Simetría C

Simetría de las leyes físicas bajo una transformación de conjugación de carga

En física , la conjugación de cargas es una transformación que intercambia todas las partículas con sus antipartículas correspondientes , modificando así el signo de todas las cargas : no solo la carga eléctrica , sino también las cargas relevantes para otras fuerzas. El término C-simetría es una abreviatura de la frase "simetría de conjugación de cargas" y se utiliza en las discusiones sobre la simetría de las leyes físicas bajo la conjugación de cargas. Otras simetrías discretas importantes son la simetría P (paridad) y la simetría T (inversión temporal).

Estas simetrías discretas, C, P y T, son simetrías de las ecuaciones que describen las fuerzas fundamentales conocidas de la naturaleza: el electromagnetismo , la gravedad , las interacciones fuerte y débil . Verificar si una ecuación matemática dada modela correctamente la naturaleza requiere dar una interpretación física no solo a las simetrías continuas , como el movimiento en el tiempo, sino también a sus simetrías discretas , y luego determinar si la naturaleza se adhiere a estas simetrías. A diferencia de las simetrías continuas, la interpretación de las simetrías discretas es un poco más exigente intelectualmente y confusa. Una sorpresa temprana apareció en la década de 1950, cuando Chien Shiung Wu demostró que la interacción débil violaba la simetría P. Durante varias décadas, pareció que la simetría combinada CP se conservaba, hasta que se descubrieron interacciones que violaban CP . Ambos descubrimientos conducen a premios Nobel .

La simetría C es particularmente problemática, físicamente, ya que el universo está lleno principalmente de materia , no de antimateria , mientras que la simetría C ingenua de las leyes físicas sugiere que debería haber cantidades iguales de ambas. Actualmente se cree que la violación de CP durante el universo primitivo puede explicar el "exceso" de materia, aunque el debate no está resuelto. Los primeros libros de texto sobre cosmología , anteriores a la década de 1970, ^{[¿ cuáles? ]} sugerían rutinariamente que tal vez las galaxias distantes estaban hechas completamente de antimateria, manteniendo así un balance neto de cero en el universo.

Este artículo se centra en exponer y articular la simetría C de varias ecuaciones y sistemas teóricos importantes, incluida la ecuación de Dirac y la estructura de la teoría cuántica de campos . Las distintas partículas fundamentales se pueden clasificar según su comportamiento bajo conjugación de cargas; esto se describe en el artículo sobre la paridad C.

Visión general informal

La conjugación de cargas ocurre como una simetría en tres situaciones diferentes pero estrechamente relacionadas: una simetría de las soluciones (clásicas, no cuantizadas) de varias ecuaciones diferenciales notables, incluyendo la ecuación de Klein-Gordon y la ecuación de Dirac , una simetría de los campos cuánticos correspondientes y, en una situación general, una simetría en la geometría (pseudo) riemanniana . En los tres casos, la simetría se revela finalmente como una simetría bajo conjugación compleja , aunque a veces puede resultar confuso qué se está conjugando exactamente y dónde, dependiendo de la notación, las elecciones de coordenadas y otros factores.

En los campos clásicos

La simetría de conjugación de carga se interpreta como la de la carga eléctrica , porque en los tres casos (clásico, cuántico y geométrico), se pueden construir corrientes de Noether que se asemejan a las de la electrodinámica clásica . Esto surge porque la electrodinámica en sí, a través de las ecuaciones de Maxwell , se puede interpretar como una estructura en un haz de fibras U(1) , el llamado haz circular . Esto proporciona una interpretación geométrica del electromagnetismo: el potencial electromagnético se interpreta como la conexión de calibre (la conexión de Ehresmann ) en el haz circular. Esta interpretación geométrica permite entonces que (literalmente casi) cualquier cosa que posea una estructura con valor numérico complejo se acople al campo electromagnético, siempre que este acoplamiento se realice de forma invariante de calibre . La simetría de calibre, en este contexto geométrico, es una afirmación de que, a medida que uno se mueve alrededor del círculo, el objeto acoplado también debe transformarse de forma "circular", siguiendo el mismo camino. Más formalmente, se dice que las ecuaciones deben ser invariantes de calibre bajo un cambio de los marcos de coordenadas locales en el círculo. Para U(1), esto es simplemente la afirmación de que el sistema es invariante bajo la multiplicación por un factor de fase que depende de la coordenada (espacio-tiempo). En este contexto geométrico, la conjugación de carga puede entenderse como la simetría discreta que realiza una conjugación compleja, que invierte el sentido de dirección alrededor del círculo. ${\displaystyle A_{\mu }}$ ${\displaystyle e^{i\phi (x)}}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle z=(x+iy)\mapsto {\overline {z}}=(x-iy)}$

