Polinomios de Chebyshev

Sucesión polinómica

Gráfico del polinomio de Chebyshev de primer tipo en el plano complejo de -2-2i a 2+2i con colores creado con la función ComplexPlot3D de Mathematica 13.1 ${\displaystyle T_{n}(x)}$ ${\displaystyle n=5}$

Los polinomios de Chebyshev son dos secuencias de polinomios relacionados con las funciones coseno y seno , que se escriben como y . Se pueden definir de varias formas equivalentes, una de las cuales comienza con las funciones trigonométricas : ${\displaystyle T_{n}(x)}$ ${\displaystyle U_{n}(x)}$

Los polinomios de Chebyshev del primer tipo se definen por: ${\displaystyle T_{n}}$ $${\displaystyle T_{n}(\cos \theta )=\cos(n\theta ).}$$

De manera similar, los polinomios de Chebyshev del segundo tipo se definen por: ${\displaystyle U_{n}}$ $${\displaystyle U_{n}(\cos \theta )\sin \theta =\sin {\big (}(n+1)\theta {\big )}.}$$

El hecho de que estas expresiones definan polinomios en puede no resultar obvio a primera vista, pero se desprende de la reescritura y el uso de la fórmula de De Moivre o del uso repetido de las fórmulas de suma de ángulos para y . Por ejemplo, las fórmulas de ángulos dobles , que se derivan directamente de las fórmulas de suma de ángulos, se pueden utilizar para obtener y , que son respectivamente un polinomio en y un polinomio en multiplicado por . Por lo tanto, y . ${\displaystyle \cos \theta }$ ${\displaystyle \cos(n\theta )}$ ${\displaystyle \sin {\big (}(n+1)\theta {\big )}}$ ${\displaystyle \cos }$ ${\displaystyle \sin }$ ${\displaystyle T_{2}(\cos \theta )=\cos(2\theta )=2\cos ^{2}\theta -1}$ ${\displaystyle U_{1}(\cos \theta )\sin \theta =\sin(2\theta )=2\cos \theta \sin \theta }$ ${\displaystyle \cos \theta }$ ${\displaystyle \cos \theta }$ ${\displaystyle \sin \theta }$ ${\displaystyle T_{2}(x)=2x^{2}-1}$ ${\displaystyle U_{1}(x)=2x}$

Una propiedad importante y conveniente de T _n ( x ) es que son ortogonales con respecto al producto interno : y U _n ( x ) son ortogonales con respecto a otro producto interno análogo, que se da a continuación. $${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{-1}^{1}f(x)\,g(x)\,{\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {1-x^{2}}}},}$$

Los polinomios de Chebyshev T _n son polinomios con el mayor coeficiente principal posible cuyo valor absoluto en el intervalo [−1, 1] está acotado por 1. También son los polinomios "extremos" para muchas otras propiedades. ^[1]

En 1952, Cornelius Lanczos demostró que los polinomios de Chebyshev son importantes en la teoría de aproximación para la solución de sistemas lineales; ^[2] las raíces de T _n ( x ) , que también se denominan nodos de Chebyshev , se utilizan como puntos de coincidencia para optimizar la interpolación polinómica . El polinomio de interpolación resultante minimiza el problema del fenómeno de Runge y proporciona una aproximación que está cerca de la mejor aproximación polinómica a una función continua bajo la norma máxima , también llamada criterio " minimax ". Esta aproximación conduce directamente al método de cuadratura de Clenshaw-Curtis .

Estos polinomios recibieron el nombre de Pafnuty Chebyshev . ^[3] La letra T se utiliza debido a las transliteraciones alternativas del nombre Chebyshev como Tchebycheff , Tchebyshev (francés) o Tschebyschow (alemán).

Definiciones

Definición de recurrencia

Gráfica de los primeros cinco polinomios de Chebyshev de T _n (primer tipo)

Los polinomios de Chebyshev del primer tipo se obtienen a partir de la relación de recurrencia :

$${\displaystyle {\begin{aligned}T_{0}(x)&=1\\T_{1}(x)&=x\\T_{n+1}(x)&=2x\,T_{n}(x)-T_{n-1}(x).\end{aligned}}}$$La recurrencia también permite representarlos explícitamente como determinante de una matriz tridiagonal de tamaño : ${\displaystyle k\times k}$

$${\displaystyle T_{k}(x)=\det {\begin{bmatrix}x&1&0&\cdots &0\\1&2x&1&\ddots &\vdots \\0&1&2x&\ddots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &1\\0&\cdots &0&1&2x\end{bmatrix}}}$$

La función generadora ordinaria para T _n es: Existen otras funciones generadoras para los polinomios de Chebyshev; la función generadora exponencial es: $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }T_{n}(x)\,t^{n}={\frac {1-tx}{1-2tx+t^{2}}}.}$$ $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }T_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}={\frac {1}{2}}\!\left(e^{t\left(x-{\sqrt {x^{2}-1}}\right)}+e^{t\left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)}\right)=e^{tx}\cosh \left(t{\sqrt {x^{2}-1}}\right).}$$

La función generadora relevante para la teoría del potencial bidimensional y la expansión multipolar es: $${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }T_{n}(x)\,{\frac {t^{n}}{n}}=\ln \left({\frac {1}{\sqrt {1-2tx+t^{2}}}}\right).}$$

Gráfica de los primeros cinco _polinomios de Chebyshev (segundo tipo)

Los polinomios de Chebyshev de segundo tipo se definen mediante la relación de recurrencia: Nótese que los dos conjuntos de relaciones de recurrencia son idénticos, excepto por vs. La función generadora ordinaria para U _n es: y la función generadora exponencial es: $${\displaystyle {\begin{aligned}U_{0}(x)&=1\\U_{1}(x)&=2x\\U_{n+1}(x)&=2x\,U_{n}(x)-U_{n-1}(x).\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle T_{1}(x)=x}$ ${\displaystyle U_{1}(x)=2x}$ $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }U_{n}(x)\,t^{n}={\frac {1}{1-2tx+t^{2}}},}$$ $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }U_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}=e^{tx}\!\left(\!\cosh \left(t{\sqrt {x^{2}-1}}\right)+{\frac {x}{\sqrt {x^{2}-1}}}\sinh \left(t{\sqrt {x^{2}-1}}\right)\!\right).}$$

Definición trigonométrica

Como se describe en la introducción, los polinomios de Chebyshev del primer tipo se pueden definir como los únicos polinomios que satisfacen: o, en otras palabras, como los únicos polinomios que satisfacen: para n = 0, 1, 2, 3, … . $${\displaystyle T_{n}(x)={\begin{cases}\cos(n\arccos x)&{\text{ if }}~|x|\leq 1\\\cosh(n\operatorname {arcosh} x)&{\text{ if }}~x\geq 1\\(-1)^{n}\cosh(n\operatorname {arcosh} (-x))&{\text{ if }}~x\leq -1\end{cases}}}$$ $${\displaystyle T_{n}(\cos \theta )=\cos(n\theta )}$$

Los polinomios del segundo tipo satisfacen: o que es estructuralmente bastante similar al núcleo de Dirichlet D _n ( x ) : (El núcleo de Dirichlet, de hecho, coincide con lo que ahora se conoce como el polinomio de Chebyshev del cuarto tipo). $${\displaystyle U_{n-1}(\cos \theta )\sin \theta =\sin(n\theta ),}$$ $${\displaystyle U_{n}(\cos \theta )={\frac {\sin {\big (}(n+1)\,\theta {\big )}}{\sin \theta }},}$$ $${\displaystyle D_{n}(x)={\frac {\sin \left((2n+1){\dfrac {x}{2}}\,\right)}{\sin {\dfrac {x}{2}}}}=U_{2n}\!\!\left(\cos {\frac {x}{2}}\right).}$$

