Superficie capilar

Superficie que representa la interfaz entre dos fluidos diferentes.

En mecánica de fluidos y matemáticas , una superficie capilar es una superficie que representa la interfaz entre dos fluidos diferentes . Como consecuencia de ser una superficie, una superficie capilar no tiene espesor, en ligero contraste con la mayoría de las interfaces de fluidos reales.

Las superficies capilares son de interés en matemáticas porque los problemas involucrados son muy no lineales y tienen propiedades interesantes, como la dependencia discontinua de los datos de contorno en puntos aislados. ^[1] En particular, las superficies capilares estáticas sin gravedad tienen una curvatura media constante , de modo que una superficie mínima es un caso especial de superficie capilar estática.

También son de interés práctico para la gestión de fluidos en el espacio (u otros entornos libres de fuerzas corporales ), donde tanto el flujo como la configuración estática suelen estar dominados por efectos capilares.

La ecuación del equilibrio del estrés

La ecuación que define una superficie capilar se denomina ecuación de equilibrio de tensiones ^[2], que se puede derivar considerando las fuerzas y tensiones que actúan sobre un pequeño volumen que está parcialmente delimitado por una superficie capilar. Para un fluido que se encuentra con otro fluido (el "otro" fluido indicado con barras) en una superficie , la ecuación se lee ${\displaystyle S}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&(\sigma _{ij}-{\bar {\sigma }}_{ij})\mathbf {\hat {n}} =-\gamma \mathbf {\hat {n}} (\nabla _{\!S}\cdot \mathbf {\hat {n}} )+\nabla _{\!S}\gamma \\&\qquad \nabla _{\!S}\gamma =\nabla \gamma -\mathbf {\hat {n}} (\mathbf {\hat {n}} \cdot \nabla \gamma )\end{aligned}}}$

donde es la normal unitaria que apunta hacia el "otro" fluido (aquel cuyas cantidades se indican con barras), es el tensor de tensión (observe que a la izquierda hay un producto tensor-vector ), es la tensión superficial asociada con la interfaz y es el gradiente de la superficie . Observe que la cantidad es el doble de la curvatura media de la superficie. ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {\hat {n}} }$ ${\displaystyle \scriptstyle \sigma _{ij}}$ ${\displaystyle \scriptstyle \gamma }$ ${\displaystyle \scriptstyle \nabla _{S}}$ ${\displaystyle \scriptstyle -\nabla _{\!S}\cdot \mathbf {\hat {n}} }$

En mecánica de fluidos , esta ecuación sirve como condición de contorno para flujos interfaciales, y normalmente complementa las ecuaciones de Navier-Stokes . Describe la discontinuidad en la tensión que se equilibra con fuerzas en la superficie. Como condición de contorno, es algo inusual porque introduce una nueva variable: la superficie que define la interfaz. No es demasiado sorprendente entonces que la ecuación de equilibrio de tensiones normalmente exija sus propias condiciones de contorno. ${\displaystyle S}$

Para un mejor uso, esta ecuación vectorial normalmente se convierte en 3 ecuaciones escalares a través del producto escalar con la unidad normal y dos tangentes unitarias seleccionadas:

${\displaystyle ((\sigma _{ij}-{\bar {\sigma }}_{ij})\mathbf {\hat {n}} )\cdot \mathbf {\hat {n}} =-\gamma \nabla _{\!S}\cdot \mathbf {\hat {n}} }$

${\displaystyle ((\sigma _{ij}-{\bar {\sigma }}_{ij})\mathbf {\hat {n}} )\cdot \mathbf {{\hat {t}}_{1}} =\nabla _{\!S}\gamma \cdot \mathbf {{\hat {t}}_{1}} }$

${\displaystyle ((\sigma _{ij}-{\bar {\sigma }}_{ij})\mathbf {\hat {n}} )\cdot \mathbf {{\hat {t}}_{2}} =\nabla _{\!S}\gamma \cdot \mathbf {{\hat {t}}_{2}} }$

Obsérvese que los productos que carecen de puntos son productos tensoriales de tensores con vectores (lo que da como resultado vectores similares a un producto matriz-vector), y aquellos que tienen puntos son productos escalares . La primera ecuación se denomina ecuación de tensión normal o condición de contorno de tensión normal. Las dos siguientes ecuaciones se denominan ecuaciones de tensión tangencial .