En la teoría cuántica

En la teoría cuántica de campos , la conjugación de cargas puede entenderse como el intercambio de partículas con antipartículas . Para entender esta afirmación, uno debe tener un conocimiento mínimo de lo que es la teoría cuántica de campos. En términos (muy) simplificados, es una técnica para realizar cálculos para obtener soluciones para un sistema de ecuaciones diferenciales acopladas mediante la teoría de perturbaciones . Un ingrediente clave de este proceso es el campo cuántico , uno para cada una de las ecuaciones diferenciales (libres, desacopladas) del sistema. Un campo cuántico se escribe convencionalmente como

${\displaystyle \psi (x)=\int d^{3}p\sum _{\sigma ,n}e^{-ip\cdot x}a\left({\vec {p}},\sigma ,n\right)u\left({\vec {p}},\sigma ,n\right)+e^{ip\cdot x}a^{\dagger }\left({\vec {p}},\sigma ,n\right)v\left({\vec {p}},\sigma ,n\right)}$

donde es el momento, es una etiqueta de espín, es una etiqueta auxiliar para otros estados en el sistema. y son operadores de creación y aniquilación ( operadores de escalera ) y son soluciones a la ecuación diferencial (libre, no interactuante, desacoplada) en cuestión. El campo cuántico juega un papel central porque, en general, no se sabe cómo obtener soluciones exactas al sistema de cuestiones diferenciales acopladas. Sin embargo, a través de la teoría de perturbaciones, se pueden construir soluciones aproximadas como combinaciones de las soluciones de campo libre. Para realizar esta construcción, uno tiene que ser capaz de extraer y trabajar con cualquier solución de campo libre dada, a demanda, cuando sea necesario. El campo cuántico proporciona exactamente esto: enumera todas las posibles soluciones de campo libre en un espacio vectorial de modo que cualquiera de ellas pueda ser singularizada en cualquier momento dado, a través de los operadores de creación y aniquilación. ${\displaystyle {\vec {p}}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a^{\dagger }}$ ${\displaystyle u,v}$

Los operadores de creación y aniquilación obedecen a las relaciones de conmutación canónicas , en las que un operador "deshace" lo que el otro "crea". Esto implica que cualquier solución dada debe emparejarse con su "antisolución" de modo que una deshaga o cancele a la otra. El emparejamiento debe realizarse de modo que se conserven todas las simetrías. Como generalmente uno está interesado en la invariancia de Lorentz , el campo cuántico contiene una integral sobre todos los posibles marcos de coordenadas de Lorentz, escrita anteriormente como una integral sobre todos los momentos posibles (es una integral sobre la fibra del haz de marcos ). El emparejamiento requiere que un dado esté asociado con un del momento y la energía opuestos. El campo cuántico también es una suma sobre todos los estados de espín posibles; el emparejamiento dual nuevamente hace coincidir espines opuestos. Del mismo modo, para cualquier otro número cuántico, estos también se emparejan como opuestos. Hay una dificultad técnica en llevar a cabo este emparejamiento dual: uno debe describir lo que significa que una solución dada sea "dual a" otra solución y describirla de tal manera que permanezca consistentemente dual al integrar sobre la fibra del haz del marco, al integrar (sumar) sobre la fibra que describe el espín, y al integrar (sumar) sobre cualquier otra fibra que ocurra en la teoría. ${\displaystyle u\left({\vec {p}},\sigma ,n\right)}$ ${\displaystyle v\left({\vec {p}},\sigma ,n\right)}$ ${\displaystyle u\left({\vec {p}}\right)}$ ${\displaystyle v\left({\vec {p}}\right)}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v,}$

Cuando la fibra sobre la que se va a integrar es la fibra U(1) del electromagnetismo, el emparejamiento dual es tal que la dirección (orientación) de la fibra se invierte. Cuando la fibra sobre la que se va a integrar es la fibra SU(3) de la carga de color , el emparejamiento dual vuelve a invertir la orientación. Esto "simplemente funciona" para SU(3) porque tiene dos representaciones fundamentales duales y que pueden emparejarse de forma natural. Esta prescripción para un campo cuántico se generaliza naturalmente a cualquier situación en la que se puedan enumerar las simetrías continuas del sistema y definir duales de una manera coherente y consistente. El emparejamiento une cargas opuestas en el sentido completamente abstracto. En física, una carga se asocia con un generador de una simetría continua. Diferentes cargas se asocian con diferentes espacios propios de los invariantes de Casimir del álgebra envolvente universal para esas simetrías. Este es el caso tanto de la simetría de Lorentz de la variedad espaciotemporal subyacente como de las simetrías de cualquier fibra en el haz de fibras situado encima de la variedad espaciotemporal. La dualidad reemplaza el generador de la simetría por menos el generador. La conjugación de carga se asocia, por tanto, con la reflexión a lo largo del haz lineal o del haz determinante del espacio de simetrías. ${\displaystyle \mathbf {3} }$ ${\displaystyle {\overline {\mathbf {3} }}}$

