En la teoría matemática del orden , un ideal es un subconjunto especial de un conjunto parcialmente ordenado (poset). Aunque históricamente este término se derivó de la noción de ideal de anillo del álgebra abstracta , posteriormente se ha generalizado a una noción diferente. Los ideales son de gran importancia para muchas construcciones en la teoría del orden y de retículos .
Un subconjunto I de un conjunto parcialmente ordenado es un ideal , si se cumplen las siguientes condiciones: [1] [2]
Si bien esta es la forma más general de definir un ideal para conjuntos arbitrarios, originalmente se definió solo para retículos . En este caso, se puede dar la siguiente definición equivalente: un subconjunto I de un retículo es un ideal si y solo si es un conjunto inferior que está cerrado bajo uniones finitas ( suprema ); es decir, no está vacío y para todo x , y en I , el elemento de P también está en I . [3]
Una noción más débil de ideal de orden se define como un subconjunto de un conjunto parcial P que satisface las condiciones 1 y 2 anteriores. En otras palabras, un ideal de orden es simplemente un conjunto inferior . De manera similar, un ideal también se puede definir como un "conjunto inferior dirigido".
La noción dual de un ideal, es decir, el concepto obtenido al invertir todos los ≤ e intercambiar con es un filtro .
Los ideales de Frink , los pseudoideales y los pseudoideales de Doyle son generalizaciones diferentes de la noción de ideal reticular.
Se dice que un ideal o filtro es apropiado si no es igual a todo el conjunto P. [3 ]
El ideal más pequeño que contiene un elemento dado p es unideal principal yse dice quepelemento principal del ideal en esta situación. El ideal principalpara unpviene dado por↓ p = { x ∈ P | x ≤ p }.
Las definiciones anteriores de "ideal" e "ideal de orden" son las estándar, [3] [4] [5] pero existe cierta confusión en la terminología. A veces, las palabras y definiciones como "ideal", "ideal de orden", " ideal de Frink " o "ideal de orden parcial" tienen significados diferentes. [6] [7]
Un caso especial importante de ideal lo constituyen aquellos ideales cuyos complementos teóricos de conjuntos son filtros, es decir, ideales en orden inverso. Tales ideales se denominanideales primos s. Observe también que, puesto que requerimos que los ideales y los filtros no sean vacíos, cada ideal primo es necesariamente propio. Para los retículos, los ideales primos se pueden caracterizar de la siguiente manera:
Un subconjunto I de una red es un ideal primo, si y sólo si
Se comprueba fácilmente que esto es efectivamente equivalente a afirmar que es un filtro (que entonces también es primo, en el doble sentido).
Para una red completa, la noción adicional de unaEl ideal primo completo tiene sentido. Se define como un ideal propioIcon la propiedad adicional de que, siempre que el ínfimodealgún conjunto arbitrario A esté en I , algún elemento deAtambién estará enI.Por lo tanto, se trata simplemente de un ideal primo específico que extiende las condiciones anteriores a infinitos ínfimos.
La existencia de ideales primos no es, en general, obvia y, a menudo, no se puede derivar una cantidad satisfactoria de ideales primos dentro de ZF ( teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel sin el axioma de elección ). Esta cuestión se analiza en varios teoremas de ideales primos , que son necesarios para muchas aplicaciones que requieren ideales primos.
Un yo ideal es unideal maximalista si es propio y no existe ningúnidealpropioJque sea un superconjunto estricto deI.Asimismo, un filtroFes maximalista si es propio y no existe ningún filtro propio que sea un superconjunto estricto.
Cuando un conjunto posesivo es una red distributiva , los ideales y filtros maximos son necesariamente primos, mientras que el recíproco de esta afirmación es falso en general.
Los filtros maximalistas a veces se denominan ultrafiltros , pero esta terminología suele reservarse para las álgebras de Boole, donde un filtro maximal (ideal) es un filtro (ideal) que contiene exactamente uno de los elementos { a , ¬ a }, por cada elemento a del álgebra de Boole. En las álgebras de Boole, los términos ideal primo e ideal maximal coinciden, al igual que los términos filtro primo y filtro maximal .
Existe otra noción interesante de maximalidad de ideales: considérese un ideal I y un filtro F tal que I es disjunto de F . Nos interesa un ideal M que sea máximo entre todos los ideales que contienen a I y son disjuntos de F . En el caso de redes distributivas, un M de este tipo es siempre un ideal primo. A continuación se presenta una prueba de esta afirmación.
Supongamos que el ideal M es máximo con respecto a la disyunción del filtro F . Supongamos por contradicción que M no es primo, es decir, existe un par de elementos a y b tales que a ∧ b en M pero ni a ni b están en M . Considérese el caso de que para todo m en M , m ∨ a no está en F . Se puede construir un ideal N tomando el cierre descendente del conjunto de todas las uniones binarias de esta forma, es decir, N = { x | x ≤ m ∨ a para algún m ∈ M } . Se comprueba fácilmente que N es de hecho un ideal disjunto de F que es estrictamente mayor que M . Pero esto contradice la maximalidad de M y, por tanto, la suposición de que M no es primo.
Para el otro caso, supongamos que hay algún m en M con m ∨ a en F . Ahora bien, si cualquier elemento n en M es tal que n ∨ b está en F , se encuentra que ( m ∨ n ) ∨ b y ( m ∨ n ) ∨ a están ambos en F . Pero entonces su encuentro está en F y, por distributividad, ( m ∨ n ) ∨ ( a ∧ b ) también está en F . Por otra parte, esta unión finita de elementos de M está claramente en M , de modo que la existencia asumida de n contradice la disyunción de los dos conjuntos. Por tanto, todos los elementos n de M tienen una unión con b que no está en F . En consecuencia, se puede aplicar la construcción anterior con b en lugar de a para obtener un ideal que es estrictamente mayor que M mientras que es disjunto de F . Esto termina la prueba.
Sin embargo, en general no está claro si existe algún ideal M que sea máximo en este sentido. Sin embargo, si asumimos el axioma de elección en nuestra teoría de conjuntos, entonces se puede demostrar la existencia de M para cada par de filtros-ideales disjuntos. En el caso especial de que el orden considerado sea un álgebra de Boole , este teorema se llama teorema del ideal primo de Boole . Es estrictamente más débil que el axioma de elección y resulta que no se necesita nada más para muchas aplicaciones de ideales en la teoría del orden.
La construcción de ideales y filtros es una herramienta importante en muchas aplicaciones de la teoría del orden.
Los ideales fueron introducidos por Marshall H. Stone por primera vez para las álgebras de Boole , [8] donde el nombre se derivó de los ideales de anillo del álgebra abstracta. Adoptó esta terminología porque, utilizando el isomorfismo de las categorías de las álgebras de Boole y de los anillos de Boole , las dos nociones coinciden de hecho.
La generalización a cualquier conjunto de conjuntos fue realizada por Frink . [9]
