En el campo matemático de la teoría descriptiva de conjuntos , una clase de puntos es una colección de conjuntos de puntos , donde un punto se entiende comúnmente como un elemento de algún espacio polaco perfecto . En la práctica, una clase de puntos suele caracterizarse por algún tipo de propiedad de definibilidad ; por ejemplo, la colección de todos los conjuntos abiertos en alguna colección fija de espacios polacos es una clase de puntos. (Un conjunto abierto puede verse como definible en cierto sentido porque no puede ser una colección puramente arbitraria de puntos; para cualquier punto en el conjunto, todos los puntos suficientemente cercanos a ese punto también deben estar en el conjunto).
Las clases puntuales se utilizan para formular muchos principios y teoremas importantes de la teoría de conjuntos y el análisis real . Los principios sólidos de la teoría de conjuntos se pueden enunciar en términos de la determinación de varias clases puntuales, lo que a su vez implica que los conjuntos en esas clases puntuales (o a veces en otras más grandes) tienen propiedades de regularidad como la mensurabilidad de Lebesgue (y, de hecho , la mensurabilidad universal ), la propiedad de Baire y la propiedad del conjunto perfecto .
En la práctica, los teóricos de conjuntos descriptivos a menudo simplifican las cosas trabajando en un espacio polaco fijo como el espacio de Baire o, a veces , el espacio de Cantor , cada uno de los cuales tiene la ventaja de ser de dimensión cero y, de hecho, homeomorfo a sus potencias finitas o contables , de modo que nunca surgen consideraciones de dimensionalidad. Yiannis Moschovakis proporciona una mayor generalidad al fijar de una vez por todas una colección de espacios polacos subyacentes, incluido el conjunto de todos los naturales, el conjunto de todos los reales, el espacio de Baire y el espacio de Cantor, y al permitir que el lector agregue cualquier espacio polaco perfecto deseado. Luego define un espacio de producto como cualquier producto cartesiano finito de estos espacios subyacentes. Entonces, por ejemplo, la clase puntual de todos los conjuntos abiertos significa la colección de todos los subconjuntos abiertos de uno de estos espacios de producto. Este enfoque evita que sea una clase adecuada , al tiempo que evita una especificidad excesiva en cuanto a los espacios polacos particulares que se están considerando (dado que el enfoque está en el hecho de que es la colección de conjuntos abiertos, no en los espacios en sí mismos).
Las clases de puntos en la jerarquía de Borel , y en la jerarquía proyectiva más compleja , se representan mediante letras griegas en subíndice y superíndice en negrita ; por ejemplo, es la clase de puntos de todos los conjuntos cerrados , es la clase de puntos de todos los conjuntos F σ , es la colección de todos los conjuntos que son simultáneamente F σ y G δ , y es la clase de puntos de todos los conjuntos analíticos .
Los conjuntos en tales pointclasses necesitan ser "definibles" solo hasta un punto. Por ejemplo, cada conjunto singleton en un espacio polaco es cerrado y, por lo tanto , . Por lo tanto, no puede ser que cada conjunto deba ser "más definible" que un elemento arbitrario de un espacio polaco (por ejemplo, un número real arbitrario o una secuencia contable arbitraria de números naturales). Las pointclasses en negrita, sin embargo, pueden (y en la práctica normalmente lo hacen) requerir que los conjuntos en la clase sean definibles en relación con algún número real, tomado como un oráculo . En ese sentido, la pertenencia a una pointclass en negrita es una propiedad de definibilidad, aunque no es definibilidad absoluta, sino solo definibilidad con respecto a un número real posiblemente indefinible.
Las clases puntuales en negrita, o al menos las que se consideran habitualmente, están cerradas bajo la reducibilidad de Wadge ; es decir, dado un conjunto en la clase puntual, su imagen inversa bajo una función continua (de un espacio de producto al espacio del cual el conjunto dado es un subconjunto) también está en la clase puntual dada. Por lo tanto, una clase puntual en negrita es una unión cerrada hacia abajo de grados de Wadge .
Las jerarquías de Borel y proyectivas tienen análogos en la teoría de conjuntos descriptivos efectivos en la que la propiedad de definibilidad ya no se relativiza a un oráculo, sino que se vuelve absoluta. Por ejemplo, si uno fija alguna colección de vecindades abiertas básicas (digamos, en el espacio de Baire, la colección de conjuntos de la forma { x ∈ω ω s es un segmento inicial de x } para cada secuencia finita fija s de números naturales), entonces los conjuntos abiertos, o , pueden caracterizarse como todas las uniones (arbitrarias) de vecindades abiertas básicas. Los conjuntos análogos, con una cara clara , ya no son uniones arbitrarias de tales vecindades, sino uniones computables de ellas. Es decir, un conjunto es cara clara , también llamado efectivamente abierto , si hay un conjunto computable S de secuencias finitas de naturales tales que el conjunto dado es la unión de los conjuntos { x ∈ω ω s es un segmento inicial de x } para s en S .
Un conjunto es lightface si es el complemento de un conjunto. Por lo tanto, cada conjunto tiene al menos un índice , que describe la función computable que enumera los conjuntos abiertos básicos de los que está compuesto; de hecho, tendrá infinitos índices de este tipo. De manera similar, un índice para un conjunto B describe la función computable que enumera los conjuntos abiertos básicos en el complemento de B .
Un conjunto A es lightface si es una unión de una secuencia computable de conjuntos (es decir, existe una enumeración computable de índices de conjuntos tales que A es la unión de estos conjuntos). Esta relación entre los conjuntos lightface y sus índices se utiliza para extender la jerarquía de Borel lightface al transfinito, a través de ordinales recursivos . Esto produce la jerarquía hiperaritmética , que es el análogo lightface de la jerarquía de Borel. (Los niveles finitos de la jerarquía hiperaritmética se conocen como la jerarquía aritmética ).
Se puede aplicar un tratamiento similar a la jerarquía proyectiva. Su análogo en la cara luminosa se conoce como jerarquía analítica .
Cada clase es al menos tan grande como las clases superiores.