Lo anterior es, entonces, un esbozo de la idea general de un campo cuántico en la teoría cuántica de campos. La interpretación física es que las soluciones corresponden a partículas y las soluciones corresponden a antipartículas, y por lo tanto la conjugación de carga es un emparejamiento de las dos. Este esbozo también proporciona suficientes pistas para indicar cómo podría verse la conjugación de carga en un contexto geométrico general. No hay un requisito particular forzado para usar la teoría de perturbaciones, para construir campos cuánticos que actúen como intermediarios en una expansión perturbativa. La conjugación de carga puede tener un contexto general. ${\displaystyle u\left({\vec {p}},\sigma ,n\right)}$ ${\displaystyle v\left({\vec {p}},\sigma ,n\right)}$

En geometría

Para variedades generales de Riemann y pseudo-Riemann , se tiene un fibrado tangente , un fibrado cotangente y una métrica que une a los dos. Hay varias cosas interesantes que se pueden hacer cuando se presenta esta situación. Una es que la estructura suave permite plantear ecuaciones diferenciales en la variedad; los espacios tangente y cotangente proporcionan suficiente estructura para realizar cálculos en variedades . De interés clave es el Laplaciano y, con un término constante, lo que equivale al operador de Klein-Gordon. Los fibrados cotangentes, por su construcción básica, son siempre variedades simplécticas . Las variedades simplécticas tienen coordenadas canónicas interpretadas como posición y momento, que obedecen a relaciones de conmutación canónicas . Esto proporciona la infraestructura central para extender la dualidad, y por lo tanto la conjugación de carga, a este entorno general. ${\displaystyle x,p}$

Una segunda cosa interesante que se puede hacer es construir una estructura de espín . Quizás lo más notable de esto es que es una generalización muy reconocible a una variedad pseudo-riemanniana dimensional del concepto de física convencional de espinores que viven en un espacio-tiempo de Minkowski (1,3)-dimensional . La construcción pasa por un álgebra de Clifford complejizada para construir un fibrado de Clifford y una variedad de espín . Al final de esta construcción, se obtiene un sistema que es notablemente familiar, si ya se está familiarizado con los espinores de Dirac y la ecuación de Dirac. Varias analogías pasan a este caso general. Primero, los espinores son los espinores de Weyl , y vienen en pares complejos-conjugados. Son naturalmente anticonmutativos (esto se desprende del álgebra de Clifford), que es exactamente lo que se quiere hacer en contacto con el principio de exclusión de Pauli . Otra es la existencia de un elemento quiral , análogo a la matriz gamma que clasifica estos espinores en subespacios levógiros y dextrógiros. La complejización es un ingrediente clave y proporciona "electromagnetismo" en este contexto generalizado. El fibrado de espinores no "simplemente" se transforma bajo el grupo pseudoortogonal , la generalización del grupo de Lorentz , sino bajo un grupo más grande, el grupo de espín complejizado . Es más grande porque tiene una doble cobertura por ${\displaystyle (p,q)}$ ${\displaystyle \gamma _{5}}$ ${\displaystyle SO(p,q)}$ ${\displaystyle SO(1,3)}$ ${\displaystyle \mathrm {Spin} ^{\mathbb {C} }(p,q).}$ ${\displaystyle SO(p,q)\times U(1).}$

La pieza puede identificarse con el electromagnetismo de varias maneras diferentes. Una de ellas es que los operadores de Dirac en la variedad de espín, cuando se elevan al cuadrado, contienen una pieza que surge de esa parte de la conexión asociada con la pieza. Esto es completamente análogo a lo que sucede cuando se eleva al cuadrado la ecuación de Dirac ordinaria en el espacio-tiempo ordinario de Minkowski. Una segunda pista es que esta pieza está asociada con el fibrado determinante de la estructura de espín, uniendo efectivamente los espinores zurdos y diestros a través de una conjugación compleja. ${\displaystyle U(1)}$ ${\displaystyle F=dA}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle U(1)}$ ${\displaystyle U(1)}$

Lo que queda es trabajar con las simetrías discretas de la construcción anterior. Hay varias que parecen generalizar la simetría P y la simetría T. Al identificar las dimensiones con el tiempo y las dimensiones con el espacio, se pueden invertir los vectores tangentes en el subespacio dimensional para obtener la inversión del tiempo, y al invertir la dirección de las dimensiones se corresponde con la paridad. La simetría C se puede identificar con la reflexión sobre el fibrado de líneas. Para unir todo esto en un nudo, finalmente se tiene el concepto de transposición , en el que los elementos del álgebra de Clifford se pueden escribir en orden inverso (transpuesto). El resultado neto es que no solo las ideas convencionales de la física de los campos pasan al contexto general de Riemann, sino también las ideas de las simetrías discretas. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$

Hay dos maneras de reaccionar ante esto. Una es tratarlo como una curiosidad interesante. La otra es darse cuenta de que, en dimensiones bajas (en el espacio-tiempo de dimensiones bajas) hay muchos isomorfismos "accidentales" entre varios grupos de Lie y otras estructuras variadas. Ser capaz de examinarlos en un contexto general desenreda estas relaciones, exponiendo más claramente "de dónde vienen las cosas".

