Categoría de espacios mensurables

Categoría de espacios medibles, según el modelo de la página "Categoría de espacios topológicos".

En matemáticas , la categoría de espacios medibles , a menudo denominada Meas , es la categoría cuyos objetos son espacios medibles y cuyos morfismos son mapas medibles . ^{[1] [2] [3] [4]} Esta es una categoría porque la composición de dos mapas medibles es nuevamente medible, y la función identidad es medible.

NB Algunos autores reservan el nombre Meas para categorías cuyos objetos son espacios de medida , y denotan la categoría de espacios medibles como Mble u otras notaciones. Algunos autores también restringen la categoría solo a espacios medibles particulares que se comportan bien, como los espacios de Borel estándar .

Como categoría concreta

Al igual que muchas categorías, la categoría Meas es una categoría concreta , lo que significa que sus objetos son conjuntos con estructura adicional (es decir, álgebras sigma ) y sus morfismos son funciones que preservan esta estructura. Existe un functor olvidadizo natural

U  : Medir → Establecer

a la categoría de conjuntos que asigna a cada espacio medible el conjunto subyacente y a cada mapa medible la función subyacente .

El funtor olvidadizo U tiene tanto un adjunto izquierdo

D  : Establecer → Medir

que dota a un conjunto dado de la sigma-álgebra discreta y un adjunto derecho

I  : Establecer → Medir

que dota a un conjunto dado del álgebra sigma indiscreta o trivial. Ambos funtores son, de hecho, inversos rectos de U (lo que significa que UD y UI son iguales al funtor identidad en Set ). Además, dado que cualquier función entre espacios discretos o entre espacios indiscretos es medible, ambos funtores dan incrustaciones completas de Set en Meas .

Límites y colimites

La categoría Meas es completa y cocompleta , lo que significa que todos los límites y colímites pequeños existen en Meas . De hecho, el funtor olvidadizo U  : Meas → Set eleva de manera única tanto los límites como los colímites y los conserva también. Por lo tanto, los (co)límites en Meas se dan colocando álgebras sigma particulares en los (co)límites correspondientes en Set .

Algunos ejemplos de límites y colimites en Meas incluyen:

• El conjunto vacío (considerado como un espacio medible) es el objeto inicial de Meas ; cualquier espacio medible singular es un objeto terminal . Por lo tanto, no hay objetos cero en Meas .
• El producto en Meas está dado por el producto sigma-álgebra sobre el producto cartesiano . El coproducto está dado por la unión disjunta de espacios medibles.
• El ecualizador de un par de morfismos se obtiene colocando el álgebra sigma inducida sobre el subconjunto dado por el ecualizador de teoría de conjuntos. Dualmente, el coecualizador se obtiene colocando el álgebra sigma cociente sobre el coecualizador de teoría de conjuntos.
• Los límites directos y los límites inversos son los límites de la teoría de conjuntos con las sigma-álgebras final e inicial respectivamente. Ejemplos canónicos de sistemas directos e inversos son los que surgen de las filtraciones en la teoría de la probabilidad , y los límites y colímites de tales sistemas son, respectivamente, la unión y la intersección de las sigma-álgebras .

Otras propiedades

• Los monomorfismos en Meas son los mapas medibles inyectivos , los epimorfismos son los mapas medibles sobreyectivos y los isomorfismos son los isomorfismos de espacios medibles.
• Los monomorfismos divididos son (esencialmente) las inclusiones de retracciones mensurables en su espacio ambiental.
• Los epimorfismos escindidos son (hasta el isomorfismo) los mapas sobreyectivos mensurables de un espacio medible sobre uno de sus retractos.
• Meas no es cartesianamente cerrado (y por lo tanto tampoco es un topos ) ya que no tiene objetos exponenciales para todos los espacios.

Véase también

• Categoría de espacios topológicos  – categoría cuyos objetos son espacios topológicos y cuyos morfismos son mapas continuosPáginas que muestran descripciones de wikidata como alternativa
• Categoría de conjuntos  – Categoría en matemáticas donde los objetos son conjuntos
• Categoría de espacios de medida
• Categoría de núcleos de Markov  – Definición y propiedades de la categoría de núcleos de Markov, con más detalle que en "Núcleo de Markov".
• Espacio medible  – Objeto básico de la teoría de la medida; conjunto y álgebra sigma
• Función medible  – Función para la cual la preimagen de un conjunto medible es medible

Citas

1. Giry (1982), pág. 69
2. Jacobs (2018), pág. 205
3. Fritz (2020), pág. 20
4. Moss y Perrone (2022), pág. 3

Referencias

• Giry, Michèle (1982). "Un enfoque categórico de la teoría de la probabilidad". Aspectos categóricos de la topología y el análisis . Lecture Notes in Mathematics. Vol. 915. Springer. págs. 68–85. doi :10.1007/BFb0092872. ISBN. 978-3-540-11211-2.

• Jacobs, Bart (2018). "De las mónadas de probabilidad a los efectus conmutativos". Revista de métodos lógicos y algebraicos en programación . 94 : 200–237. doi :10.1016/j.jlamp.2016.11.006. hdl : 2066/182000 .

• Fritz, Tobias (2020). "Un enfoque sintético para los núcleos de Markov, la independencia condicional y los teoremas sobre estadísticas suficientes". Avances en Matemáticas . 370 . arXiv : 1908.07021 . doi :10.1016/j.aim.2020.107239. S2CID  201103837.

• Moss, Sean; Perrone, Paolo (2022). "Mónadas de probabilidad con submónadas de estados deterministas". LICS '22: Actas del 37.º Simposio anual ACM/IEEE sobre lógica en informática . arXiv : 2204.07003 . doi :10.1145/3531130.3533355.