Coeficiente de variación

Statistical parameter

En teoría de probabilidad y estadística , el coeficiente de variación ( CV ), también conocido como desviación cuadrática media normalizada (NRMSD) , porcentaje RMS y desviación estándar relativa ( RSD ), es una medida estandarizada de dispersión de una distribución de probabilidad o distribución de frecuencias . Se define como la relación entre la desviación estándar y la media (o su valor absoluto ) y, a menudo , se expresa como porcentaje ("%RSD"). El CV o RSD se usa ampliamente en química analítica para expresar la precisión y repetibilidad de un ensayo . También se utiliza comúnmente en campos como la ingeniería o la física cuando se realizan estudios de garantía de calidad y R&R de calibre ANOVA , ^{[ cita requerida ]} por economistas e inversores en modelos económicos y en psicología / neurociencia . ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle |\mu |}$

Definición

El coeficiente de variación (CV) se define como la relación entre la desviación estándar y la media , ^[1] ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle CV={\frac {\sigma }{\mu }}.}$

Muestra el grado de variabilidad en relación con la media de la población. El coeficiente de variación debe calcularse sólo para datos medidos en escalas que tienen un cero significativo ( escala de razón ) y, por lo tanto, permiten la comparación relativa de dos mediciones (es decir, la división de una medición por la otra). El coeficiente de variación puede no tener ningún significado para los datos en una escala de intervalo . ^[2] Por ejemplo, la mayoría de las escalas de temperatura (por ejemplo, Celsius, Fahrenheit, etc.) son escalas de intervalo con ceros arbitrarios, por lo que el coeficiente de variación calculado sería diferente dependiendo de la escala utilizada. Por otro lado, la temperatura Kelvin tiene un valor cero significativo, la ausencia total de energía térmica y, por tanto, es una escala de relación. En lenguaje sencillo, tiene sentido decir que 20 Kelvin es el doble de caliente que 10 Kelvin, pero sólo en esta escala con un verdadero cero absoluto. Si bien una desviación estándar (SD) se puede medir en Kelvin, Celsius o Fahrenheit, el valor calculado solo es aplicable a esa escala. Sólo se puede utilizar la escala Kelvin para calcular un coeficiente de variabilidad válido.

Las mediciones que tienen una distribución logarítmica normal exhiben un CV estacionario; por el contrario, la DE varía según el valor esperado de las mediciones.

Una posibilidad más sólida es el coeficiente de dispersión del cuartil , la mitad del rango intercuartil dividido por el promedio de los cuartiles (la bisagra media ) . ${\displaystyle {(Q_{3}-Q_{1})/2}}$ ${\displaystyle {(Q_{1}+Q_{3})/2}}$

En la mayoría de los casos, un CV se calcula para una sola variable independiente (por ejemplo, un solo producto de fábrica) con numerosas medidas repetidas de una variable dependiente (por ejemplo, error en el proceso de producción). Sin embargo, los datos que son lineales o incluso logarítmicamente no lineales e incluyen un rango continuo para la variable independiente con mediciones dispersas en cada valor (por ejemplo, diagrama de dispersión) pueden ser susceptibles de cálculo de CV único utilizando un enfoque de estimación de máxima verosimilitud . ^[3]

Ejemplos

En los ejemplos siguientes, tomaremos los valores dados como elegidos aleatoriamente de una población mayor de valores .

• El conjunto de datos [100, 100, 100] tiene valores constantes. Su desviación estándar es 0 y el promedio es 100, lo que da como resultado un coeficiente de variación de 0/100 = 0.
• El conjunto de datos [90, 100, 110] tiene más variabilidad. Su desviación estándar es 10 y su promedio es 100, lo que da como resultado un coeficiente de variación de 10/100 = 0,1.
• El conjunto de datos [1, 5, 6, 8, 10, 40, 65, 88] tiene aún más variabilidad. Su desviación estándar es 32,9 y su media es 27,9, dando un coeficiente de variación de 32,9/27,9 = 1,18

En estos ejemplos, tomaremos los valores dados como la población completa de valores .