Conjugación de cargas para campos de Dirac

Las leyes del electromagnetismo (tanto clásico como cuántico ) son invariantes ante el intercambio de cargas eléctricas con sus negativos. Para el caso de los electrones y los quarks , ambos campos de fermiones de partículas fundamentales , las excitaciones de campo de una sola partícula se describen mediante la ecuación de Dirac

${\displaystyle (i{\partial \!\!\!{\big /}}-q{A\!\!\!{\big /}}-m)\psi =0}$

Se desea encontrar una solución de carga conjugada.

${\displaystyle (i{\partial \!\!\!{\big /}}+q{A\!\!\!{\big /}}-m)\psi ^{c}=0}$

Un puñado de manipulaciones algebraicas son suficientes para obtener la segunda a partir de la primera. ^{[1] [2] [3]} Las exposiciones estándar de la ecuación de Dirac demuestran un campo conjugado interpretado como un campo de antipartículas, que satisface la ecuación de Dirac compleja transpuesta. ${\displaystyle {\overline {\psi }}=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0},}$

${\displaystyle {\overline {\psi }}(-i{\partial \!\!\!{\big /}}-q{A\!\!\!{\big /}}-m)=0}$

Tenga en cuenta que algunos signos, pero no todos, se han invertido. Al transponer esto nuevamente, se obtiene casi la forma deseada, siempre que se pueda encontrar una matriz de 4 × 4 que transponga las matrices gamma para insertar el cambio de signo requerido: ${\displaystyle C}$

${\displaystyle C^{-1}\gamma _{\mu }C=-\gamma _{\mu }^{\textsf {T}}}$

La solución conjugada de carga viene dada entonces por la involución

${\displaystyle \psi \mapsto \psi ^{c}=\eta _{c}\,C{\overline {\psi }}^{\textsf {T}}}$

La matriz 4×4 llamada matriz de conjugación de carga tiene una forma explícita dada en el artículo sobre matrices gamma . Curiosamente, esta forma no es independiente de la representación, sino que depende de la representación matricial específica elegida para el grupo gamma (el subgrupo del álgebra de Clifford que captura las propiedades algebraicas de las matrices gamma ). Esta matriz depende de la representación debido a una interacción sutil que involucra la complejización del grupo de espín que describe la covarianza de Lorentz de las partículas cargadas. El número complejo es un factor de fase arbitrario que generalmente se toma como ${\displaystyle C,}$ ${\displaystyle \eta _{c}}$ ${\displaystyle |\eta _{c}|=1,}$ ${\displaystyle \eta _{c}=1.}$

Conjugación de carga, quiralidad, helicidad

La interacción entre la quiralidad y la conjugación de cargas es un poco sutil y requiere una explicación. A menudo se dice que la conjugación de cargas no altera la quiralidad de las partículas. Este no es el caso de los campos , la diferencia surge en la interpretación de las partículas de la "teoría de los huecos", donde una antipartícula se interpreta como la ausencia de una partícula. Esto se explica a continuación.

Convencionalmente, se utiliza como operador de quiralidad. Bajo conjugación de carga, se transforma como ${\displaystyle \gamma _{5}}$

${\displaystyle C\gamma _{5}C^{-1}=\gamma _{5}^{\textsf {T}}}$

y si es igual o no depende de la representación elegida para las matrices gamma. En la base de Dirac y quiral, se tiene que , mientras que se obtiene en la base de Majorana. A continuación se presenta un ejemplo resuelto. ${\displaystyle \gamma _{5}^{\textsf {T}}}$ ${\displaystyle \gamma _{5}}$ ${\displaystyle \gamma _{5}^{\textsf {T}}=\gamma _{5}}$ ${\displaystyle \gamma _{5}^{\textsf {T}}=-\gamma _{5}}$

Espinores de Weyl

Para el caso de campos de espinor de Dirac sin masa, la quiralidad es igual a la helicidad para las soluciones de energía positiva (y menos la helicidad para las soluciones de energía negativa). ^{[2] : § 2-4-3, página 87 y siguientes} . Esto se obtiene escribiendo la ecuación de Dirac sin masa como

${\displaystyle i\partial \!\!\!{\big /}\psi =0}$

Multiplicando por uno se obtiene ${\displaystyle \gamma ^{5}\gamma ^{0}=-i\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}}$