Una forma equivalente de expresar esto es a través de la exponenciación de un número complejo : dado un número complejo z = a + bi con valor absoluto de uno: Los polinomios de Chebyshev se pueden definir de esta forma cuando se estudian polinomios trigonométricos . ^[4] $${\displaystyle z^{n}=T_{n}(a)+ibU_{n-1}(a).}$$

Que cos nx es un polinomio de grado n en cos x se puede ver observando que cos nx es la parte real de un lado de la fórmula de De Moivre : La parte real del otro lado es un polinomio en cos x y sen x , en el que todas las potencias de sen x son pares y, por lo tanto, reemplazables a través de la identidad cos ² x + sen ² x = 1 . Por el mismo razonamiento, sen nx es la parte imaginaria del polinomio, en el que todas las potencias de sen x son impares y, por lo tanto, si se factoriza un factor de sen x , los factores restantes se pueden reemplazar para crear un polinomio de ( n −1) primer grado en cos x . $${\displaystyle \cos n\theta +i\sin n\theta =(\cos \theta +i\sin \theta )^{n}.}$$

Definición de polinomios conmutativos

Los polinomios de Chebyshev también se pueden caracterizar mediante el siguiente teorema: ^[5]

Si es una familia de polinomios mónicos con coeficientes en un cuerpo de característica tal que y para todos y , entonces, hasta un simple cambio de variables, ya sea para todos o para todos . ${\displaystyle F_{n}(x)}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \deg F_{n}(x)=n}$ ${\displaystyle F_{m}(F_{n}(x))=F_{n}(F_{m}(x))}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle F_{n}(x)=x^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle F_{n}(x)=2\cdot T_{n}(x/2)}$ ${\displaystyle n}$

Definición de la ecuación de Pell

Los polinomios de Chebyshev también pueden definirse como las soluciones de la ecuación de Pell : en un anillo R [ x ] . ^[6] Por lo tanto, pueden generarse mediante la técnica estándar para ecuaciones de Pell de tomar potencias de una solución fundamental: $${\displaystyle T_{n}(x)^{2}-\left(x^{2}-1\right)U_{n-1}(x)^{2}=1}$$ $${\displaystyle T_{n}(x)+U_{n-1}(x)\,{\sqrt {x^{2}-1}}=\left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)^{n}~.}$$

Relaciones entre los dos tipos de polinomios de Chebyshev

Los polinomios de Chebyshev de primer y segundo tipo corresponden a un par complementario de sucesiones de Lucas Ṽ _n ( P , Q ) y Ũ _n ( P , Q ) con parámetros P = 2 x y Q = 1 : Se deduce que también satisfacen un par de ecuaciones de recurrencia mutua: ^[7] $${\displaystyle {\begin{aligned}{\tilde {U}}_{n}(2x,1)&=U_{n-1}(x),\\{\tilde {V}}_{n}(2x,1)&=2\,T_{n}(x).\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}T_{n+1}(x)&=x\,T_{n}(x)-(1-x^{2})\,U_{n-1}(x),\\U_{n+1}(x)&=x\,U_{n}(x)+T_{n+1}(x).\end{aligned}}}$$

El segundo de estos puede reorganizarse utilizando la definición de recurrencia para los polinomios de Chebyshev del segundo tipo para obtener: $${\displaystyle T_{n}(x)={\frac {1}{2}}{\big (}U_{n}(x)-U_{n-2}(x){\big )}.}$$

Al usar esta fórmula de forma iterativa se obtiene la fórmula de suma: mientras que al reemplazar y usar la fórmula derivada para se obtiene la relación de recurrencia para la derivada de : $${\displaystyle U_{n}(x)={\begin{cases}2\sum _{{\text{ odd }}j}^{n}T_{j}(x)&{\text{ for odd }}n.\\2\sum _{{\text{ even }}j}^{n}T_{j}(x)+1&{\text{ for even }}n,\end{cases}}}$$ ${\displaystyle U_{n}(x)}$ ${\displaystyle U_{n-2}(x)}$ ${\displaystyle T_{n}(x)}$ ${\displaystyle T_{n}}$

$${\displaystyle 2\,T_{n}(x)={\frac {1}{n+1}}\,{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,T_{n+1}(x)-{\frac {1}{n-1}}\,{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,T_{n-1}(x),\qquad n=2,3,\ldots }$$

Esta relación se utiliza en el método espectral de Chebyshev para resolver ecuaciones diferenciales.

Las desigualdades de Turán para los polinomios de Chebyshev son: ^[8] $${\displaystyle {\begin{aligned}T_{n}(x)^{2}-T_{n-1}(x)\,T_{n+1}(x)&=1-x^{2}>0&&{\text{ for }}-1<x<1&&{\text{ and }}\\U_{n}(x)^{2}-U_{n-1}(x)\,U_{n+1}(x)&=1>0~.\end{aligned}}}$$

Las relaciones integrales son ^{[7] : 187(47)(48)  [9]} donde las integrales se consideran como valor principal. $${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{-1}^{1}{\frac {T_{n}(y)}{y-x}}\,{\frac {\mathrm {d} y}{\sqrt {1-y^{2}}}}&=\pi \,U_{n-1}(x)~,\\[1.5ex]\int _{-1}^{1}{\frac {U_{n-1}(y)}{y-x}}\,{\sqrt {1-y^{2}}}\mathrm {d} y&=-\pi \,T_{n}(x)\end{aligned}}}$$

Expresiones explícitas

Diferentes enfoques para definir los polinomios de Chebyshev conducen a diferentes expresiones explícitas. La definición trigonométrica proporciona una fórmula explícita como la siguiente: A partir de esta forma trigonométrica, la definición de recurrencia se puede recuperar calculando directamente que se cumplen los casos base: y y que se cumple la identidad producto-suma : $${\displaystyle {\begin{aligned}T_{n}(x)&={\begin{cases}\cos(n\arccos x)\qquad \quad &{\text{ for }}~-1\leq x\leq 1\\\cosh(n\operatorname {arcosh} x)\qquad \quad &{\text{ for }}~1\leq x\\(-1)^{n}\cosh {\big (}n\operatorname {arcosh} (-x){\big )}\qquad \quad &{\text{ for }}~x\leq -1\end{cases}}\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle T_{0}(\cos \theta )=\cos(0\theta )=1}$$ $${\displaystyle T_{1}(\cos \theta )=\cos \theta ,}$$ $${\displaystyle 2\cos n\theta \cos \theta =\cos \lbrack (n+1)\theta \rbrack +\cos \lbrack (n-1)\theta \rbrack .}$$