• El conjunto de datos [100, 100, 100] tiene una desviación estándar poblacional de 0 y un coeficiente de variación de 0/100 = 0.
• El conjunto de datos [90, 100, 110] tiene una desviación estándar poblacional de 8,16 y un coeficiente de variación de 8,16/100 = 0,0816.
• El conjunto de datos [1, 5, 6, 8, 10, 40, 65, 88] tiene una desviación estándar poblacional de 30,8 y un coeficiente de variación de 30,8/27,9 = 1,10.

Estimacion

Cuando solo se dispone de una muestra de datos de una población, el CV de la población se puede estimar utilizando la relación entre la desviación estándar de la muestra y la media de la muestra : ${\displaystyle s\,}$ ${\displaystyle {\bar {x}}}$

${\displaystyle {\widehat {c_{\rm {v}}}}={\frac {s}{\bar {x}}}}$

Pero este estimador, cuando se aplica a una muestra pequeña o de tamaño moderado, tiende a ser demasiado bajo: es un estimador sesgado . Para datos distribuidos normalmente , un estimador insesgado ^[4] para una muestra de tamaño n es:

${\displaystyle {\widehat {c_{\rm {v}}}}^{*}={\bigg (}1+{\frac {1}{4n}}{\bigg )}{\widehat {c_{\rm {v}}}}}$

Datos log-normales

Muchos conjuntos de datos siguen una distribución aproximadamente log-normal. ^[5] En tales casos, una estimación más precisa, derivada de las propiedades de la distribución log-normal , ^{[6] [7] [8]} se define como:

${\displaystyle {\widehat {cv}}_{\rm {raw}}={\sqrt {\mathrm {e} ^{s_{\ln }^{2}}-1}}}$

¿Dónde está la desviación estándar muestral de los datos después de una transformación logarítmica natural ? (En el caso de que las mediciones se registren utilizando cualquier otra base logarítmica, b, su desviación estándar se convierte a base e usando y la fórmula sigue siendo la misma. ^[9] ) Esta estimación a veces se denomina "CV geométrico". (GCV) ^{[10] [11]} para distinguirlo de la estimación simple anterior. Sin embargo, Kirkwood ^[12] también ha definido el "coeficiente geométrico de variación" como: ${\displaystyle {s_{\ln }}\,}$ ${\displaystyle s_{b}\,}$ ${\displaystyle s_{\ln }=s_{b}\ln(b)\,}$ ${\displaystyle {\widehat {cv}}_{\rm {raw}}\,}$

${\displaystyle \mathrm {GCV_{K}} ={\mathrm {e} ^{s_{\ln }}\!\!-1}}$

Este término pretendía ser análogo al coeficiente de variación, para describir la variación multiplicativa en datos log-normales, pero esta definición de GCV no tiene base teórica como estimación de sí misma. ${\displaystyle c_{\rm {v}}\,}$

Para muchos propósitos prácticos (como la determinación del tamaño de la muestra y el cálculo de intervalos de confianza ), es el más útil en el contexto de datos distribuidos logarítmicamente normales. Si es necesario, esto se puede derivar de una estimación de GCV invirtiendo la fórmula correspondiente. ${\displaystyle s_{ln}\,}$ ${\displaystyle c_{\rm {v}}\,}$

Comparación con la desviación estándar

Ventajas

El coeficiente de variación es útil porque la desviación estándar de los datos siempre debe entenderse en el contexto de la media de los datos. En cambio, el valor real del CV es independiente de la unidad en la que se ha tomado la medida, por lo que es un número adimensional . Para comparar conjuntos de datos con diferentes unidades o medias muy diferentes, se debe utilizar el coeficiente de variación en lugar de la desviación estándar.

