientemente, las coordenadas de línea se pueden escribir como vectores fila, ( a , b , c ) , con dos puntos, [ a : b : c ] o con un subíndice, ( a , b , c ) L . También son posibles otras variaciones.
Dado un punto P = ( x , y , z ) y una línea l = [ a , b , c ] , escrito en términos de coordenadas de punto y línea, el punto es incidente con la línea (a menudo escrito como P I l ), si y solo si,
Esto se puede expresar en otras notaciones como:
Independientemente de la notación que se emplee, cuando las coordenadas homogéneas del punto y la línea se consideran simplemente como triples ordenados, su incidencia se expresa como si su producto escalar fuera igual a 0.
Sean P 1 y P 2 un par de puntos distintos con coordenadas homogéneas ( x 1 , y 1 , z 1 ) y ( x 2 , y 2 , z 2 ) respectivamente. Estos puntos determinan una recta única l con ecuación de la forma ax + by + cz = 0 y deben satisfacer las ecuaciones:
En forma matricial este sistema de ecuaciones lineales simultáneas se puede expresar como:
Este sistema tiene una solución no trivial si y sólo si el determinante ,
La expansión de esta ecuación determinante produce una ecuación lineal homogénea, que debe ser la ecuación de la recta l . Por lo tanto, hasta un factor constante común distinto de cero tenemos l = [ a , b , c ] donde:
En términos de la notación del triple producto escalar para vectores, la ecuación de esta línea puede escribirse como:
donde P = ( x , y , z ) es un punto genérico.
Los puntos que inciden con la misma recta se denominan colineales . El conjunto de todos los puntos que inciden con la misma recta se denomina rango .
Si P 1 = ( x 1 , y 1 , z 1 ), P 2 = ( x 2 , y 2 , z 2 ) y P 3 = ( x 3 , y 3 , z 3 ) , entonces estos puntos son colineales si y solo si
es decir, si y sólo si el determinante de las coordenadas homogéneas de los puntos es igual a cero.
Sean l 1 = [ a 1 , b 1 , c 1 ] y l 2 = [ a 2 , b 2 , c 2 ] un par de rectas distintas. Entonces la intersección de las rectas l 1 y l 2 es el punto a P = ( x 0 , y 0 , z 0 ) que es la solución simultánea (hasta un factor escalar) del sistema de ecuaciones lineales:
La solución de este sistema da:
Alternativamente, considere otra línea l = [ a , b , c ] que pase por el punto P , es decir, las coordenadas homogéneas de P satisfacen la ecuación:
Combinando esta ecuación con las dos que definen P , podemos buscar una solución no trivial de la ecuación matricial:
Tal solución existe siempre que el determinante,
Los coeficientes de a , b y c en esta ecuación dan las coordenadas homogéneas de P.
La ecuación de la recta genérica que pasa por el punto P en notación de triple producto escalar es:
Las rectas que se cortan en el mismo punto se llaman concurrentes . El conjunto de todas las rectas de un plano que inciden en el mismo punto se denomina barra de rectas centrada en ese punto. El cálculo de la intersección de dos rectas muestra que la barra de rectas entera centrada en un punto está determinada por dos de las rectas que se cortan en ese punto. De ello se deduce inmediatamente que la condición algebraica para que tres rectas, [ a 1 , b 1 , c 1 ], [ a 2 , b 2 , c 2 ], [ a 3 , b 3 , c 3 ] sean concurrentes es que el determinante,
![{\displaystyle ax+by+cz=[a,b,c]\cdot(x,y,z)=(a,b,c)_{L}\cdot(x,y,z)_{P}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16ff9a189d496eefa14712c08c6a18fdd51e11de)
![{\displaystyle =[a:b:c]\cdot (x:y:z)=(a,b,c)\left({\begin{matriz}x\\y\\z\end{matriz}}\right)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa2a13de6c13221b7461bb9b3954f9f84458adc3)