Utilizando la definición de exponenciación de números complejos del polinomio de Chebyshev, se puede derivar la siguiente expresión: Los dos son equivalentes porque . $${\displaystyle T_{n}(x)={\dfrac {1}{2}}{\bigg (}{\Big (}x-{\sqrt {x^{2}-1}}{\Big )}^{n}+{\Big (}x+{\sqrt {x^{2}-1}}{\Big )}^{n}{\bigg )}\qquad {\text{ for }}~x\in \mathbb {R} }$$ $${\displaystyle T_{n}(x)={\dfrac {1}{2}}{\bigg (}{\Big (}x-{\sqrt {x^{2}-1}}{\Big )}^{n}+{\Big (}x-{\sqrt {x^{2}-1}}{\Big )}^{-n}{\bigg )}\qquad {\text{ for }}~x\in \mathbb {R} }$$ ${\displaystyle (x+{\sqrt {x^{2}-1}})(x-{\sqrt {x^{2}-1}})=1}$

Una forma explícita del polinomio de Chebyshev en términos de monomios x ^k se deduce de la fórmula de De Moivre : donde Re denota la parte real de un número complejo. Desarrollando la fórmula, se obtiene: La parte real de la expresión se obtiene a partir de sumandos correspondientes a índices pares. Notando y , se obtiene la fórmula explícita: que a su vez significa que: Esto se puede escribir como una función hipergeométrica ₂ F ₁ : con inversa: ^{[10] [11]} $${\displaystyle T_{n}(\cos(\theta ))=\operatorname {Re} (\cos n\theta +i\sin n\theta )=\operatorname {Re} ((\cos \theta +i\sin \theta )^{n}),}$$ $${\displaystyle (\cos \theta +i\sin \theta )^{n}=\sum \limits _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}i^{j}\sin ^{j}\theta \cos ^{n-j}\theta .}$$ ${\displaystyle i^{2j}=(-1)^{j}}$ ${\displaystyle \sin ^{2j}\theta =(1-\cos ^{2}\theta )^{j}}$ $${\displaystyle \cos n\theta =\sum \limits _{j=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\binom {n}{2j}}(\cos ^{2}\theta -1)^{j}\cos ^{n-2j}\theta ,}$$ $${\displaystyle T_{n}(x)=\sum \limits _{j=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\binom {n}{2j}}(x^{2}-1)^{j}x^{n-2j}.}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}T_{n}(x)&=\sum _{k=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }{\binom {n}{2k}}\left(x^{2}-1\right)^{k}x^{n-2k}\\&=x^{n}\sum _{k=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }{\binom {n}{2k}}\left(1-x^{-2}\right)^{k}\\&={\frac {n}{2}}\sum _{k=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }(-1)^{k}{\frac {(n-k-1)!}{k!(n-2k)!}}~(2x)^{n-2k}\qquad \qquad {\text{ for }}~n>0\\\\&=n\sum _{k=0}^{n}(-2)^{k}{\frac {(n+k-1)!}{(n-k)!(2k)!}}(1-x)^{k}\qquad \qquad ~{\text{ for }}~n>0\\\\&={}_{2}F_{1}\!\left(-n,n;{\tfrac {1}{2}};{\tfrac {1}{2}}(1-x)\right)\\\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle x^{n}=2^{1-n}\mathop {{\sum }'} _{j=0 \atop j\,\equiv \,n{\pmod {2}}}^{n}\!\!{\binom {n}{\tfrac {n-j}{2}}}\!\;T_{j}(x),}$$donde la prima en el símbolo de suma indica que la contribución de j = 0 debe reducirse a la mitad si aparece.

Una expresión relacionada para T _n como suma de monomios con coeficientes binomiales y potencias de dos es $${\displaystyle T_{n}\left(x\right)=\sum \limits _{m=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }\left(-1\right)^{m}\left({\binom {n-m}{m}}+{\binom {n-m-1}{n-2m}}\right)\cdot 2^{n-2m-1}\cdot x^{n-2m}.}$$

De manera similar, U _n puede expresarse en términos de funciones hipergeométricas: $${\displaystyle {\begin{aligned}U_{n}(x)&={\frac {\left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)^{n+1}-\left(x-{\sqrt {x^{2}-1}}\right)^{n+1}}{2{\sqrt {x^{2}-1}}}}\\&=\sum _{k=0}^{\left\lfloor {n}/{2}\right\rfloor }{\binom {n+1}{2k+1}}\left(x^{2}-1\right)^{k}x^{n-2k}\\&=x^{n}\sum _{k=0}^{\left\lfloor {n}/{2}\right\rfloor }{\binom {n+1}{2k+1}}\left(1-x^{-2}\right)^{k}\\&=\sum _{k=0}^{\left\lfloor {n}/{2}\right\rfloor }{\binom {2k-(n+1)}{k}}~(2x)^{n-2k}&{\text{ for }}~n>0\\&=\sum _{k=0}^{\left\lfloor {n}/{2}\right\rfloor }(-1)^{k}{\binom {n-k}{k}}~(2x)^{n-2k}&{\text{ for }}~n>0\\&=\sum _{k=0}^{n}(-2)^{k}{\frac {(n+k+1)!}{(n-k)!(2k+1)!}}(1-x)^{k}&{\text{ for }}~n>0\\&=(n+1)\ {}_{2}F_{1}\left(-n,n+2;{\tfrac {3}{2}};{\tfrac {1}{2}}(1-x)\right).\\\end{aligned}}}$$

Propiedades

Simetría

$${\displaystyle {\begin{aligned}T_{n}(-x)&=(-1)^{n}\,T_{n}(x)={\begin{cases}T_{n}(x)\quad &~{\text{ for }}~n~{\text{ even}}\\-T_{n}(x)\quad &~{\text{ for }}~n~{\text{ odd}}\end{cases}}\\\\U_{n}(-x)&=(-1)^{n}\,U_{n}(x)={\begin{cases}U_{n}(x)\quad &~{\text{ for }}~n~{\text{ even}}\\-U_{n}(x)\quad &~{\text{ for }}~n~{\text{ odd}}\end{cases}}\end{aligned}}}$$

Es decir, los polinomios de Chebyshev de orden par tienen simetría par y, por lo tanto, contienen solo potencias pares de x . Los polinomios de Chebyshev de orden impar tienen simetría impar y, por lo tanto, contienen solo potencias impares de x .

Raíces y extremos

Un polinomio de Chebyshev de cualquier tipo con grado n tiene n raíces simples diferentes , llamadas raíces de Chebyshev , en el intervalo [−1, 1] . Las raíces del polinomio de Chebyshev del primer tipo a veces se denominan nodos de Chebyshev porque se utilizan como nodos en la interpolación polinómica. Utilizando la definición trigonométrica y el hecho de que: se puede demostrar que las raíces de T _n son: De manera similar, las raíces de U _n son: Los extremos de T _n en el intervalo −1 ≤ x ≤ 1 se encuentran en: $${\displaystyle \cos \left((2k+1){\frac {\pi }{2}}\right)=0}$$ $${\displaystyle x_{k}=\cos \left({\frac {\pi (k+1/2)}{n}}\right),\quad k=0,\ldots ,n-1.}$$ $${\displaystyle x_{k}=\cos \left({\frac {k}{n+1}}\pi \right),\quad k=1,\ldots ,n.}$$ $${\displaystyle x_{k}=\cos \left({\frac {k}{n}}\pi \right),\quad k=0,\ldots ,n.}$$

Una propiedad única de los polinomios de Chebyshev de primera clase es que en el intervalo −1 ≤ x ≤ 1 todos los extremos tienen valores que son −1 o 1. Por lo tanto, estos polinomios tienen solo dos valores críticos finitos , la propiedad definitoria de los polinomios de Shabat . Tanto el primer como el segundo tipo de polinomio de Chebyshev tienen extremos en los puntos finales, dados por: $${\displaystyle {\begin{aligned}T_{n}(1)&=1\\T_{n}(-1)&=(-1)^{n}\\U_{n}(1)&=n+1\\U_{n}(-1)&=(-1)^{n}(n+1).\end{aligned}}}$$