Desventajas

• Cuando el valor medio es cercano a cero, el coeficiente de variación se acercará al infinito y, por tanto, es sensible a pequeños cambios en la media. Este suele ser el caso si los valores no se originan en una escala de razón.
• A diferencia de la desviación estándar, no se puede utilizar directamente para construir intervalos de confianza para la media.

Aplicaciones

El coeficiente de variación también es común en campos de probabilidad aplicada como la teoría de la renovación , la teoría de colas y la teoría de la confiabilidad . En estos campos, la distribución exponencial suele ser más importante que la distribución normal . La desviación estándar de una distribución exponencial es igual a su media, por lo que su coeficiente de variación es igual a 1. Las distribuciones con CV < 1 (como una distribución de Erlang ) se consideran de baja varianza, mientras que aquellas con CV > 1 (como una distribución hiperexponencial ) se consideran de alta varianza ^{[ cita necesaria ]} . Algunas fórmulas en estos campos se expresan utilizando el coeficiente de variación al cuadrado , a menudo abreviado SCV. En modelado, una variación del CV es el CV (RMSD). Básicamente, el CV (RMSD) reemplaza el término de desviación estándar con la desviación cuadrática media (RMSD) . Si bien muchos procesos naturales muestran una correlación entre el valor promedio y la cantidad de variación a su alrededor, los dispositivos sensores precisos deben diseñarse de tal manera que el coeficiente de variación sea cercano a cero, es decir, que produzca un error absoluto constante sobre su valor promedio. Rango de trabajo.

En ciencia actuarial , el CV se conoce como riesgo unitario . ^[13]

En el procesamiento de sólidos industriales, el CV es particularmente importante para medir el grado de homogeneidad de una mezcla de polvo. Comparar el CV calculado con una especificación permitirá definir si se ha alcanzado un grado suficiente de mezcla. ^[14]

En dinámica de fluidos , el CV , también conocido como porcentaje RMS , %RMS , %RMS de uniformidad o velocidad RMS , es una determinación útil de la uniformidad del flujo para procesos industriales. El término se utiliza ampliamente en el diseño de equipos de control de la contaminación, como precipitadores electrostáticos (ESP), ^[15] reducción catalítica selectiva (SCR), depuradores y dispositivos similares. El Instituto de Empresas de Aire Limpio (ICAC) hace referencia a la desviación RMS de la velocidad en el diseño de filtros de tela (documento ICAC F-7). ^[16] El principio rector es que muchos de estos dispositivos de control de la contaminación requieren un "flujo uniforme" que entra y atraviesa la zona de control. Esto puede estar relacionado con la uniformidad del perfil de velocidad, la distribución de la temperatura, las especies de gas (como el amoníaco para un SCR o la inyección de carbón activado para la absorción de mercurio) y otros parámetros relacionados con el flujo. El porcentaje RMS también se utiliza para evaluar la uniformidad del flujo en sistemas de combustión, sistemas HVAC, conductos, entradas a ventiladores y filtros, unidades de tratamiento de aire, etc., donde el rendimiento del equipo está influenciado por la distribución del flujo entrante.

Medidas de laboratorio de CV intraensayo e interensayo.

Las medidas CV se utilizan a menudo como controles de calidad para ensayos cuantitativos de laboratorio . Si bien se puede suponer que los CV intraensayo e interensayo se calculan simplemente promediando los valores de CV entre los valores de CV para múltiples muestras dentro de un ensayo o promediando múltiples estimaciones de CV entre ensayos, se ha sugerido que estas prácticas son incorrectas y que Se requiere un proceso computacional más complejo. ^[17] También se ha observado que los valores de CV no son un índice ideal de la certeza de una medición cuando el número de réplicas varía entre las muestras; en este caso, se sugiere que el error estándar en porcentaje es superior. ^[18] Si las mediciones no tienen un punto cero natural, entonces el CV no es una medición válida y se recomiendan medidas alternativas como el coeficiente de correlación intraclase . ^[19]

