Factor Fano

Concepto de estadística

En estadística , el factor Fano , ^[1] al igual que el coeficiente de variación , es una medida de la dispersión de un proceso de conteo . Originalmente se utilizaba para medir el ruido de Fano en los detectores de iones. Recibe su nombre en honor a Ugo Fano , un físico italoamericano.

El factor Fano después de un tiempo se define como ${\displaystyle t}$

${\displaystyle F(t)={\frac {\sigma _{t}^{2}}{\mu _{t}}},}$

donde es la desviación estándar y es el número medio de eventos de un proceso de conteo después de un tiempo determinado . El factor Fano puede considerarse como una especie de relación entre ruido y señal; es una medida de la fiabilidad con la que se puede estimar la variable aleatoria de tiempo de espera después de varios eventos aleatorios . ${\displaystyle \sigma _{t}}$ ${\displaystyle \mu _{t}}$ ${\displaystyle t}$

Para un proceso de conteo de Poisson , la varianza en el conteo es igual al conteo medio, por lo que . ${\displaystyle F=1}$

Definición

Para un proceso de conteo , el factor Fano después de un tiempo se define como, ${\displaystyle N_{t}}$ ${\displaystyle t>0}$

${\displaystyle F(t)={\frac {\operatorname {Var} (N_{t})}{\operatorname {E} [N_{t}]}}.}$

A veces, el límite a largo plazo también se denomina factor Fano.

${\displaystyle F=\lim _{t\to \infty }F(t).}$

Para un proceso de renovación con tiempos de retención distribuidos de manera similar a una variable aleatoria , tenemos que, ${\displaystyle S}$

${\displaystyle F=\lim _{t\to \infty }F(t)=\lim _{t\to \infty }{\frac {\operatorname {Var} (N_{t})}{\operatorname {E} [N_{t}]}}={\frac {\operatorname {Var} (S)}{\operatorname {E} [S]^{2}}}.}$^[2]

Dado que tenemos que el lado derecho es igual al cuadrado del coeficiente de variación , el lado derecho de esta ecuación a veces también se denomina factor de Fano. ^[3] ${\displaystyle c_{v}^{2}=\operatorname {Var} (S)/\operatorname {E} [S]^{2}}$

Interpretación

Cuando se considera como la dispersión del número, el factor Fano corresponde aproximadamente al ancho del pico de . Como tal, el factor Fano se interpreta a menudo como la imprevisibilidad del proceso subyacente. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle N_{t}}$

Ejemplo: Variable aleatoria constante

Cuando los tiempos de retención son constantes, entonces . Por lo tanto, si interpretamos el proceso de renovación como muy predecible. ${\displaystyle F=0}$ ${\displaystyle F\approx 0}$

Ejemplo: Proceso de conteo de Poisson

Cuando la probabilidad de que un evento ocurra en cualquier intervalo de tiempo es igual para todo el tiempo, entonces los tiempos de retención deben distribuirse exponencialmente, dando un proceso de conteo de Poisson , para el cual . ${\displaystyle F=1}$

Uso en detección de partículas

En los detectores de partículas , el factor Fano resulta de la pérdida de energía en una colisión que no es puramente estadística. El proceso que da lugar a cada portador de carga individual no es independiente, ya que el número de formas en que un átomo puede ionizarse está limitado por las capas discretas de electrones. El resultado neto es una mejor resolución de energía que la predicha por consideraciones puramente estadísticas. Por ejemplo, si w es la energía promedio de una partícula para producir un portador de carga en un detector, entonces la resolución FWHM relativa para medir la energía de la partícula E es: ^[4]

${\displaystyle R={\frac {\mathrm {FWHM} }{\mu }}=2.35{\sqrt {\frac {Fw}{E}}},}$

donde el factor de 2,35 relaciona la desviación estándar con el FWHM.

El factor Fano es específico del material. Algunos valores teóricos son: ^[5]

Medir el factor Fano es difícil porque muchos factores contribuyen a la resolución, pero algunos valores experimentales son:

Uso en neurociencia

El factor Fano se utiliza en neurociencia para describir la variabilidad en la activación neuronal. ^[12] En este contexto, los eventos son los eventos de activación neuronal y los tiempos de espera son los intervalos entre activaciones (ISI). A menudo, se utiliza la definición límite del factor Fano, para la cual,