Los extremos de en el intervalo donde se encuentran en valores de . Son , o donde , , y , es decir, y son números primos entre sí. ${\displaystyle T_{n}(x)}$ ${\displaystyle -1\leq x\leq 1}$ ${\displaystyle n>0}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \pm 1}$ ${\displaystyle \cos \left({\frac {2\pi k}{d}}\right)}$ ${\displaystyle d>2}$ ${\displaystyle d\;|\;2n}$ ${\displaystyle 0<k<d/2}$ ${\displaystyle (k,d)=1}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle d}$

En concreto, ^{[12] [13]} cuando es par: ${\displaystyle n}$

• ${\displaystyle T_{n}(x)=1}$Si , o y es par. Existen valores de . ${\displaystyle x=\pm 1}$ ${\displaystyle d>2}$ ${\displaystyle 2n/d}$ ${\displaystyle n/2+1}$ ${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle T_{n}(x)=-1}$Si y es impar, existen valores de . ${\displaystyle d>2}$ ${\displaystyle 2n/d}$ ${\displaystyle n/2}$ ${\displaystyle x}$

Cuando es impar: ${\displaystyle n}$

• ${\displaystyle T_{n}(x)=1}$Si , o y es par. Existen valores de . ${\displaystyle x=1}$ ${\displaystyle d>2}$ ${\displaystyle 2n/d}$ ${\displaystyle (n+1)/2}$ ${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle T_{n}(x)=-1}$Si , o y es impar, existen valores de . ${\displaystyle x=-1}$ ${\displaystyle d>2}$ ${\displaystyle 2n/d}$ ${\displaystyle (n+1)/2}$ ${\displaystyle x}$

Este resultado se ha generalizado a soluciones de , ^[13] y a y para polinomios de Chebyshev de tercer y cuarto tipo, respectivamente. ^[14] ${\displaystyle U_{n}(x)\pm 1=0}$ ${\displaystyle V_{n}(x)\pm 1=0}$ ${\displaystyle W_{n}(x)\pm 1=0}$

Diferenciación e integración

Las derivadas de los polinomios pueden ser menos que sencillas. Al derivar los polinomios en sus formas trigonométricas, se puede demostrar que: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} T_{n}}{\mathrm {d} x}}&=nU_{n-1}\\{\frac {\mathrm {d} U_{n}}{\mathrm {d} x}}&={\frac {(n+1)T_{n+1}-xU_{n}}{x^{2}-1}}\\{\frac {\mathrm {d} ^{2}T_{n}}{\mathrm {d} x^{2}}}&=n\,{\frac {nT_{n}-xU_{n-1}}{x^{2}-1}}=n\,{\frac {(n+1)T_{n}-U_{n}}{x^{2}-1}}.\end{aligned}}}$$

Las dos últimas fórmulas pueden ser numéricamente problemáticas debido a la división por cero ( ⁠0/0⁠ forma indeterminada , específicamente) en x = 1 y x = −1 . Por la regla de L'Hôpital : $${\displaystyle {\begin{aligned}\left.{\frac {\mathrm {d} ^{2}T_{n}}{\mathrm {d} x^{2}}}\right|_{x=1}\!\!&={\frac {n^{4}-n^{2}}{3}},\\\left.{\frac {\mathrm {d} ^{2}T_{n}}{\mathrm {d} x^{2}}}\right|_{x=-1}\!\!&=(-1)^{n}{\frac {n^{4}-n^{2}}{3}}.\end{aligned}}}$$

De manera más general, lo cual es de gran utilidad en la solución numérica de problemas de valores propios . $${\displaystyle \left.{\frac {d^{p}T_{n}}{dx^{p}}}\right|_{x=\pm 1}\!\!=(\pm 1)^{n+p}\prod _{k=0}^{p-1}{\frac {n^{2}-k^{2}}{2k+1}}~,}$$

Además, tenemos: donde el primo en los símbolos de suma significa que el término aportado por k = 0 debe reducirse a la mitad, si aparece. $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{p}}{\mathrm {d} x^{p}}}\,T_{n}(x)=2^{p}\,n\mathop {{\sum }'} _{0\leq k\leq n-p \atop k\,\equiv \,n-p{\pmod {2}}}{\binom {{\frac {n+p-k}{2}}-1}{\frac {n-p-k}{2}}}{\frac {\left({\frac {n+p+k}{2}}-1\right)!}{\left({\frac {n-p+k}{2}}\right)!}}\,T_{k}(x),~\qquad p\geq 1,}$$

Respecto a la integración, la primera derivada de T _n implica que: y la relación de recurrencia para los polinomios de primera clase que involucran derivadas establece que para n ≥ 2 : $${\displaystyle \int U_{n}\,\mathrm {d} x={\frac {T_{n+1}}{n+1}}}$$ $${\displaystyle \int T_{n}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}\,\left({\frac {T_{n+1}}{n+1}}-{\frac {T_{n-1}}{n-1}}\right)={\frac {n\,T_{n+1}}{n^{2}-1}}-{\frac {x\,T_{n}}{n-1}}.}$$

La última fórmula se puede manipular aún más para expresar la integral de T _n como una función de polinomios de Chebyshev del primer tipo únicamente: $${\displaystyle {\begin{aligned}\int T_{n}\,\mathrm {d} x&={\frac {n}{n^{2}-1}}T_{n+1}-{\frac {1}{n-1}}T_{1}T_{n}\\&={\frac {n}{n^{2}-1}}\,T_{n+1}-{\frac {1}{2(n-1)}}\,(T_{n+1}+T_{n-1})\\&={\frac {1}{2(n+1)}}\,T_{n+1}-{\frac {1}{2(n-1)}}\,T_{n-1}.\end{aligned}}}$$

Además, contamos con: $${\displaystyle \int _{-1}^{1}T_{n}(x)\,\mathrm {d} x={\begin{cases}{\frac {(-1)^{n}+1}{1-n^{2}}}&{\text{ if }}~n\neq 1\\0&{\text{ if }}~n=1.\end{cases}}}$$

Productos de polinomios de Chebyshev

Los polinomios de Chebyshev de primera especie satisfacen la relación: que se demuestra fácilmente a partir de la fórmula de producto-suma para el coseno: Para n = 1 esto da como resultado la fórmula de recurrencia ya conocida, solo que ordenada de manera diferente, y con n = 2 forma la relación de recurrencia para todos los polinomios de Chebyshev de índice par o impar (dependiendo de la paridad del m más bajo ) lo que implica la paridad o imparidad de estos polinomios. Se pueden concluir tres fórmulas más útiles para evaluar polinomios de Chebyshev a partir de esta expansión del producto: $${\displaystyle T_{m}(x)\,T_{n}(x)={\tfrac {1}{2}}\!\left(T_{m+n}(x)+T_{|m-n|}(x)\right)\!,\qquad \forall m,n\geq 0,}$$ $${\displaystyle 2\cos \alpha \,\cos \beta =\cos(\alpha +\beta )+\cos(\alpha -\beta ).}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}T_{2n}(x)&=2\,T_{n}^{2}(x)-T_{0}(x)&&=2T_{n}^{2}(x)-1,\\T_{2n+1}(x)&=2\,T_{n+1}(x)\,T_{n}(x)-T_{1}(x)&&=2\,T_{n+1}(x)\,T_{n}(x)-x,\\T_{2n-1}(x)&=2\,T_{n-1}(x)\,T_{n}(x)-T_{1}(x)&&=2\,T_{n-1}(x)\,T_{n}(x)-x.\end{aligned}}}$$