Como medida de la desigualdad económica

El coeficiente de variación cumple los requisitos para una medida de desigualdad económica . ^{[20] [21] [22]} Si x (con entradas x _i ) es una lista de los valores de un indicador económico (por ejemplo, riqueza), siendo x _i la riqueza del agente i , entonces se cumplen los siguientes requisitos:

• Anonimato: c _v es independiente del orden de la lista x . Esto se desprende del hecho de que la varianza y la media son independientes del orden de x .
• Invariancia de escala: c _v ( x ) = c _v (α x ) donde α es un número real. ^[22]
• Independencia de la población: si { x , x } es la lista x agregada a sí misma, entonces c _v ({ x , x }) = c _v ( x ). Esto se desprende del hecho de que tanto la varianza como la media obedecen a este principio.
• Principio de transferencia de Pigou-Dalton: cuando la riqueza se transfiere de un agente más rico i a un agente más pobre j (es decir, x _i  >  x _j ) sin alterar su rango, entonces c _v disminuye y viceversa. ^[22]

c _v asume su valor mínimo de cero para una igualdad completa (todos x _i son iguales). ^[22] Su inconveniente más notable es que no está limitado desde arriba, por lo que no se puede normalizar para que esté dentro de un rango fijo (por ejemplo, como el coeficiente de Gini , que está restringido a estar entre 0 y 1). ^[22] Sin embargo, es más manejable matemáticamente que el coeficiente de Gini.

Como medida de estandarización de los artefactos arqueológicos

Los arqueólogos suelen utilizar valores de CV para comparar el grado de estandarización de los artefactos antiguos. ^{[23] [24]} Se ha interpretado que la variación en los CV indica diferentes contextos de transmisión cultural para la adopción de nuevas tecnologías. ^[25] Los coeficientes de variación también se han utilizado para investigar la estandarización de la cerámica relacionada con los cambios en la organización social. ^[26] Los arqueólogos también utilizan varios métodos para comparar valores de CV, por ejemplo, la prueba de índice de verosimilitud con signo modificado (MSLR) para la igualdad de CV. ^{[27] [28]}

Ejemplos de mal uso

Comparar coeficientes de variación entre parámetros utilizando unidades relativas puede dar como resultado diferencias que pueden no ser reales. Si comparamos el mismo conjunto de temperaturas en Celsius y Fahrenheit (ambas unidades relativas, donde kelvin y la escala Rankine son sus valores absolutos asociados):

Celsius: [0, 10, 20, 30, 40]

Fahrenheit: [32, 50, 68, 86, 104]

Las desviaciones estándar muestrales son 15,81 y 28,46, respectivamente. El CV del primer set es 15,81/20 = 79%. Para el segundo conjunto (que son las mismas temperaturas) es 28,46/68 = 42%.

Si, por ejemplo, los conjuntos de datos son lecturas de temperatura de dos sensores diferentes (un sensor Celsius y un sensor Fahrenheit) y desea saber qué sensor es mejor eligiendo el que tiene la menor variación, entonces será engañado si usa CV. El problema aquí es que has dividido por un valor relativo en lugar de absoluto.

Comparando el mismo conjunto de datos, ahora en unidades absolutas:

Kelvin: [273,15, 283,15, 293,15, 303,15, 313,15]

Rankine: [491,67, 509,67, 527,67, 545,67, 563,67]

Las desviaciones estándar de la muestra siguen siendo 15,81 y 28,46, respectivamente, porque la desviación estándar no se ve afectada por un desplazamiento constante. Sin embargo, los coeficientes de variación ahora son ambos iguales al 5,39%.