${\displaystyle {\epsilon _{ij}}^{m}\sigma ^{ij}\partial _{m}\psi =\gamma _{5}\partial _{t}\psi }$

donde es el operador de momento angular y es el tensor totalmente antisimétrico . Esto se puede llevar a una forma ligeramente más reconocible definiendo el operador de espín 3D tomando un estado de onda plana , aplicando la restricción en la capa que y normalizando el momento para que sea un vector unitario 3D: para escribir ${\displaystyle \sigma ^{\mu \nu }=i\left[\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right]/2}$ ${\displaystyle \epsilon _{ijk}}$ ${\displaystyle \Sigma ^{m}\equiv {\epsilon _{ij}}^{m}\sigma ^{ij},}$ ${\displaystyle \psi (x)=e^{-ik\cdot x}\psi (k)}$ ${\displaystyle k\cdot k=0}$ ${\displaystyle {\hat {k}}_{i}=k_{i}/k_{0}}$

${\displaystyle \left(\Sigma \cdot {\hat {k}}\right)\psi =\gamma _{5}\psi ~.}$

Al examinar lo anterior, se concluye que los estados propios del momento angular ( estados propios de helicidad ) corresponden a los estados propios del operador quiral . Esto permite que el campo de Dirac sin masa se divida claramente en un par de espinores de Weyl y que cada uno de ellos satisfaga individualmente la ecuación de Weyl , pero con energías opuestas: ${\displaystyle \psi _{\text{L}}}$ ${\displaystyle \psi _{\text{R}},}$

${\displaystyle \left(-p_{0}+\sigma \cdot {\vec {p}}\right)\psi _{\text{R}}=0}$

y

${\displaystyle \left(p_{0}+\sigma \cdot {\vec {p}}\right)\psi _{\text{L}}=0}$

Obsérvese la libertad que se tiene para equiparar la helicidad negativa con la energía negativa y, por lo tanto, la antipartícula con la partícula de helicidad opuesta. Para que quede claro, aquí están las matrices de Pauli y es el operador de momento. ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle p_{\mu }=i\partial _{\mu }}$

Conjugación de carga en la base quiral

Tomando la representación de Weyl de las matrices gamma, se puede escribir un espinor de Dirac (ahora considerado masivo) como

${\displaystyle \psi ={\begin{pmatrix}\psi _{\text{L}}\\\psi _{\text{R}}\end{pmatrix}}}$

El campo dual (antipartícula) correspondiente es

${\displaystyle {\overline {\psi }}^{\textsf {T}}=\left(\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}\right)^{\textsf {T}}={\begin{pmatrix}0&I\\I&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\psi _{\text{L}}^{*}\\\psi _{\text{R}}^{*}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\psi _{\text{R}}^{*}\\\psi _{\text{L}}^{*}\end{pmatrix}}}$

Los espinores conjugados con carga son

${\displaystyle \psi ^{c}={\begin{pmatrix}\psi _{\text{L}}^{c}\\\psi _{\text{R}}^{c}\end{pmatrix}}=\eta _{c}C{\overline {\psi }}^{\textsf {T}}=\eta _{c}{\begin{pmatrix}-i\sigma ^{2}&0\\0&i\sigma ^{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\psi _{\text{R}}^{*}\\\psi _{\text{L}}^{*}\end{pmatrix}}=\eta _{c}{\begin{pmatrix}-i\sigma ^{2}\psi _{\text{R}}^{*}\\i\sigma ^{2}\psi _{\text{L}}^{*}\end{pmatrix}}}$

donde, como antes, es un factor de fase que puede tomarse como Nótese que los estados izquierdo y derecho están intercambiados. Esto puede restaurarse con una transformación de paridad. Bajo paridad , la transformación de espinor de Dirac es como ${\displaystyle \eta _{c}}$ ${\displaystyle \eta _{c}=1.}$

${\displaystyle \psi \left(t,{\vec {x}}\right)\mapsto \psi ^{p}\left(t,{\vec {x}}\right)=\gamma ^{0}\psi \left(t,-{\vec {x}}\right)}$

Bajo carga combinada y paridad, entonces se tiene

${\displaystyle \psi \left(t,{\vec {x}}\right)\mapsto \psi ^{cp}\left(t,{\vec {x}}\right)={\begin{pmatrix}\psi _{\text{L}}^{cp}\left(t,{\vec {x}}\right)\\\psi _{\text{R}}^{cp}\left(t,{\vec {x}}\right)\end{pmatrix}}=\eta _{c}{\begin{pmatrix}-i\sigma ^{2}\psi _{\text{L}}^{*}\left(t,-{\vec {x}}\right)\\i\sigma ^{2}\psi _{\text{R}}^{*}\left(t,-{\vec {x}}\right)\end{pmatrix}}}$

Por lo general, se toma el término globalmente. Véase, no obstante, la nota a continuación. ${\displaystyle \eta _{c}=1}$