${\displaystyle F=\lim _{t\to \infty }{\frac {\operatorname {Var} (N_{t})}{\operatorname {E} [N_{t}]}}={\frac {\operatorname {Var} (ISI)}{(\operatorname {E} [ISI])^{2}}}=CV^{2},}$

donde es el coeficiente de variación del ISI. ${\displaystyle CV}$

Se ha descubierto que algunas neuronas tienen distribuciones ISI variables, lo que significa que el proceso de conteo ya no es un proceso de renovación. En cambio, se utiliza un proceso de renovación de Markov. En el caso de que tengamos solo dos estados de Markov con probabilidades de transición iguales , tenemos que el límite anterior converge nuevamente, ^[13] donde representa la media del ISI del estado correspondiente. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle F=2{\frac {CV_{2}^{2}\mu _{1}^{2}+CV_{1}^{2}\mu _{2}^{2}}{(\mu _{1}+\mu _{2})^{2}}}+\left({\frac {1}{p}}-1\right){\frac {(\mu _{1}-\mu _{2})^{2}}{(\mu _{1}+\mu _{2})^{2}}},}$ ${\displaystyle \mu }$

Si bien la mayoría de los trabajos suponen un factor Fano constante, trabajos recientes han considerado neuronas con factores Fano no constantes. ^[14] En este caso, se encontró que se pueden lograr factores Fano no constantes introduciendo tanto ruido como no linealidad en la tasa del proceso de Poisson subyacente.

Véase también

• Ruido de Fano
• Índice de dispersión : equivalente al factor Fano para una ventana de tiempo infinita.
• Ugo Fano

Referencias

1. Fano, U. (1947). "Rendimiento de ionización de las radiaciones. II. Las fluctuaciones del número de iones". Physical Review . 72 (1): 26–29. Bibcode :1947PhRv...72...26F. doi :10.1103/PhysRev.72.26.
2. Cox, DR (1962). Teoría de la renovación .
3. Shuai, JW; Zeng, S.; Jung, P. (2002). "Resonancia de coherencia: sobre el uso y abuso del factor fano". Fluct. Noise Lett . 02 (3): L139–L146. doi :10.1142/S0219477502000749.
4. Leo, WR (1987). Técnicas para experimentos de física nuclear y de partículas: un enfoque práctico . Springer-Verlag. págs. 109-125. ISBN. 978-3-540-17386-1.
5. Alig, R.; Bloom, S.; Struck, C. (1980). "Dispersión por ionización y emisión de fonones en semiconductores". Physical Review B . 22 (12): 5565. Bibcode :1980PhRvB..22.5565A. doi :10.1103/PhysRevB.22.5565.
6. HR Bilger Revista de Física 163, 238 (1967)
7. G. Bertuccio, D. Maiocchi J. Appl. Phys., 92 (2002), pág. 1248
8. Kotov, IV; Neal, H.; O'Connor, P. (1 de septiembre de 2018). "Energía de creación de pares y factor Fano del silicio medidos a 185 K usando rayos X de 55Fe". Instrumentos y métodos nucleares en la investigación en física Sección A: aceleradores, espectrómetros, detectores y equipos asociados . 901 : 126–132. doi : 10.1016/j.nima.2018.06.022 . ISSN  0168-9002.
9. Kase, M.; Akioka, T.; Mamyoda, H.; Kikuchi, J.; Doke, T. (1984). "Factor Fano en argón puro". Instrumentos y métodos nucleares en la investigación en física Sección A: Aceleradores, espectrómetros, detectores y equipos asociados . 227 (2): 311. Bibcode :1984NIMPA.227..311K. doi :10.1016/0168-9002(84)90139-6.
10. Do Carmo, SJC; Borges, FIGM; Vinagre, FLR; Conde, CAN (2008). "Estudio experimental de los valores α y los factores Fano de mezclas gaseosas de xenón y Ar-Xe para rayos X". IEEE Transactions on Nuclear Science . 55 (5): 2637. Bibcode :2008ITNS...55.2637D. doi :10.1109/TNS.2008.2003075. S2CID  43581597. ${\displaystyle w}$
11. Redus, RH; Pantazis, JA; Huber, AC; Jordanov, VT; Mayordomo, JF; Apotovsky, B. (2011). "Determinación del factor Fano para CZT". Procedimientos MRS . 487 . doi :10.1557/PROC-487-101.
12. Dayan, Peter; Abbott, LF (2001). Neurociencia teórica .
13. Ball, F.; Milne, RK (2005). "Derivaciones simples de propiedades de procesos de conteo asociados con procesos de renovación de Markov". {{cite journal}}: Requiere citar revista |journal=( ayuda )
14. Charles, Adam S.; Park; Weller; Horwitz; Pillow (2018). "Destronar al factor Fano: un enfoque flexible basado en modelos para dividir la variabilidad neuronal". Computación neuronal . 30 (4): 1012–1045. doi :10.1162/neco_a_01062. PMC 6558056 . PMID  29381442.