Matemáticamente hablando, el coeficiente de variación no es del todo lineal. Es decir, para una variable aleatoria , el coeficiente de variación de es igual al coeficiente de variación de sólo cuando . En el ejemplo anterior, Celsius solo se puede convertir a Fahrenheit mediante una transformación lineal de la forma con , mientras que Kelvins se puede convertir a Rankines mediante una transformación de la forma . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle aX+b}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle b=0}$ ${\displaystyle ax+b}$ ${\displaystyle b\neq 0}$ ${\displaystyle ax}$

Distribución

Siempre que los valores negativos y positivos pequeños de la media muestral ocurran con una frecuencia insignificante, Hendricks y Robey han demostrado que la distribución de probabilidad del coeficiente de variación para una muestra de tamaño de variables aleatorias normales iid es ^[29] ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle \mathrm {d} F_{c_{\rm {v}}}={\frac {2}{\pi ^{1/2}\Gamma {\left({\frac {n-1}{2}}\right)}}}\exp \left(-{\frac {n}{2\left({\frac {\sigma }{\mu }}\right)^{2}}}\cdot {\frac {{c_{\rm {v}}}^{2}}{1+{c_{\rm {v}}}^{2}}}\right){\frac {{c_{\rm {v}}}^{n-2}}{(1+{c_{\rm {v}}}^{2})^{n/2}}}\sideset {}{^{\prime }}\sum _{i=0}^{n-1}{\frac {(n-1)!\,\Gamma \left({\frac {n-i}{2}}\right)}{(n-1-i)!\,i!\,}}\cdot {\frac {n^{i/2}}{2^{i/2}\cdot \left({\frac {\sigma }{\mu }}\right)^{i}}}\cdot {\frac {1}{(1+{c_{\rm {v}}}^{2})^{i/2}}}\,\mathrm {d} c_{\rm {v}},}$$

donde el símbolo indica que la suma es sólo sobre valores pares de , es decir, si es impar, suma sobre valores pares de y si es par, suma sólo sobre valores impares de . ${\textstyle \sideset {}{^{\prime }}\sum }$ ${\displaystyle n-1-i}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle i}$

Esto es útil, por ejemplo, en la construcción de pruebas de hipótesis o intervalos de confianza . La inferencia estadística del coeficiente de variación en datos distribuidos normalmente se basa a menudo en la aproximación chi-cuadrado de McKay para el coeficiente de variación. ^{[30] [31] [32] [33] [34] [35]} Métodos para

Alternativa

Liu (2012) revisa métodos para la construcción de un intervalo de confianza para el coeficiente de variación. ^[36] En particular, Lehmann (1986) derivó la distribución muestral para el coeficiente de variación utilizando una distribución t no central para dar un método exacto para la construcción del IC. ^[37]

Proporciones similares

Los momentos estandarizados son relaciones similares, donde es el k ^-ésimo momento con respecto a la media, que también son adimensionales e invariantes de escala. La relación varianza-media , , es otra relación similar, pero no es adimensional y, por lo tanto, no es invariante de escala. Consulte Normalización (estadísticas) para conocer más proporciones. ${\displaystyle {\mu _{k}}/{\sigma ^{k}}}$ ${\displaystyle \mu _{k}}$ ${\displaystyle \sigma ^{2}/\mu }$

En el procesamiento de señales , particularmente en el procesamiento de imágenes , la relación recíproca (o su cuadrado) se conoce como relación señal-ruido en general y relación señal-ruido (imagen) en particular. ${\displaystyle \mu /\sigma }$

Otras proporciones relacionadas incluyen:

• Eficiencia , ${\displaystyle \sigma ^{2}/\mu ^{2}}$
• momento estandarizado , ${\displaystyle \mu _{k}/\sigma ^{k}}$
• Relación varianza-media (o varianza relativa), ${\displaystyle \sigma ^{2}/\mu }$
• Factor Fano , (VMR con ventana) ${\displaystyle \sigma _{W}^{2}/\mu _{W}}$

Ver también

• Relación de información
• relación omega
• Muestreo (estadísticas)
• función de varianza

Referencias

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enlaces externos

• cvequality: paquete R para probar diferencias significativas entre múltiples coeficientes de variación