Condición de Majorana

La condición de Majorana impone una restricción entre el campo y su conjugado de carga, a saber, que deben ser iguales: esto quizás se pueda expresar mejor como el requisito de que el espinor de Majorana debe ser un estado propio de la involución de la conjugación de carga. ${\displaystyle \psi =\psi ^{c}.}$

Hacerlo requiere cierto cuidado en la notación. En muchos textos que tratan la conjugación de cargas, la involución no recibe un nombre simbólico explícito cuando se aplica a soluciones de una sola partícula de la ecuación de Dirac. Esto contrasta con el caso cuando se trata el campo cuantizado , donde se define un operador unitario (como se hace en una sección posterior, más abajo). Para la presente sección, denominemos la involución como tal que Tomando esto como un operador lineal, se pueden considerar sus estados propios. La condición de Majorana destaca uno de ellos: Sin embargo, hay dos de esos estados propios: Continuando con la base de Weyl, como se indicó anteriormente, estos estados propios son ${\displaystyle \psi \mapsto \psi ^{c}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathsf {C}}:\psi \mapsto \psi ^{c}}$ ${\displaystyle {\mathsf {C}}\psi =\psi ^{c}.}$ ${\displaystyle {\mathsf {C}}\psi =\psi .}$ ${\displaystyle {\mathsf {C}}\psi ^{(\pm )}=\pm \psi ^{(\pm )}.}$

${\displaystyle \psi ^{(+)}={\begin{pmatrix}\psi _{\text{L}}\\i\sigma ^{2}\psi _{\text{L}}^{*}\end{pmatrix}}}$

y

${\displaystyle \psi ^{(-)}={\begin{pmatrix}i\sigma ^{2}\psi _{\text{R}}^{*}\\\psi _{\text{R}}\end{pmatrix}}}$

El espinor de Majorana se toma convencionalmente solo como el estado propio positivo, es decir, el operador quiral intercambia estos dos, en que ${\displaystyle \psi ^{(+)}.}$ ${\displaystyle \gamma _{5}}$

${\displaystyle \gamma _{5}{\mathsf {C}}=-{\mathsf {C}}\gamma _{5}}$

Esto se verifica fácilmente mediante sustitución directa. ¡Tenga en cuenta que no tiene una representación matricial de 4×4! Más precisamente, no existe una matriz compleja de 4×4 que pueda llevar un número complejo a su conjugado complejo; esta inversión requeriría una matriz real de 8×8. La interpretación física de la conjugación compleja como conjugación de cargas se vuelve clara cuando se considera la conjugación compleja de campos escalares, que se describe en una sección posterior. ${\displaystyle {\mathsf {C}}}$

Los proyectores sobre los estados propios quirales se pueden escribir como y y por lo tanto lo anterior se traduce a ${\displaystyle P_{\text{L}}=\left(1-\gamma _{5}\right)/2}$ ${\displaystyle P_{\text{R}}=\left(1+\gamma _{5}\right)/2,}$

${\displaystyle P_{\text{L}}{\mathsf {C}}={\mathsf {C}}P_{\text{R}}~.}$

Esto demuestra directamente que la conjugación de carga, aplicada a soluciones de la ecuación de Dirac con valores de números complejos de una sola partícula, invierte la quiralidad de la solución. Los proyectores sobre los espacios propios de conjugación de carga son y ${\displaystyle P^{(+)}=(1+{\mathsf {C}})P_{\text{L}}}$ ${\displaystyle P^{(-)}=(1-{\mathsf {C}})P_{\text{R}}.}$

Interpretación geométrica

El factor de fase puede recibir una interpretación geométrica. Se ha observado que, para los espinores de Dirac masivos, el factor de fase "arbitrario" puede depender tanto del momento como de la helicidad (pero no de la quiralidad). ^[4] Esto puede interpretarse como que esta fase puede variar a lo largo de la fibra del fibrado de espinores , dependiendo de la elección local de un marco de coordenadas. Dicho de otra manera, un campo de espinores es una sección local del fibrado de espinores, y los impulsos y rotaciones de Lorentz corresponden a movimientos a lo largo de las fibras del fibrado de marco correspondiente (de nuevo, solo una elección del marco de coordenadas local). Examinada de esta manera, esta libertad de fase adicional puede interpretarse como la fase que surge del campo electromagnético. Para los espinores de Majorana , la fase estaría restringida a no variar bajo impulsos y rotaciones. ${\displaystyle \ \eta _{c}\ }$ ${\displaystyle \ \eta _{c}\ }$

Conjugación de cargas para campos cuantificados

Lo anterior describe la conjugación de cargas únicamente para las soluciones de partículas individuales. Cuando el campo de Dirac se cuantifica en segundo lugar , como en la teoría cuántica de campos , los campos espinorales y electromagnéticos se describen mediante operadores. La involución de la conjugación de cargas se manifiesta entonces como un operador unitario (en letra caligráfica) que actúa sobre los campos de partículas, expresado como ^{[5] [6]} ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