Los polinomios de segunda especie satisfacen la relación de semejanza: (con la definición U ₋₁ ≡ 0 por convención ). También satisfacen: para m ≥ n . Para n = 2 esta recurrencia se reduce a: que establece la paridad o imparidad de los polinomios de Chebyshev de segunda especie de índice par o impar dependiendo de si m empieza con 2 o 3. $${\displaystyle T_{m}(x)\,U_{n}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{2}}\left(U_{m+n}(x)+U_{n-m}(x)\right),&~{\text{ if }}~n\geq m-1,\\\\{\frac {1}{2}}\left(U_{m+n}(x)-U_{m-n-2}(x)\right),&~{\text{ if }}~n\leq m-2.\end{cases}}}$$ $${\displaystyle U_{m}(x)\,U_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}\,U_{m-n+2k}(x)=\sum _{\underset {\text{ step 2 }}{p=m-n}}^{m+n}U_{p}(x)~.}$$ $${\displaystyle U_{m+2}(x)=U_{2}(x)\,U_{m}(x)-U_{m}(x)-U_{m-2}(x)=U_{m}(x)\,{\big (}U_{2}(x)-1{\big )}-U_{m-2}(x)~,}$$

Propiedades de composición y divisibilidad

Las definiciones trigonométricas de T _n y U _n implican las propiedades de composición o anidamiento: ^[15] Para T _mn el orden de composición puede invertirse, haciendo de la familia de funciones polinomiales T _n un semigrupo conmutativo bajo composición. $${\displaystyle {\begin{aligned}T_{mn}(x)&=T_{m}(T_{n}(x)),\\U_{mn-1}(x)&=U_{m-1}(T_{n}(x))U_{n-1}(x).\end{aligned}}}$$

Como T _m ( x ) es divisible por x si m es impar, se deduce que T _mn ( x ) es divisible por T _n ( x ) si m es impar. Además, U _{mn −1} ( x ) es divisible por U _{n −1} ( x ) , y en el caso de que m sea par, divisible por T _n ( x ) U _{n −1} ( x ) .

Ortogonalidad

Tanto T _n como U _n forman una secuencia de polinomios ortogonales . Los polinomios de primera clase T _n son ortogonales respecto del peso: en el intervalo [−1, 1] , es decir, tenemos: $${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}},}$$ $${\displaystyle \int _{-1}^{1}T_{n}(x)\,T_{m}(x)\,{\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {1-x^{2}}}}={\begin{cases}0&~{\text{ if }}~n\neq m,\\[5mu]\pi &~{\text{ if }}~n=m=0,\\[5mu]{\frac {\pi }{2}}&~{\text{ if }}~n=m\neq 0.\end{cases}}}$$

Esto se puede demostrar dejando x = cos θ y utilizando la identidad definitoria T _n (cos θ ) = cos( nθ ) .

De manera similar, los polinomios de segundo tipo U _n son ortogonales respecto del peso: en el intervalo [−1, 1] , es decir tenemos: $${\displaystyle {\sqrt {1-x^{2}}}}$$ $${\displaystyle \int _{-1}^{1}U_{n}(x)\,U_{m}(x)\,{\sqrt {1-x^{2}}}\,\mathrm {d} x={\begin{cases}0&~{\text{ if }}~n\neq m,\\[5mu]{\frac {\pi }{2}}&~{\text{ if }}~n=m.\end{cases}}}$$

(La medida √ 1 − x ² d x es, dentro de una constante normalizadora, la distribución del semicírculo de Wigner .)

Estas propiedades de ortogonalidad se derivan del hecho de que los polinomios de Chebyshev resuelven las ecuaciones diferenciales de Chebyshev : que son ecuaciones diferenciales de Sturm-Liouville . Una característica general de tales ecuaciones diferenciales es que existe un conjunto ortonormal distinguido de soluciones. (Otra forma de definir los polinomios de Chebyshev es como las soluciones de esas ecuaciones ). $${\displaystyle {\begin{aligned}(1-x^{2})T_{n}''-xT_{n}'+n^{2}T_{n}&=0,\\[1ex](1-x^{2})U_{n}''-3xU_{n}'+n(n+2)U_{n}&=0,\end{aligned}}}$$

Los T _n también satisfacen una condición de ortogonalidad discreta: donde N es cualquier entero mayor que max( i , j ) , ^[9] y los x _k son los N nodos de Chebyshev (ver arriba) de T _N ( x ) : $${\displaystyle \sum _{k=0}^{N-1}{T_{i}(x_{k})\,T_{j}(x_{k})}={\begin{cases}0&~{\text{ if }}~i\neq j,\\[5mu]N&~{\text{ if }}~i=j=0,\\[5mu]{\frac {N}{2}}&~{\text{ if }}~i=j\neq 0,\end{cases}}}$$  $${\displaystyle x_{k}=\cos \left(\pi \,{\frac {2k+1}{2N}}\right)\quad ~{\text{ for }}~k=0,1,\dots ,N-1.}$$

Para los polinomios de segundo tipo y cualquier entero N > i + j con los mismos nodos de Chebyshev x _k , existen sumas similares: y sin la función de peso: $${\displaystyle \sum _{k=0}^{N-1}{U_{i}(x_{k})\,U_{j}(x_{k})\left(1-x_{k}^{2}\right)}={\begin{cases}0&{\text{ if }}~i\neq j,\\[5mu]{\frac {N}{2}}&{\text{ if }}~i=j,\end{cases}}}$$ $${\displaystyle \sum _{k=0}^{N-1}{U_{i}(x_{k})\,U_{j}(x_{k})}={\begin{cases}0&~{\text{ if }}~i\not \equiv j{\pmod {2}},\\[5mu]N\cdot (1+\min\{i,j\})&~{\text{ if }}~i\equiv j{\pmod {2}}.\end{cases}}}$$

Para cualquier entero N > i + j , basado en los N ceros de U _N ( x ) : se puede obtener la suma: y nuevamente sin la función de peso: $${\displaystyle y_{k}=\cos \left(\pi \,{\frac {k+1}{N+1}}\right)\quad ~{\text{ for }}~k=0,1,\dots ,N-1,}$$ $${\displaystyle \sum _{k=0}^{N-1}{U_{i}(y_{k})\,U_{j}(y_{k})(1-y_{k}^{2})}={\begin{cases}0&~{\text{ if }}i\neq j,\\[5mu]{\frac {N+1}{2}}&~{\text{ if }}i=j,\end{cases}}}$$ $${\displaystyle \sum _{k=0}^{N-1}{U_{i}(y_{k})\,U_{j}(y_{k})}={\begin{cases}0&~{\text{ if }}~i\not \equiv j{\pmod {2}},\\[5mu]{\bigl (}\min\{i,j\}+1{\bigr )}{\bigl (}N-\max\{i,j\}{\bigr )}&~{\text{ if }}~i\equiv j{\pmod {2}}.\end{cases}}}$$

Mínimo∞-norma

Para cualquier n ≥ 1 dado , entre los polinomios de grado n con coeficiente principal 1 ( polinomios mónicos ): es aquel cuyo valor absoluto máximo en el intervalo [−1, 1] es mínimo. $${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\,2^{n-1}\,}}\,T_{n}(x)}$$

Este valor absoluto máximo es: y | f ( x ) | alcanza este máximo exactamente n + 1 veces en: $${\displaystyle {\frac {1}{2^{n-1}}}}$$ $${\displaystyle x=\cos {\frac {k\pi }{n}}\quad {\text{for }}0\leq k\leq n.}$$

Prueba

Supongamos que w _n ( x ) es un polinomio de grado n con coeficiente principal 1 con valor absoluto máximo en el intervalo [−1, 1] menor que 1 / 2 ^{n  − 1} .

