En geometría , un chiliagon ( / ˈ k ɪ l i ə ɡ ɒ n / ) o 1000-gon es un polígono con 1000 lados. Los filósofos suelen referirse a los chiliagons para ilustrar ideas sobre la naturaleza y el funcionamiento del pensamiento, el significado y la representación mental.
Un chiliagon regular está representado por el símbolo de Schläfli {1000} y se puede construir como un gon 500 truncado , t{500}, o un gon 250 dos veces truncado, tt{250}, o un gon 125 tres veces truncado, ttt{125}.
La medida de cada ángulo interno en un chiliagon regular es 179°38'24"/ rad. El área de un chiliagon regular con lados de longitud a está dada por
Este resultado difiere del área de su círculo circunscrito en menos de 4 partes por millón .
Como 1000 = 2 3 × 5 3 , el número de lados no es un producto de números primos de Fermat distintos ni una potencia de dos. Por tanto, el chiliagon regular no es un polígono construible . De hecho, ni siquiera es construible con el uso de un trisector de ángulos, ya que el número de lados no es producto de números primos de Pierpont distintos , ni producto de potencias de dos y tres. Por tanto, la construcción de un quiliágono requiere de otras técnicas como la cuadratriz de Hipias , la espiral de Arquímedes u otras curvas auxiliares. Por ejemplo, primero se puede construir un ángulo de 9° con compás y regla, que luego se puede quintisectar (dividir en cinco partes iguales) dos veces usando una curva auxiliar para producir el ángulo interno de 21'36" requerido.
René Descartes utiliza el chiliagon como ejemplo en su Sexta Meditación para demostrar la diferencia entre intelección pura e imaginación. Dice que, cuando uno piensa en un quiliágono, "no imagina los mil lados ni los ve como si estuvieran presentes" delante de él, como lo hace cuando uno imagina un triángulo, por ejemplo. La imaginación construye una "representación confusa", que no es diferente de la que construye de un miriágono (un polígono de diez mil lados). Sin embargo, entiende claramente qué es un quiliágono, al igual que entiende qué es un triángulo, y es capaz de distinguirlo de un miriágono. Por lo tanto, el intelecto no depende de la imaginación, afirma Descartes, ya que es capaz de albergar ideas claras y distintas cuando la imaginación no puede hacerlo. [1] El filósofo Pierre Gassendi , contemporáneo de Descartes, fue crítico con esta interpretación, creyendo que si bien Descartes podía imaginar un chiliagon, no podía comprenderlo: se podía "percibir que la palabra 'chiliagon' significa una figura con mil ángulos [pero] ese es simplemente el significado del término, y no se sigue de ello que entiendas los mil ángulos de la figura mejor de lo que los imaginas." [2]
Otros filósofos también hacen referencia al ejemplo de un chiliagon. David Hume señala que es "imposible para el ojo determinar que los ángulos de un quiliágono sean iguales a 1,996 ángulos rectos, o hacer cualquier conjetura que se acerque a esta proporción". [3] Gottfried Leibniz comenta sobre el uso del chiliagon por John Locke , señalando que uno puede tener una idea del polígono sin tener una imagen del mismo, y así distingue ideas de imágenes. [4] Immanuel Kant se refiere en cambio al eneacontahexágono (96-gon), pero responde a la misma pregunta planteada por Descartes. [5]
Henri Poincaré utiliza el chiliagon como evidencia de que "la intuición no se basa necesariamente en la evidencia de los sentidos" porque "no podemos representarnos un chiliagon y, sin embargo, razonamos por intuición sobre polígonos en general, que incluyen el chiliagon como un particular caso." [6]
Inspirándose en el ejemplo del chiliagon de Descartes, Roderick Chisholm y otros filósofos del siglo XX han utilizado ejemplos similares para plantear puntos similares. La " gallina moteada " de Chisholm , que no necesita tener un número determinado de motas para ser imaginada con éxito, es quizás la más famosa de ellas. [7]
El quiliágono regular tiene simetría diédrica Dih 1000 , orden 2000, representada por 1000 líneas de reflexión. Dih 1000 tiene 15 subgrupos diédricos: Dih 500 , Dih 250 , Dih 125 , Dih 200 , Dih 100 , Dih 50 , Dih 25 , Dih 40 , Dih 20 , Dih 10 , Dih 5 , Dih 8 , Dih 4 , Dih 2 y Dih 1 . También tiene 16 simetrías cíclicas más como subgrupos: Z 1000 , Z 500 , Z 250 , Z 125 , Z 200 , Z 100 , Z 50 , Z 25 , Z 40 , Z 20 , Z 10 , Z 5 , Z 8 , Z. 4 , Z 2 y Z 1 , donde Z n representa la simetría rotacional en radianes π/ n .
John Conway etiqueta estas simetrías inferiores con una letra y el orden de la simetría sigue a la letra. [8] Da d (diagonal) con líneas especulares que pasan por los vértices, p con líneas especulares que pasan por los bordes (perpendicular), i con líneas especulares que pasan por los vértices y los bordes, y g para simetría rotacional. a1 no etiqueta simetría.
Estas simetrías inferiores permiten grados de libertad para definir quiliágonos irregulares. Sólo el subgrupo g1000 no tiene grados de libertad pero puede verse como aristas dirigidas .
Un chiliagrama es un polígono estelar de 1.000 lados . Hay 199 formas regulares [a] dadas por símbolos de Schläfli de la forma {1000/ n }, donde n es un número entero entre 2 y 500 que es coprimo de 1000. En los casos restantes también hay 300 figuras de estrellas regulares.
Por ejemplo, el polígono de estrella regular {1000/499} está construido por 1000 aristas casi radiales. Cada vértice de una estrella tiene un ángulo interno de 0,36 grados. [b]
