Núcleo (teoría de juegos)

En la teoría de juegos cooperativos , el núcleo es el conjunto de asignaciones o imputaciones factibles en las que ninguna coalición de agentes puede beneficiarse al separarse de la gran coalición. Se puede pensar que el núcleo corresponde a situaciones en las que es posible mantener la cooperación entre todos los agentes. Se dice que una coalición mejora o bloquea una asignación factible si los miembros de esa coalición pueden generar más valor entre ellos del que se les asigna en la asignación original. Como tal, esa coalición no tiene incentivos para permanecer en la gran coalición.

Se dice que una asignación está en el núcleo de un juego si no hay ninguna coalición que pueda mejorarla. El núcleo es entonces el conjunto de todas las asignaciones factibles.

Origen

La idea del núcleo ya aparecía en los escritos de Edgeworth (1881), en su momento denominada curva de contrato . ^[1] Aunque von Neumann y Morgenstern lo consideraban un concepto interesante, sólo trabajaban con juegos de suma cero donde el núcleo siempre está vacío . La definición moderna del núcleo se debe a Gillies . ^[2]

Definición

Consideremos un juego cooperativo de utilidad transferible donde denota el conjunto de jugadores y es la función característica . Una imputación está dominada por otra imputación si existe una coalición , tal que cada jugador en prefiere débilmente ( para todos ) y existe que prefiere estrictamente ( ), y puede hacerla cumplir amenazando con abandonar la gran coalición para formar ( ). El núcleo es el conjunto de imputaciones que no están dominadas por ninguna otra imputación. ^[3] ${\displaystyle (N,v)}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{N}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x_{i}\leq y_{i}}$ ${\displaystyle i\in C}$ ${\displaystyle i\in C}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x_{i}<y_{i}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \sum _{i\in C}y_{i}\leq v(C)}$

Núcleo débil

Una imputación está fuertemente dominada por otra imputación si existe una coalición , de modo que cada jugador en estrictamente prefiere ( para todos ). El núcleo débil es el conjunto de imputaciones que no están fuertemente dominadas. ^[4] ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{N}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x_{i}<y_{i}}$ ${\displaystyle i\in C}$

Propiedades

• Otra definición, equivalente a la anterior, establece que el núcleo es un conjunto de asignaciones de pagos que satisfacen ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{N}}$

1. Eficiencia: , ${\displaystyle \sum _{i\in N}x_{i}=v(N)}$
2. Racionalidad coalicional: para todos los subconjuntos (coaliciones) . ${\displaystyle \sum _{i\in C}x_{i}\geq v(C)}$ ${\displaystyle C\subseteq N}$

• El núcleo siempre está bien definido, pero puede estar vacío .
• El núcleo es un conjunto que satisface un sistema de inecuaciones lineales débiles . Por lo tanto, el núcleo es cerrado y convexo .
• Teorema de Bondareva-Shapley : el núcleo de un juego no está vacío si y sólo si el juego está "equilibrado". ^{[5] [6]}
• Todo equilibrio walrasiano tiene la propiedad del núcleo, pero no viceversa . La conjetura de Edgeworth establece que, dadas las hipótesis adicionales, el límite del núcleo a medida que el número de consumidores tiende al infinito es un conjunto de equilibrios walrasianos.
• Sea n jugadores, donde n es impar. Un juego que propone dividir una unidad de un bien entre una coalición que tiene al menos ( n +1)/2 miembros tiene un núcleo vacío. Es decir, no existe una coalición estable.

Ejemplo

Ejemplo 1: Mineros

Consideremos un grupo de n mineros que han descubierto grandes barras de oro. Si dos mineros pueden llevarse una pieza de oro, entonces la recompensa de una coalición S es

${\displaystyle v(S)={\begin{cases}|S|/2,&{\text{if }}|S|{\text{ is even}};\\(|S|-1)/2,&{\text{if }}|S|{\text{ is odd}}.\end{cases}}}$

Si hay más de dos mineros y hay un número par de mineros, entonces el núcleo consiste en un pago único, donde cada minero obtiene la mitad. Si hay un número impar de mineros, entonces el núcleo está vacío.

Ejemplo 2: Guantes

El señor A y el señor B tejen guantes. Los guantes son de talla única y con dos guantes forman un par que venden por 5 €. Cada uno ha confeccionado tres guantes. ¿Cómo se reparten las ganancias de la venta? El problema se puede describir mediante un juego en forma de función característica con la siguiente función característica: cada hombre tiene tres guantes, es decir, un par con un valor de mercado de 5 €. Juntos, tienen 6 guantes o 3 pares, con un valor de mercado de 15 €. Dado que las coaliciones singleton (que consisten en un solo hombre) son las únicas coaliciones no triviales del juego, todas las distribuciones posibles de esta suma pertenecen al núcleo, siempre que ambos hombres obtengan al menos 5 €, la cantidad que pueden lograr por sí solos. Por ejemplo, (7,5, 7,5) pertenece al núcleo, pero también lo hace (5, 10) o (9, 6).