Definir $${\displaystyle f_{n}(x)={\frac {1}{\,2^{n-1}\,}}\,T_{n}(x)-w_{n}(x)}$$

Porque en los puntos extremos de T _n tenemos $${\displaystyle {\begin{aligned}|w_{n}(x)|&<\left|{\frac {1}{2^{n-1}}}T_{n}(x)\right|\\f_{n}(x)&>0\qquad {\text{ for }}~x=\cos {\frac {2k\pi }{n}}~&&{\text{ where }}0\leq 2k\leq n\\f_{n}(x)&<0\qquad {\text{ for }}~x=\cos {\frac {(2k+1)\pi }{n}}~&&{\text{ where }}0\leq 2k+1\leq n\end{aligned}}}$$

Del teorema del valor intermedio , f _n ( x ) tiene al menos n raíces. Sin embargo, esto es imposible, ya que f _n ( x ) es un polinomio de grado n − 1 , por lo que el teorema fundamental del álgebra implica que tiene como máximo n − 1 raíces.

Observación

Por el teorema de equioscilación , entre todos los polinomios de grado ≤  n , el polinomio f minimiza ‖ f ‖ _∞   en [−1, 1] si y sólo si hay n + 2 puntos −1 ≤ x ₀ < x ₁ < ⋯ < x _{n + 1} ≤ 1 tales que | f ( x _i ) | = ‖ f ‖ _∞    .

Por supuesto, el polinomio nulo en el intervalo [−1, 1] puede aproximarse por sí mismo y minimiza la norma ∞ .

Sin embargo, arriba, | f |   alcanza su máximo solo n + 1 veces porque estamos buscando el mejor polinomio de grado n ≥ 1 (por lo tanto, el teorema evocado anteriormente no se puede utilizar).

Polinomios de Chebyshev como casos especiales de familias de polinomios más generales

Los polinomios de Chebyshev son un caso especial de los polinomios ultrasféricos o de Gegenbauer , que a su vez son un caso especial de los polinomios de Jacobi : ${\displaystyle C_{n}^{(\lambda )}(x)}$ ${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}T_{n}(x)&={\frac {n}{2}}\lim _{q\to 0}{\frac {1}{q}}\,C_{n}^{(q)}(x)\qquad ~{\text{ if }}~n\geq 1,\\&={\frac {1}{\binom {n-{\frac {1}{2}}}{n}}}P_{n}^{\left(-{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}}\right)}(x)={\frac {2^{2n}}{\binom {2n}{n}}}P_{n}^{\left(-{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}}\right)}(x)~,\\[2ex]U_{n}(x)&=C_{n}^{(1)}(x)\\&={\frac {n+1}{\binom {n+{\frac {1}{2}}}{n}}}P_{n}^{\left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right)}(x)={\frac {2^{2n+1}}{\binom {2n+2}{n+1}}}P_{n}^{\left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right)}(x)~.\end{aligned}}}$$

Los polinomios de Chebyshev también son un caso especial de polinomios de Dickson : en particular, cuando , están relacionados por y . $${\displaystyle D_{n}(2x\alpha ,\alpha ^{2})=2\alpha ^{n}T_{n}(x)\,}$$ $${\displaystyle E_{n}(2x\alpha ,\alpha ^{2})=\alpha ^{n}U_{n}(x).\,}$$ ${\displaystyle \alpha ={\tfrac {1}{2}}}$ ${\displaystyle D_{n}(x,{\tfrac {1}{4}})=2^{1-n}T_{n}(x)}$ ${\displaystyle E_{n}(x,{\tfrac {1}{4}})=2^{-n}U_{n}(x)}$

Otras propiedades

Las curvas dadas por y = T _n ( x ) , o equivalentemente, por las ecuaciones paramétricas y = T _n (cos θ ) = cos nθ , x = cos θ , son un caso especial de curvas de Lissajous con relación de frecuencias igual a n .

Similar a la fórmula: tenemos la fórmula análoga: $${\displaystyle T_{n}(\cos \theta )=\cos(n\theta ),}$$ $${\displaystyle T_{2n+1}(\sin \theta )=(-1)^{n}\sin \left(\left(2n+1\right)\theta \right).}$$

Para x ≠ 0 : y: lo que se deduce del hecho de que esto se cumple por definición para x = e ^iθ . $${\displaystyle T_{n}\!\left({\frac {x+x^{-1}}{2}}\right)={\frac {x^{n}+x^{-n}}{2}}}$$ $${\displaystyle x^{n}=T_{n}\!\left({\frac {x+x^{-1}}{2}}\right)+{\frac {x-x^{-1}}{2}}\ U_{n-1}\!\left({\frac {x+x^{-1}}{2}}\right),}$$

Existen relaciones entre los polinomios de Legendre y los polinomios de Chebyshev.

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}P_{k}\left(x\right)T_{n-k}\left(x\right)=\left(n+1\right)P_{n}\left(x\right)}$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}P_{k}\left(x\right)P_{n-k}\left(x\right)=U_{n}\left(x\right)}$

Estas identidades se pueden demostrar utilizando funciones generadoras y convolución discreta.

Ejemplos

Primer tipo

Los primeros polinomios de Chebyshev del primer tipo en el dominio −1 < x < 1 : Los planos T ₀ , T ₁ , T ₂ , T ₃ , T ₄ y T ₅ .

Los primeros polinomios de Chebyshev del primer tipo son OEIS : A028297 $${\displaystyle {\begin{aligned}T_{0}(x)&=1\\T_{1}(x)&=x\\T_{2}(x)&=2x^{2}-1\\T_{3}(x)&=4x^{3}-3x\\T_{4}(x)&=8x^{4}-8x^{2}+1\\T_{5}(x)&=16x^{5}-20x^{3}+5x\\T_{6}(x)&=32x^{6}-48x^{4}+18x^{2}-1\\T_{7}(x)&=64x^{7}-112x^{5}+56x^{3}-7x\\T_{8}(x)&=128x^{8}-256x^{6}+160x^{4}-32x^{2}+1\\T_{9}(x)&=256x^{9}-576x^{7}+432x^{5}-120x^{3}+9x\\T_{10}(x)&=512x^{10}-1280x^{8}+1120x^{6}-400x^{4}+50x^{2}-1\end{aligned}}}$$

Segundo tipo

Los primeros polinomios de Chebyshev de segundo tipo en el dominio −1 < x < 1 : Los planos U ₀ , U ₁ , U ₂ , U ₃ , U ₄ y U ₅ . Aunque no son visibles en la imagen, U _n (1) = n  + 1 y U _n (−1) = ( n  + 1)(−1) ⁿ .

