Categoría de hormigón

Categoría dotada de un funtor fiel a la categoría de conjuntos

En matemáticas , una categoría concreta es una categoría que está dotada de un funtor fiel a la categoría de conjuntos (o a veces a otra categoría). Este funtor permite pensar en los objetos de la categoría como conjuntos con estructura adicional , y en sus morfismos como funciones preservadoras de la estructura. Muchas categorías importantes tienen interpretaciones obvias como categorías concretas, por ejemplo la categoría de espacios topológicos y la categoría de grupos , y trivialmente también la propia categoría de conjuntos. Por otro lado, la categoría de homotopía de los espacios topológicos no es concretizable , es decir, no admite un funtor fiel a la categoría de conjuntos.

Una categoría concreta, cuando se define sin referencia a la noción de categoría, consiste en una clase de objetos , cada uno equipado con un conjunto subyacente ; y para dos objetos cualesquiera A y B un conjunto de funciones, llamadas homomorfismos , del conjunto subyacente de A al conjunto subyacente de B. Además, para cada objeto A , la función identidad en el conjunto subyacente de A debe ser un homomorfismo de A a A , y la composición de un homomorfismo de A a B seguido por un homomorfismo de B a C debe ser un homomorfismo de A a C. ^[1 ]

Definición

Una categoría concreta es un par ( C , U ) tal que

• C es una categoría, y
• U  : C → Conjunto (la categoría de conjuntos y funciones) es un funtor fiel .

El funtor U debe considerarse como un funtor olvidadizo , que asigna a cada objeto de C su "conjunto subyacente", y a cada morfismo en C su "función subyacente".

Es habitual llamar a los morfismos de una categoría concreta homomorfismos (por ejemplo, homomorfismos de grupo, homomorfismos de anillo, etc.). Debido a la fidelidad del funtor U , los homomorfismos de una categoría concreta pueden identificarse formalmente con sus funciones subyacentes (es decir, sus imágenes bajo U ); los homomorfismos recuperan entonces la interpretación habitual como funciones "preservadoras de la estructura".

Una categoría C es concretizable si existe una categoría concreta ( C , U ); es decir, si existe un funtor fiel U :  C → Set . Todas las categorías pequeñas son concretizables: defina U de modo que su parte objeto mapee cada objeto b de C al conjunto de todos los morfismos de C cuyo codominio es b (es decir, todos los morfismos de la forma f : a → b para cualquier objeto a de C ), y su parte morfismo mapee cada morfismo g : b → c de C a la función U ( g ): U ( b ) → U ( c ) que mapea cada miembro f : a → b de U ( b ) a la composición gf : a → c , un miembro de U ( c ). (El ítem 6 bajo Otros ejemplos expresa el mismo U en lenguaje menos elemental a través de prehaces.) La sección Contraejemplos exhibe dos grandes categorías que no son concretizables.

Observaciones

Contrariamente a la intuición, la concreción no es una propiedad que una categoría pueda o no satisfacer, sino más bien una estructura con la que una categoría puede o no estar dotada. En particular, una categoría C puede admitir varios funtores fieles en Set . Por lo tanto, puede haber varias categorías concretas ( C ,  U ) todas correspondientes a la misma categoría C .

En la práctica, sin embargo, la elección del funtor fiel suele ser clara y en este caso simplemente hablamos de la "categoría concreta C ". Por ejemplo, "la categoría concreta Set " significa el par ( Set ,  I ) donde I denota el funtor identidad Set → Set .

El requisito de que U sea fiel significa que asigna diferentes morfismos entre los mismos objetos a diferentes funciones. Sin embargo, U puede asignar diferentes objetos al mismo conjunto y, si esto ocurre, también asignará diferentes morfismos a la misma función.

Por ejemplo, si S y T son dos topologías diferentes en el mismo conjunto X , entonces ( X ,  S ) y ( X ,  T ) son objetos distintos en la categoría Top de espacios topológicos y aplicaciones continuas, pero mapeados al mismo conjunto X por el funtor olvidadizo Top → Set . Además, el morfismo identidad ( X ,  S ) → ( X ,  S ) y el morfismo identidad ( X ,  T ) → ( X ,  T ) se consideran morfismos distintos en Top , pero tienen la misma función subyacente, a saber, la función identidad en X .

De manera similar, a cualquier conjunto con cuatro elementos se le pueden dar dos estructuras de grupo no isomorfas: una isomorfa a , y la otra isomorfa a . ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} }$

