Confinitud

Ser un subconjunto cuyo complemento es un conjunto finito

En matemáticas , un subconjunto cofinito de un conjunto es un subconjunto cuyo complemento en es un conjunto finito . En otras palabras, contiene todos los elementos de un conjunto excepto un número finito . Si el complemento no es finito, pero es numerable, entonces se dice que el conjunto es cocontable . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X.}$

Estos surgen naturalmente cuando se generalizan estructuras de conjuntos finitos a conjuntos infinitos, particularmente de productos infinitos, como en la topología del producto o la suma directa.

Este uso del prefijo " co " para describir una propiedad que posee el complemento de un conjunto es coherente con su uso en otros términos como " co conjunto magro ".

Álgebras de Boole

El conjunto de todos los subconjuntos de que son finitos o cofinitos forma un álgebra de Boole , lo que significa que es cerrada bajo las operaciones de unión , intersección y complementación. Esta álgebra de Boole es la ${\displaystyle X}$álgebra finito-cofinita en ${\displaystyle X.}$

En la otra dirección, un álgebra de Boole tiene un ultrafiltro no principal único (es decir, un filtro maximal no generado por un solo elemento del álgebra) si y solo si existe un conjunto infinito tal que sea isomorfo al álgebra finito-cofinita en En este caso, el ultrafiltro no principal es el conjunto de todos los subconjuntos cofinitos de . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$

Topología cofinita

La topología cofinita (a veces llamada topología de complemento finito ) es una topología que se puede definir en cada conjunto Tiene precisamente el conjunto vacío y todos los subconjuntos cofinitos de como conjuntos abiertos. Como consecuencia, en la topología cofinita, los únicos subconjuntos cerrados son los conjuntos finitos, o la totalidad de Simbólicamente, se escribe la topología como ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ $${\displaystyle {\mathcal {T}}=\{A\subseteq X:A=\varnothing {\mbox{ or }}X\setminus A{\mbox{ is finite}}\}.}$$

Esta topología se da de forma natural en el contexto de la topología de Zariski . Puesto que los polinomios en una variable sobre un cuerpo son cero en conjuntos finitos, o toda la topología de Zariski en (considerada como línea afín ) es la topología cofinita. Lo mismo es cierto para cualquier curva algebraica irreducible ; no es cierto, por ejemplo, para en el plano. ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K,}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle XY=0}$

Propiedades

• Subespacios: Toda topología de subespacio de la topología cofinita es también una topología cofinita.
• Compacidad: Dado que todo conjunto abierto contiene todos los puntos del espacio, excepto un número finito, es compacto y secuencialmente compacto . ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$
• Separación: La topología cofinita es la topología más burda que satisface el axioma T 1 ; es decir, es la topología más pequeña para la cual todo conjunto singleton es cerrado. De hecho, una topología arbitraria en satisface el axioma T ₁ si y solo si contiene la topología cofinita. Si es finito entonces la topología cofinita es simplemente la topología discreta . Si no es finito entonces esta topología no es Hausdorff (T 2 ) , regular o normal porque no hay dos conjuntos abiertos no vacíos que sean disjuntos (es decir, es hiperconectada ). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Topología cofinita de doble punta

La topología cofinita de doble punta es la topología cofinita con cada punto duplicado; es decir, es el producto topológico de la topología cofinita con la topología indiscreta en un conjunto de dos elementos. No es T 0 ni T 1 , ya que los puntos de cada doblete son topológicamente indistinguibles . Sin embargo, es R 0 ya que los puntos topológicamente distinguibles están separados . El espacio es compacto como producto de dos espacios compactos; alternativamente, es compacto porque cada conjunto abierto no vacío contiene todos los puntos excepto un número finito.

Como ejemplo de la topología cofinita de doble punta contable, se puede dar al conjunto de números enteros una topología tal que cada número par sea topológicamente indistinguible del siguiente número impar . Los conjuntos cerrados son las uniones de un número finito de pares o el conjunto completo. Los conjuntos abiertos son los complementos de los conjuntos cerrados; es decir, cada conjunto abierto consta de todos los pares excepto un número finito o es el conjunto vacío. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle 2n+1}$ ${\displaystyle 2n,2n+1,}$ ${\displaystyle 2n,2n+1,}$

Otros ejemplos

Topología del producto

La topología del producto de un producto de espacios topológicos tiene base donde es abierto y cofinitamente muchos ${\displaystyle \prod X_{i}}$ ${\displaystyle \prod U_{i}}$ ${\displaystyle U_{i}\subseteq X_{i}}$ ${\displaystyle U_{i}=X_{i}.}$

El análogo sin requerir que un número cofinito de factores sean todo el espacio es la topología de caja .

Suma directa

Los elementos de la suma directa de módulos son secuencias donde hay un número cofinito de ${\displaystyle \bigoplus M_{i}}$ ${\displaystyle \alpha _{i}\in M_{i}}$ ${\displaystyle \alpha _{i}=0.}$

El análogo que no requiere que un número finito de sumandos sean cero es el producto directo .

Véase también

• Filtro Fréchet  – filtro FrechetPáginas que muestran descripciones de wikidata como alternativa
• Lista de topologías  – Lista de topologías concretas y espacios topológicos

Referencias

• Steen, Lynn Arthur ; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Counterexamples in Topology ( reimpresión de Dover de la edición de 1978), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-486-68735-3, Sr.  0507446 (Ver ejemplo 18)