1. ${\displaystyle \psi \mapsto \psi ^{c}={\mathcal {C}}\ \psi \ {\mathcal {C}}^{\dagger }=\eta _{c}\ C\ {\overline {\psi }}^{\textsf {T}}}$
2. ${\displaystyle {\overline {\psi }}\mapsto {\overline {\psi }}^{c}={\mathcal {C}}\ {\overline {\psi }}\ {\mathcal {C}}^{\dagger }=\eta _{c}^{*}\ \psi ^{\textsf {T}}\ C^{-1}}$
3. ${\displaystyle A_{\mu }\mapsto A_{\mu }^{c}={\mathcal {C}}\ A_{\mu }\ {\mathcal {C}}^{\dagger }=-A_{\mu }\ }$

donde la no caligráfica es la misma matriz 4×4 dada anteriormente. ${\displaystyle \ C\ }$

Inversión de carga en la teoría electrodébil

La conjugación de cargas no altera la quiralidad de las partículas. Un neutrino levógiro se transformaría, por conjugación de cargas, en un antineutrino levógiro , que no interactúa en el Modelo Estándar. Esta propiedad es lo que se entiende por "violación máxima" de la simetría C en la interacción débil.

Algunas extensiones postuladas del Modelo Estándar , como los modelos izquierda-derecha , restauran esta C-simetría.

Campos escalares

El campo de Dirac tiene una libertad de calibración "oculta" , lo que le permite acoplarse directamente al campo electromagnético sin ninguna modificación adicional a la ecuación de Dirac o al campo mismo. ^[a] Este no es el caso de los campos escalares , que deben "complejizarse" explícitamente para acoplarse al electromagnetismo. Esto se hace "tensorizando" un factor adicional del plano complejo en el campo, o construyendo un producto cartesiano con . ${\displaystyle U(1)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle U(1)}$

Una técnica muy convencional es simplemente comenzar con dos campos escalares reales y crear una combinación lineal. ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \chi }$

${\displaystyle \psi \mathrel {\stackrel {\mathrm {def} }{=}} {\phi +i\chi \over {\sqrt {2}}}}$

La involución de conjugación de carga es entonces la función, ya que es suficiente para invertir el signo del potencial electromagnético (ya que este número complejo se está utilizando para acoplarlo). Para campos escalares reales, la conjugación de carga es simplemente la función identidad: y y por lo tanto, para el campo complejizado, la conjugación de carga es simplemente La flecha "mapsto" es conveniente para rastrear "qué va a dónde"; la notación antigua equivalente es simplemente escribir y y ${\displaystyle {\mathsf {C}}:i\mapsto -i}$ ${\displaystyle {\mathsf {C}}:\phi \mapsto \phi }$ ${\displaystyle {\mathsf {C}}:\chi \mapsto \chi }$ ${\displaystyle {\mathsf {C}}:\psi \mapsto \psi ^{*}.}$ ${\displaystyle \mapsto }$ ${\displaystyle {\mathsf {C}}\phi =\phi }$ ${\displaystyle {\mathsf {C}}\chi =\chi }$ ${\displaystyle {\mathsf {C}}\psi =\psi ^{*}.}$

Lo anterior describe la construcción convencional de un campo escalar cargado. También es posible introducir una estructura algebraica adicional en los campos de otras maneras. En particular, se puede definir un campo "real" que se comporte como . Como es real, no se puede acoplar al electromagnetismo por sí mismo, pero, cuando se complejiza, daría como resultado un campo cargado que se transforma como Debido a que la simetría C es una simetría discreta , uno tiene cierta libertad para jugar este tipo de juegos algebraicos en la búsqueda de una teoría que modele correctamente alguna realidad física dada. ${\displaystyle {\mathsf {C}}:\phi \mapsto -\phi }$ ${\displaystyle {\mathsf {C}}:\psi \mapsto -\psi ^{*}.}$

En la literatura de física, una transformación como podría escribirse sin ninguna explicación adicional. La interpretación matemática formal de esto es que el campo es un elemento de donde Por lo tanto, hablando con propiedad, el campo debería escribirse como que se comporta bajo conjugación de carga como Es muy tentador, pero no del todo formalmente correcto, simplemente multiplicar estos, moverse alrededor de la ubicación de este signo menos; esto en la mayoría de los casos "simplemente funciona", pero si no se sigue correctamente, se producirá confusión. ${\displaystyle {\mathsf {C}}:\phi \mapsto \phi ^{c}=-\phi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}=\{+1,-1\}.}$ ${\displaystyle \phi =(r,c)}$ ${\displaystyle {\mathsf {C}}:(r,c)\mapsto (r,-c).}$

Combinación de inversión de paridad y carga

Durante algún tiempo se creyó que la simetría C podía combinarse con la transformación de inversión de paridad (ver simetría P ) para preservar una simetría CP combinada . Sin embargo, se han identificado violaciones de esta simetría en las interacciones débiles (particularmente en los kaones y mesones B ). En el Modelo Estándar, esta violación CP se debe a una sola fase en la matriz CKM . Si la CP se combina con la inversión temporal ( simetría T ), la simetría CPT resultante puede demostrarse utilizando solo los axiomas de Wightman para que se obedezcan universalmente.