Los primeros polinomios de Chebyshev del segundo tipo son OEIS : A053117 $${\displaystyle {\begin{aligned}U_{0}(x)&=1\\U_{1}(x)&=2x\\U_{2}(x)&=4x^{2}-1\\U_{3}(x)&=8x^{3}-4x\\U_{4}(x)&=16x^{4}-12x^{2}+1\\U_{5}(x)&=32x^{5}-32x^{3}+6x\\U_{6}(x)&=64x^{6}-80x^{4}+24x^{2}-1\\U_{7}(x)&=128x^{7}-192x^{5}+80x^{3}-8x\\U_{8}(x)&=256x^{8}-448x^{6}+240x^{4}-40x^{2}+1\\U_{9}(x)&=512x^{9}-1024x^{7}+672x^{5}-160x^{3}+10x\\U_{10}(x)&=1024x^{10}-2304x^{8}+1792x^{6}-560x^{4}+60x^{2}-1\end{aligned}}}$$

Como conjunto de base

La función no uniforme (arriba) y = − x ³ H (− x ) , donde H es la función escalonada de Heaviside y (abajo) la quinta suma parcial de su expansión de Chebyshev. La séptima suma es indistinguible de la función original en la resolución del gráfico.

En el espacio de Sobolev apropiado , el conjunto de polinomios de Chebyshev forman una base ortonormal , de modo que una función en el mismo espacio puede, en −1 ≤ x ≤ 1 , expresarse mediante la expansión: ^[16] $${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}T_{n}(x).}$$

Además, como se mencionó anteriormente, los polinomios de Chebyshev forman una base ortogonal que (entre otras cosas) implica que los coeficientes a _n pueden determinarse fácilmente mediante la aplicación de un producto interno . Esta suma se denomina serie de Chebyshev o expansión de Chebyshev .

Dado que una serie de Chebyshev está relacionada con una serie de cosenos de Fourier a través de un cambio de variables, todos los teoremas, identidades, etc. que se aplican a las series de Fourier tienen una contraparte de Chebyshev. ^[16] Estos atributos incluyen:

• Los polinomios de Chebyshev forman un sistema ortogonal completo .
• La serie de Chebyshev converge a f ( x ) si la función es suave y continua por partes . El requisito de suavidad se puede relajar en la mayoría de los casos, siempre que haya un número finito de discontinuidades en f ( x ) y sus derivadas.
• En una discontinuidad, la serie convergerá al promedio de los límites derecho e izquierdo.

La abundancia de teoremas e identidades heredados de las series de Fourier hacen que los polinomios de Chebyshev sean herramientas importantes en el análisis numérico ; por ejemplo, son las funciones base de propósito general más populares utilizadas en el método espectral , ^[16] a menudo a favor de las series trigonométricas debido a una convergencia generalmente más rápida para funciones continuas ( el fenómeno de Gibbs sigue siendo un problema).

Ejemplo 1

Consideremos la expansión de Chebyshev de log(1 +  x ) . Se puede expresar: $${\displaystyle \log(1+x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}T_{n}(x)~.}$$

Los coeficientes a _n se pueden hallar ya sea mediante la aplicación de un producto interno o mediante la condición de ortogonalidad discreta. Para el producto interno: que da: $${\displaystyle \int _{-1}^{+1}\,{\frac {T_{m}(x)\,\log(1+x)}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,\mathrm {d} x=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\int _{-1}^{+1}{\frac {T_{m}(x)\,T_{n}(x)}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,\mathrm {d} x,}$$ $${\displaystyle a_{n}={\begin{cases}-\log 2&{\text{ for }}~n=0,\\{\frac {-2(-1)^{n}}{n}}&{\text{ for }}~n>0.\end{cases}}}$$

Alternativamente, cuando el producto interno de la función que se está aproximando no puede evaluarse, la condición de ortogonalidad discreta da un resultado a menudo útil para coeficientes aproximados : donde δ _ij es la función delta de Kronecker y x _k son los N ceros de Gauss-Chebyshev de T _N ( x ) : Para cualquier N , estos coeficientes aproximados proporcionan una aproximación exacta a la función en x _k con un error controlado entre esos puntos. Los coeficientes exactos se obtienen con N = ∞ , representando así la función exactamente en todos los puntos en [−1,1] . La tasa de convergencia depende de la función y su suavidad. $${\displaystyle a_{n}\approx {\frac {\,2-\delta _{0n}\,}{N}}\,\sum _{k=0}^{N-1}T_{n}(x_{k})\,\log(1+x_{k}),}$$ $${\displaystyle x_{k}=\cos \left({\frac {\pi \left(k+{\tfrac {1}{2}}\right)}{N}}\right).}$$

Esto nos permite calcular los coeficientes aproximados a _n de manera muy eficiente a través de la transformada de coseno discreta : $${\displaystyle a_{n}\approx {\frac {2-\delta _{0n}}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}\cos \left({\frac {n\pi \left(\,k+{\tfrac {1}{2}}\right)}{N}}\right)\log(1+x_{k}).}$$

Ejemplo 2

Para dar otro ejemplo: $${\displaystyle {\begin{aligned}\left(1-x^{2}\right)^{\alpha }&=-{\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\,{\frac {\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}+\alpha \right)}{\Gamma (\alpha +1)}}+2^{1-2\alpha }\,\sum _{n=0}\left(-1\right)^{n}\,{2\alpha \choose \alpha -n}\,T_{2n}(x)\\[1ex]&=2^{-2\alpha }\,\sum _{n=0}\left(-1\right)^{n}\,{2\alpha +1 \choose \alpha -n}\,U_{2n}(x).\end{aligned}}}$$

Sumas parciales

Las sumas parciales de: son muy útiles en la aproximación de varias funciones y en la solución de ecuaciones diferenciales (ver método espectral ). Dos métodos comunes para determinar los coeficientes a _n son mediante el uso del producto interno como en el método de Galerkin y mediante el uso de la colocación que está relacionada con la interpolación . $${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}T_{n}(x)}$$

Como interpolante, los N coeficientes de la ( N  − 1) suma parcial se obtienen habitualmente en los puntos de Chebyshev–Gauss–Lobatto ^{[17] (o cuadrícula de Lobatto), lo que da como resultado un error mínimo y evita} el fenómeno de Runge asociado con una cuadrícula uniforme. Esta colección de puntos corresponde a los extremos del polinomio de orden más alto en la suma, más los puntos finales y está dada por: $${\displaystyle x_{k}=-\cos \left({\frac {k\pi }{N-1}}\right);\qquad k=0,1,\dots ,N-1.}$$

Polinomio en forma de Chebyshev

Un polinomio arbitrario de grado N puede escribirse en términos de los polinomios de Chebyshev de primer tipo. ^[9] Un polinomio de este tipo p ( x ) tiene la forma: $${\displaystyle p(x)=\sum _{n=0}^{N}a_{n}T_{n}(x).}$$

Los polinomios en forma de Chebyshev se pueden evaluar utilizando el algoritmo de Clenshaw .

