Categoría monoidea cerrada

Tipo de categoría en matemáticas

En matemáticas , especialmente en teoría de categorías , una categoría monoidea cerrada (o una categoría monoidal cerrada ) es una categoría que es a la vez categoría monoidal y categoría cerrada de tal manera que las estructuras son compatibles.

Un ejemplo clásico es la categoría de conjuntos , Set , donde el producto monoidal de conjuntos y es el producto cartesiano habitual , y el Hom interno es el conjunto de funciones de a . Un ejemplo no cartesiano es la categoría de espacios vectoriales , K -Vect , sobre un campo . Aquí el producto monoidal es el producto tensorial habitual de los espacios vectoriales , y el Hom interno es el espacio vectorial de aplicaciones lineales de un espacio vectorial a otro. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A\times B}$ ${\displaystyle B^{A}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle K}$

El lenguaje interno de las categorías monoidales simétricas cerradas es la lógica lineal y el sistema de tipos es el sistema de tipos lineales . Muchos ejemplos de categorías monoidales cerradas son simétricos . Sin embargo, este no tiene por qué ser siempre el caso, ya que se pueden encontrar categorías monoidales no simétricas en formulaciones lingüísticas de teoría de categorías ; En términos generales, esto se debe a que el orden de las palabras en el lenguaje natural es importante.

Definición

Una categoría monoidal cerrada es una categoría monoidal tal que para cada objeto el funtor dado por tensor recto con ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle A\mapsto A\otimes B}$

tiene un adjunto derecho , escrito

${\displaystyle A\mapsto (B\Rightarrow A).}$

Esto significa que existe una biyección, llamada ' currying ', entre los Hom-sets

${\displaystyle {\text{Hom}}_{\mathcal {C}}(A\otimes B,C)\cong {\text{Hom}}_{\mathcal {C}}(A,B\Rightarrow C)}$

eso es natural tanto en A como en C. En una notación diferente, pero común, se diría que el functor

${\displaystyle -\otimes B:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}}$

tiene un adjunto derecho

${\displaystyle [B,-]:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}}$

De manera equivalente, una categoría monoidea cerrada es una categoría equipada, para cada dos objetos A y B , con ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

• un objeto , ${\displaystyle A\Rightarrow B}$
• un morfismo , ${\displaystyle \mathrm {eval} _{A,B}:(A\Rightarrow B)\otimes A\to B}$

satisfaciendo la siguiente propiedad universal: para cada morfismo

${\displaystyle f:X\otimes A\to B}$

existe un morfismo único

${\displaystyle h:X\to A\Rightarrow B}$

tal que

${\displaystyle f=\mathrm {eval} _{A,B}\circ (h\otimes \mathrm {id} _{A}).}$

Se puede demostrar ^{[ cita requerida ]} que esta construcción define un functor . Este funtor se llama funtor Hom interno y el objeto se llama funtor Hom interno de y . Muchas otras notaciones son de uso común para el Hom interno. Cuando el producto tensorial es el producto cartesiano, la notación habitual es y este objeto se llama objeto exponencial . ${\displaystyle \Rightarrow :{\mathcal {C}}^{op}\times {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle A\Rightarrow B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle B^{A}}$

Categorías bicerradas y simétricas.

Estrictamente hablando, hemos definido una categoría monoidal cerrada por la derecha , ya que requerimos que el tensor derecho con cualquier objeto tenga un adjunto derecho. En una categoría monoidal cerrada por la izquierda , exigimos que el functor del tensor izquierdo con cualquier objeto ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle B\mapsto A\otimes B}$

tener un adjunto derecho

${\displaystyle B\mapsto (B\Leftarrow A)}$

Una categoría monoidal bicerrada es una categoría monoidal que está cerrada tanto a la izquierda como a la derecha.

Una categoría monoidal simétrica se deja cerrada si y sólo si se cierra a la derecha. Por tanto, podemos hablar con seguridad de una "categoría cerrada monoidal simétrica" ​​sin especificar si está cerrada por la izquierda o por la derecha. De hecho, lo mismo es cierto de manera más general para las categorías monoidales trenzadas : dado que el trenzado hace naturalmente isomórfico a , la distinción entre tensor a la izquierda y tensor a la derecha se vuelve irrelevante, por lo que cada categoría monoidal trenzada cerrada a la derecha se vuelve cerrada a la izquierda en una categoría canónica. manera, y viceversa. ${\displaystyle A\otimes B}$ ${\displaystyle B\otimes A}$

Hemos descrito las categorías monoidales cerradas como categorías monoidales con una propiedad adicional. De manera equivalente, se puede definir una categoría monoidal cerrada como una categoría cerrada con una propiedad adicional. Es decir, podemos exigir la existencia de un producto tensor que se deja adjunto al funtor Hom interno . En este enfoque, las categorías monoidales cerradas también se denominan categorías monoidales cerradas . ^{[ cita necesaria ]}

Ejemplos

• Cada categoría cerrada cartesiana es una categoría cerrada monoidal simétrica, cuando la estructura monoidal es la estructura del producto cartesiano. El functor Hom interno viene dado por el objeto exponencial . ${\displaystyle B^{A}}$
  • En particular, la categoría de conjuntos , Set , es una categoría monoidal cerrada y simétrica. Aquí el Hom interno es solo el conjunto de funciones de a . ${\displaystyle A\Rightarrow B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$
• La categoría de módulos , R -Mod sobre un anillo conmutativo R es una categoría cerrada monoidal, simétrica y no cartesiana. El producto monoidal viene dado por el producto tensorial de los módulos y el Hom interno está dado por el espacio de R -maps lineales con su estructura natural de R -módulo. ${\displaystyle M\Rightarrow N}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(M,N)}$
  • En particular, la categoría de espacios vectoriales sobre un campo es una categoría monoide cerrada simétrica. ${\displaystyle K}$
  • Los grupos abelianos pueden considerarse como módulos Z , por lo que la categoría de grupos abelianos también es una categoría monoidal cerrada y simétrica.
• Una categoría cerrada compacta simétrica es una categoría cerrada monoidal simétrica en la que el functor Hom interno viene dado por . El ejemplo canónico es la categoría de espacios vectoriales de dimensión finita, FdVect . ${\displaystyle A\Rightarrow B}$ ${\displaystyle A^{*}\otimes B}$

Contraejemplos

• La categoría de anillos es una categoría monoidal simétrica bajo el producto tensorial de anillos , que sirve como objeto unitario. Esta categoría no está cerrada. Si así fuera, habría exactamente un homomorfismo entre cualquier par de anillos: . Lo mismo se aplica a la categoría de R - álgebras sobre un anillo conmutativo R. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} (R,S)\cong \operatorname {Hom} (\mathbb {Z} \otimes R,S)\cong \operatorname {Hom} (\mathbb {Z} ,R\Rightarrow S)\cong \{\bullet \}}$

Ver también

• Conjugación de Isbell

Referencias

• Kelly, GM (1982). Conceptos básicos de la teoría de categorías enriquecida (PDF) . Serie de notas de conferencias de la Sociedad Matemática de Londres. vol. 64. Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-28702-9. OCLC  1015056596.
• Melliès, Paul-André (2009). "Semántica categórica de la lógica lineal" (PDF) . Panoramas y síntesis . 27 : 1–197. CiteSeerX  10.1.1.62.5117 .
• Categoría monoidea cerrada en el n Lab