En configuraciones generales

El análogo de la conjugación de carga se puede definir para matrices gamma de dimensiones superiores , con una construcción explícita para los espinores de Weyl dada en el artículo sobre matrices de Weyl–Brauer . Sin embargo, hay que tener en cuenta que los espinores, tal como se definen de manera abstracta en la teoría de representación de las álgebras de Clifford, no son campos; más bien, se los debe considerar como existentes en un espacio-tiempo de dimensión cero.

El análogo de la simetría T se deduce del operador de conjugación T para los espinores de Dirac. Los espinores también tienen una simetría P inherente , obtenida invirtiendo la dirección de todos los vectores base del álgebra de Clifford a partir de la cual se construyen los espinores. La relación con las simetrías P y T para un campo de fermiones en una variedad espaciotemporal es un poco sutil, pero se puede caracterizar aproximadamente de la siguiente manera. Cuando se construye un espinor mediante un álgebra de Clifford, la construcción requiere un espacio vectorial sobre el cual construir. Por convención, este espacio vectorial es el espacio tangente de la variedad espaciotemporal en un punto fijo dado del espaciotiempo (una sola fibra en la variedad tangente ). Las operaciones P y T aplicadas a la variedad espaciotemporal pueden entonces entenderse como también invertir las coordenadas del espacio tangente; por lo tanto, los dos están pegados juntos. Invertir la paridad o la dirección del tiempo en uno también lo invierte en el otro. Esto es una convención. Uno puede perder el equilibrio si no logra propagar esta conexión. ${\displaystyle \gamma ^{1}\gamma ^{3}}$

Esto se hace tomando el espacio tangente como un espacio vectorial , extendiéndolo a un álgebra tensorial y luego usando un producto interno en el espacio vectorial para definir un álgebra de Clifford . Tratando cada una de estas álgebras como una fibra, se obtiene un fibrado llamado fibrado de Clifford . Bajo un cambio de base del espacio tangente, los elementos del álgebra de Clifford se transforman de acuerdo con el grupo de espín . Construir un fibrado principal con el grupo de espín como la fibra da como resultado una estructura de espín .

Lo único que falta en los párrafos anteriores son los espinores mismos. Para ello es necesario "complejizar" la variedad tangente: tensándola con el plano complejo. Una vez hecho esto, se pueden construir los espinores de Weyl . Estos tienen la forma

${\displaystyle w_{j}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(e_{2j}-ie_{2j+1}\right)}$

donde son los vectores base para el espacio vectorial , el espacio tangente en el punto en la variedad espacio-temporal Los espinores de Weyl, junto con sus conjugados complejos, abarcan el espacio tangente, en el sentido de que ${\displaystyle e_{j}}$ ${\displaystyle V=T_{p}M}$ ${\displaystyle p\in M}$ ${\displaystyle M.}$

${\displaystyle V\otimes \mathbb {C} =W\oplus {\overline {W}}}$

El álgebra alternada se llama espacio de espinores, es donde viven los espinores, así como los productos de espinores (por tanto, los objetos con valores de espín más altos, incluidos vectores y tensores). ${\displaystyle \wedge W}$

Véase también

• Paridad C
• Paridad G
• Antipartícula
• Antimateria
• Partícula verdaderamente neutral

Notas

1. Esta libertad se elimina explícitamente y se restringe en los espinores de Majorana .

Referencias

1. Bjorken, James D. y Drell, Sidney D. (1964). Mecánica cuántica relativista . Nueva York, NY: McGraw-Hill. Capítulo 5.2, páginas 66-70.
2. Itzykson, Claude y Zuber, Jean-Bernard (1980). Teoría cuántica de campos . Nueva York, NY: McGraw-Hill. capítulos 2-4, páginas 85 y siguientes.
3. Peskin, ME y Schroeder, DV (1997). Introducción a la teoría cuántica de campos . Addison Wesley. ISBN 0-201-50397-2.
4. Itzykson & Zuber (1980), § 2-4-2 Conjugación de carga , página 86, ecuación 2-100
5. Bjorken y Drell (1964), capítulo 15
6. Itzykson y Zuber (1980), § 3-4

• Sozzi, MS (2008). Simetrías discretas y violación de CP . Oxford University Press. ISBN 978-0-19-929666-8.