Familias de polinomios relacionados con los polinomios de Chebyshev

A veces se utilizan polinomios denotados y estrechamente relacionados con los polinomios de Chebyshev. Se definen por: ^[18] y satisfacen: AF Horadam llamó a los polinomios polinomios de Vieta–Lucas y los denotó . Llamó a los polinomios polinomios de Vieta–Fibonacci y los denotó . ^[19] Se dan listas de ambos conjuntos de polinomios en la Opera Mathematica de Viète , Capítulo IX, Teoremas VI y VII. ^[20] Los polinomios de Vieta–Lucas y Vieta–Fibonacci de argumento real son, hasta una potencia de y un desplazamiento de índice en el caso de este último, iguales a los polinomios de Lucas y Fibonacci L _n y F _n de argumento imaginario. ${\displaystyle C_{n}(x)}$ ${\displaystyle S_{n}(x)}$ $${\displaystyle C_{n}(x)=2T_{n}\left({\frac {x}{2}}\right),\qquad S_{n}(x)=U_{n}\left({\frac {x}{2}}\right)}$$ $${\displaystyle C_{n}(x)=S_{n}(x)-S_{n-2}(x).}$$ ${\displaystyle C_{n}(x)}$ ${\displaystyle v_{n}(x)}$ ${\displaystyle S_{n}(x)}$ ${\displaystyle V_{n}(x)}$ ${\displaystyle i}$

Los polinomios de Chebyshev desplazados del primer y segundo tipo están relacionados con los polinomios de Chebyshev por: ^[18] $${\displaystyle T_{n}^{*}(x)=T_{n}(2x-1),\qquad U_{n}^{*}(x)=U_{n}(2x-1).}$$

Cuando el argumento del polinomio de Chebyshev satisface 2 x − 1 ∈ [−1, 1] el argumento del polinomio de Chebyshev desplazado satisface x ∈ [0, 1] . De manera similar, se pueden definir polinomios desplazados para intervalos genéricos [ a , b ] .

Alrededor de 1990, los términos "tercer tipo" y "cuarto tipo" comenzaron a usarse en relación con los polinomios de Chebyshev, aunque los polinomios denotados por estos términos tuvieron un desarrollo anterior bajo el nombre de polinomios de perfil aerodinámico . Según JC Mason y GH Elliott, la terminología "tercer tipo" y "cuarto tipo" se debe a Walter Gautschi , "en consulta con colegas en el campo de los polinomios ortogonales". ^[21] Los polinomios de Chebyshev del tercer tipo se definen como: y los polinomios de Chebyshev del cuarto tipo se definen como: donde . ^{[21] [22]} En la literatura de perfiles aerodinámicos y se denotan y . Las familias de polinomios , , , y son ortogonales con respecto a los pesos: y son proporcionales a los polinomios de Jacobi con: ^[22] $${\displaystyle V_{n}(x)={\frac {\cos \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\theta \right)}{\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)}}={\sqrt {\frac {2}{1+x}}}T_{2n+1}\left({\sqrt {\frac {x+1}{2}}}\right)}$$ $${\displaystyle W_{n}(x)={\frac {\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\theta \right)}{\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)}}=U_{2n}\left({\sqrt {\frac {x+1}{2}}}\right),}$$ ${\displaystyle \theta =\arccos x}$ ${\displaystyle V_{n}(x)}$ ${\displaystyle W_{n}(x)}$ ${\displaystyle t_{n}(x)}$ ${\displaystyle u_{n}(x)}$ ${\displaystyle T_{n}(x)}$ ${\displaystyle U_{n}(x)}$ ${\displaystyle V_{n}(x)}$ ${\displaystyle W_{n}(x)}$ $${\displaystyle \left(1-x^{2}\right)^{-1/2},\quad \left(1-x^{2}\right)^{1/2},\quad (1-x)^{-1/2}(1+x)^{1/2},\quad (1+x)^{-1/2}(1-x)^{1/2}}$$ ${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)}$ $${\displaystyle (\alpha ,\beta )=\left(-{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}}\right),\quad (\alpha ,\beta )=\left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right),\quad (\alpha ,\beta )=\left(-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right),\quad (\alpha ,\beta )=\left({\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}}\right).}$$

Las cuatro familias satisfacen la recurrencia con , donde , , , o , pero difieren según si es igual a , , , o . ^[21] ${\displaystyle p_{n}(x)=2xp_{n-1}(x)-p_{n-2}(x)}$ ${\displaystyle p_{0}(x)=1}$ ${\displaystyle p_{n}=T_{n}}$ ${\displaystyle U_{n}}$ ${\displaystyle V_{n}}$ ${\displaystyle W_{n}}$ ${\displaystyle p_{1}(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 2x}$ ${\displaystyle 2x-1}$ ${\displaystyle 2x+1}$

Polinomios de Chebyshev modificados de orden par

Algunas aplicaciones dependen de los polinomios de Chebyshev, pero pueden no ser capaces de adaptarse a la falta de una raíz en cero, lo que descarta el uso de polinomios de Chebyshev estándar para este tipo de aplicaciones. Incluso los diseños de filtros de Chebyshev de orden que utilizan redes pasivas igualmente terminadas son un ejemplo de esto. ^[23] Sin embargo, los polinomios de Chebyshev de orden uniforme pueden modificarse para mover las raíces más bajas hasta cero mientras se mantiene el efecto de ondulación equitativa de Chebyshev deseado. Estos polinomios modificados contienen dos raíces en cero y pueden denominarse polinomios de Chebyshev modificados de orden uniforme. Los polinomios de Chebyshev modificados de orden uniforme pueden crearse a partir de los nodos de Chebyshev de la misma manera que los polinomios de Chebyshev estándar. $${\displaystyle P_{N}=\prod _{i=1}^{N}(x-C_{i})}$$

dónde

• ${\displaystyle P_{N}}$es un polinomio de Chebyshev de orden N
• ${\displaystyle C_{i}}$es el i -ésimo nodo de Chebyshev

En el caso de polinomios de Chebyshev modificados de orden par, los nodos de Chebyshev modificados de orden par se utilizan para construir los polinomios de Chebyshev modificados de orden par. $${\displaystyle Pe_{N}=\prod _{i=1}^{N}(x-Ce_{i})}$$

dónde

• ${\displaystyle Pe_{N}}$es un polinomio de Chebyshev modificado de orden par de orden N
• ${\displaystyle Ce_{i}}$es el i -ésimo nodo de Chebyshev modificado de orden par

Por ejemplo, el polinomio de Chebyshev de cuarto orden del ejemplo anterior es , que, por inspección, no contiene raíces de cero. La creación del polinomio a partir de los nodos de Chebyshev modificados de orden par crea un polinomio de Chebyshev modificado de cuarto orden de orden par de , que, por inspección, contiene dos raíces en cero y se puede utilizar en aplicaciones que requieren raíces en cero. ${\displaystyle X^{4}-X^{2}+.125}$ ${\displaystyle X^{4}-.828427X^{2}}$

Véase también

• Portal de matemáticas

• Filtro de Chebyshev
• Raíz cúbica de Chebyshev
• Polinomios de Dickson
• Polinomios de Legendre
• Polinomios de Laguerre
• Polinomios de Hermite
• Polinomio mínimo de 2cos(2pi/n)
• Polinomios de Romanovski
• Funciones racionales de Chebyshev
• Teoría de aproximación
• Aproximación de funciones
• El sistema Chebfun
• Transformada de Chebyshev discreta
• Desigualdad de los hermanos Markov
• Algoritmo de Clenshaw

Referencias

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Fuentes

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Enlaces externos

• Medios relacionados con Polinomios de Chebyshev en Wikimedia Commons
• Weisstein, Eric W. "Polinomio[s] de Chebyshev del primer tipo". MathWorld .
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• "Evaluación del polinomio de Chebyshev y la transformada de Chebyshev". Boost . Matemáticas.