Más ejemplos

1. Cualquier grupo G puede considerarse una categoría "abstracta" con un objeto arbitrario, , y un morfismo para cada elemento del grupo. Esto no se consideraría concreto según la noción intuitiva descrita al principio de este artículo. Pero cada conjunto G fiel (equivalentemente, cada representación de G como un grupo de permutaciones ) determina un funtor fiel G → Set . Dado que cada grupo actúa fielmente sobre sí mismo, G puede convertirse en una categoría concreta de al menos una manera. ${\displaystyle \ast }$
2. De manera similar, cualquier conjunto poset P puede considerarse como una categoría abstracta con una flecha única x → y siempre que x ≤ y . Esto se puede concretar definiendo un funtor D  : P → Set que mapea cada objeto x y cada flecha x → y al mapa de inclusión . ${\displaystyle D(x)=\{a\in P:a\leq x\}}$ ${\displaystyle D(x)\hookrightarrow D(y)}$
3. La categoría Rel cuyos objetos son conjuntos y cuyos morfismos son relaciones se puede concretar tomando U para mapear cada conjunto X a su conjunto potencia y cada relación a la función definida por . Notando que los conjuntos potencia son retículos completos bajo inclusión, aquellas funciones entre ellos que surgen de alguna relación R de esta manera son exactamente los mapas preservadores del supremo . Por lo tanto Rel es equivalente a una subcategoría completa de la categoría Sup de retículos completos y sus mapas preservadores del supremo. A la inversa, a partir de esta equivalencia podemos recuperar U como el compuesto Rel → Sup → Set del funtor olvidadizo para Sup con esta incrustación de Rel en Sup . ${\displaystyle 2^{X}}$ ${\displaystyle R\subseteq X\times Y}$ ${\displaystyle \rho :2^{X}\rightarrow 2^{Y}}$ ${\displaystyle \rho (A)=\{y\in Y\mid \exists \,x\in A:xRy\}}$
4. La categoría Set ^op se puede incorporar a Rel representando cada conjunto como sí mismo y cada función f : X → Y como la relación de Y a X formada como el conjunto de pares ( f ( x ), x ) para todo x ∈ X ; por lo tanto, Set ^op es concretizable. El funtor olvidadizo que surge de esta manera es el funtor de conjunto potencia contravariante Set ^op → Set .
5. Del ejemplo anterior se desprende que el opuesto de cualquier categoría concretizable C es a su vez concretizable, ya que si U es un funtor fiel C → Set entonces C ^op puede estar equipado con el compuesto C ^op → Set ^op → Set .
6. Si C es una categoría pequeña, entonces existe un funtor fiel P  : Set ^{C op} → Set que asigna un prehaz X al coproducto . Al componer esto con la incrustación de Yoneda Y : C → Set ^{C op} se obtiene un funtor fiel C → Set . ${\displaystyle \coprod _{c\in \mathrm {ob} C}X(c)}$
7. Por razones técnicas, la categoría Ban ₁ de los espacios de Banach y las contracciones lineales a menudo no está equipada con el funtor olvidadizo "obvio" sino con el funtor U ₁  : Ban ₁ → Conjunto que asigna un espacio de Banach a su bola unidad (cerrada) .
8. La categoría Gato cuyos objetos son categorías pequeñas y cuyos morfismos son funtores se puede concretar enviando cada categoría C al conjunto que contiene sus objetos y morfismos. Los funtores se pueden considerar simplemente como funciones que actúan sobre los objetos y morfismos.

Contraejemplos

La categoría hTop , donde los objetos son espacios topológicos y los morfismos son clases de homotopía de funciones continuas, es un ejemplo de una categoría que no es concretizable. Mientras que los objetos son conjuntos (con estructura adicional), los morfismos no son funciones reales entre ellos, sino más bien clases de funciones. El hecho de que no exista ningún funtor fiel desde hTop hasta Set fue demostrado por primera vez por Peter Freyd . En el mismo artículo, Freyd cita un resultado anterior de que la categoría de "pequeñas categorías y clases de equivalencia natural de funtores" tampoco es concretizable.

Estructura implícita de categorías concretas

Dada una categoría concreta ( C ,  U ) y un número cardinal N , sea U ^N el funtor C → Conjunto determinado por U ^N (c) = (U(c)) ^N . Entonces un subfuntor de U ^N se llama predicado N-ario y una transformación natural U ^N → U una operación N-aria .

La clase de todos los predicados N -arios y operaciones N -arias de una categoría concreta ( C , U ), con N abarcando la clase de todos los números cardinales, forma una gran firma . La categoría de modelos para esta firma contiene entonces una subcategoría completa que es equivalente a C.

Concreción relativa

En algunas partes de la teoría de categorías, en particular la teoría de topos , es común reemplazar la categoría Set por una categoría diferente X , a menudo llamada categoría base . Por esta razón, tiene sentido llamar a un par ( C ,  U ) donde C es una categoría y U un funtor fiel C → X una categoría concreta sobre X . Por ejemplo, puede ser útil pensar en los modelos de una teoría con N tipos como formando una categoría concreta sobre Set ^N .

En este contexto, una categoría concreta sobre un conjunto se denomina a veces constructo .

Notas

1. Mac Lane, Saunders ; Birkhoff, Garrett (1999), Álgebra (3.ª ed.), AMS Chelsea, ISBN 978-0-8218-1646-2

Referencias

• Adámek, Jiří, Herrlich, Horst y Strecker, George E.; (1990). Categorías abstractas y concretas (PDF de 4,2 MB). Originalmente público. John Wiley e hijos. ISBN 0-471-60922-6 . (ahora edición gratuita en línea). 
• Freyd, Peter; (1970). La homotopía no es concreta. Publicado originalmente en: The Steenrod Algebra and its Applications, Springer Lecture Notes in Mathematics Vol. 168. Republicado en una revista gratuita en línea: Reprints in Theory and Applications of Categories, No. 6 (2004), con el permiso de Springer-Verlag.
• Rosický, Jiří; (1981). Categorías concretas y lenguajes infinitarios . Journal of Pure and Applied Algebra, Volumen 22, Número 3.