Ejemplo 3: Zapatos

Por el momento, ignoremos las tallas de zapatos: un par consta de un zapato izquierdo y uno derecho, que pueden venderse por 10 €. Consideremos un juego con 2001 jugadores: 1000 de ellos tienen 1 zapato izquierdo, 1001 tienen 1 zapato derecho. El núcleo de este juego es algo sorprendente: consiste en una única imputación que da 10 a los que tienen un zapato izquierdo (escaso) y 0 a los que tienen un zapato derecho (excedente de oferta). Ninguna coalición puede bloquear este resultado, porque ningún propietario de zapato izquierdo aceptará menos de 10, y cualquier imputación que pague una cantidad positiva a cualquier propietario de zapato derecho debe pagar menos de 10 000 en total a los otros jugadores, que pueden obtener 10 000 por su cuenta. Por lo tanto, solo hay una imputación en el núcleo.

El mensaje sigue siendo el mismo, incluso si aumentamos las cifras, siempre que las zapatillas para jugadores de izquierda sean más escasas. Se ha criticado al núcleo por ser extremadamente sensible al exceso de oferta de un tipo de jugador.

El núcleo de la teoría del equilibrio general

Los equilibrios walrasianos de una economía de intercambio en un modelo de equilibrio general se encuentran en el núcleo del juego de cooperación entre los agentes. Gráficamente, y en una economía de dos agentes (véase el recuadro de Edgeworth), el núcleo es el conjunto de puntos de la curva de contrato (el conjunto de asignaciones óptimas de Pareto) que se encuentran entre cada una de las curvas de indiferencia de los agentes definidas en las dotaciones iniciales.

El núcleo de la teoría electoral

Cuando las alternativas son asignaciones (lista de paquetes de consumo), es natural suponer que cualquier subconjunto no vacío de individuos puede bloquear una asignación dada. Sin embargo, cuando las alternativas son públicas (como la cantidad de un cierto bien público), es más apropiado suponer que solo las coaliciones que son lo suficientemente grandes pueden bloquear una alternativa dada. La colección de tales coaliciones grandes ("ganadoras") se llama un juego simple . El núcleo de un juego simple con respecto a un perfil de preferencias se basa en la idea de que solo las coaliciones ganadoras pueden rechazar una alternativa a favor de otra alternativa . Una condición necesaria y suficiente para que el núcleo no esté vacío para todos los perfiles de preferencias se proporciona en términos del número de Nakamura para el juego simple. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

Véase también

• Negociación cooperativa
• Economía del bienestar
• Eficiencia de Pareto
• Teorema de Knaster-Kuratowski-Mazurkiewicz-Shapley : fundamental para demostrar la no vacuidad del núcleo.

Referencias

1. Kannai, Y. (1992). "El núcleo y el equilibrio". En Aumann, Robert J. ; Hart, Sergiu (eds.). Manual de teoría de juegos con aplicaciones económicas . Vol. I. Ámsterdam: Elsevier. págs. 355–395. ISBN 978-0-444-88098-7.
2. Gillies, DB (1959). "Soluciones a juegos generales de suma no nula". En Tucker, AW ; Luce, RD (eds.). Contribuciones a la teoría de juegos IV . Anales de estudios matemáticos. Vol. 40. Princeton: Princeton University Press . págs. 47–85.
3. Como lo señalan Shapley, LS; Shubik, M. (1969). "Sobre los juegos de mercado". Journal of Economic Theory . 1 (1): 9–25. doi :10.1016/0022-0531(69)90008-8. S2CID  153498438.Gracias a la contribución del Sr. E. Kohlberg
4. Yu, Chaowen (8 de diciembre de 2020). "Una nota sobre el núcleo débil de los juegos simples con preferencias ordinarias y alternativas incontables". Revista electrónica SSRN . doi : 10.2139/ssrn.3225500 .
5. Bondareva, Olga N. (1963). "Algunas aplicaciones de métodos de programación lineal a la teoría de juegos cooperativos (en ruso)". Problemy Kybernetiki . 10 : 119–139.
6. Shapley, Lloyd S. (1967). "Sobre conjuntos y núcleos equilibrados". Naval Research Logistics Quarterly . 14 (4): 453–460. doi :10.1002/nav.3800140404. hdl : 10338.dmlcz/135729 .

Obras citadas

• Edgeworth, Francis Ysidro (1881). Psíquicos matemáticos: un ensayo sobre la aplicación de las matemáticas a las ciencias morales. Londres: CK Paul.

Lectura adicional

• Ichiishi, Tatsuro (1983). "Comportamiento cooperativo y estabilidad". Teoría de juegos para el análisis económico . Nueva York: Academic Press. pp. 77–117. ISBN 0-12-370180-5.
• Osborne, Martin J.; Rubinstein, Ariel (1994). Un curso de teoría de juegos . The MIT Press.
• Peleg, B (1992). "Axiomatizaciones del núcleo". En Aumann, Robert J. ; Hart, Sergiu (eds.). Manual de teoría de juegos con aplicaciones económicas . Vol. I. Ámsterdam: Elsevier. págs. 397–412. ISBN 978-0-444-88098-7.
• Shoham, Yoav; Leyton-Brown, Kevin (2009). Sistemas multiagente: fundamentos algorítmicos, lógicos y de teoría de juegos. Nueva York: Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-89943-7.
• Telser, Lester G. (1994). "La utilidad de la teoría básica en economía". Journal of Economic Perspectives . 8 (2): 151–164. doi : 10.1257/jep.8.2.151 .