El tensor de tensión

El tensor de tensión está relacionado con la velocidad y la presión. Su forma real dependerá del fluido específico con el que se trate; para el caso común de flujo newtoniano incompresible, el tensor de tensión viene dado por

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{ij}&=-{\begin{pmatrix}p&0&0\\0&p&0\\0&0&p\end{pmatrix}}+\mu {\begin{pmatrix}2{\frac {\partial u}{\partial x}}&{\frac {\partial u}{\partial y}}+{\frac {\partial v}{\partial x}}&{\frac {\partial u}{\partial z}}+{\frac {\partial w}{\partial x}}\\{\frac {\partial v}{\partial x}}+{\frac {\partial u}{\partial y}}&2{\frac {\partial v}{\partial y}}&{\frac {\partial v}{\partial z}}+{\frac {\partial w}{\partial y}}\\{\frac {\partial w}{\partial x}}+{\frac {\partial u}{\partial z}}&{\frac {\partial w}{\partial y}}+{\frac {\partial v}{\partial z}}&2{\frac {\partial w}{\partial z}}\end{pmatrix}}\\&=-pI+\mu (\nabla \mathbf {v} +(\nabla \mathbf {v} )^{T})\end{aligned}}}$

¿Dónde está la presión en el fluido, es la velocidad y es la viscosidad ? ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mu }$

Interfaces estáticas

En ausencia de movimiento, los tensores de tensión producen solo presión hidrostática , de modo que , independientemente del tipo de fluido o su compresibilidad. Considerando las ecuaciones normal y tangencial, ${\displaystyle \scriptstyle \sigma _{ij}=-pI}$

${\displaystyle {\bar {p}}-p=\gamma \nabla \cdot \mathbf {\hat {n}} }$

${\displaystyle 0=\nabla \gamma \cdot \mathbf {\hat {t}} }$

La primera ecuación establece que las fuerzas de curvatura se equilibran con las fuerzas de presión. La segunda ecuación implica que no puede existir una interfaz estática en presencia de un gradiente de tensión superficial distinto de cero.

Si la gravedad es la única fuerza corporal presente, las ecuaciones de Navier-Stokes se simplifican significativamente:

${\displaystyle 0=-\nabla p+\rho \mathbf {g} }$

Si se eligen coordenadas de modo que la gravedad sea distinta de cero sólo en la dirección, esta ecuación se degrada a una forma particularmente simple: ${\displaystyle z}$

${\displaystyle {\frac {dp}{dz}}=\rho g\quad \Rightarrow \quad p=\rho gz+p_{0}}$

donde es una constante de integración que representa una presión de referencia en . Sustituyendo esto en la ecuación de tensión normal se obtiene lo que se conoce como ecuación de Young-Laplace : ${\displaystyle p_{0}}$ ${\displaystyle z=0}$

${\displaystyle {\bar {\rho }}gz+{\bar {p}}_{0}-(\rho gz+p_{0})=\gamma \nabla \cdot \mathbf {\hat {n}} \quad \Rightarrow \quad \Delta \rho gz+\Delta p=\gamma \nabla \cdot \mathbf {\hat {n}} }$

donde es la diferencia de presión (constante) a través de la interfaz y es la diferencia de densidad . Nótese que, dado que esta ecuación define una superficie, es la coordenada de la superficie capilar. Esta ecuación diferencial parcial no lineal , cuando se proporciona con las condiciones de contorno adecuadas, definirá la interfaz estática. ${\displaystyle \Delta p}$ ${\displaystyle \Delta \rho }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z}$

La diferencia de presión anterior es una constante, pero su valor cambiará si se desplaza la coordenada. La solución lineal de la presión implica que, a menos que el término de gravedad esté ausente , siempre es posible definir la coordenada de modo que . La ecuación de Young-Laplace, que no tiene dimensiones , suele estudiarse en la forma ^[1] ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \Delta p=0}$

${\displaystyle \kappa z+\lambda =\nabla \cdot \mathbf {\hat {n}} }$

donde (si la gravedad está en dirección negativa ) es positivo si el fluido más denso está "dentro" de la interfaz, negativo si está "afuera" y cero si no hay gravedad o si no hay diferencia de densidad entre los fluidos. ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \kappa }$

Esta ecuación no lineal tiene algunas propiedades interesantes, especialmente en términos de existencia de soluciones únicas. Por ejemplo, la inexistencia de una solución para algún problema de valor límite implica que, físicamente, el problema no puede ser estático. Si existe una solución, normalmente existirá para valores muy específicos de , que es representativo del salto de presión a través de la interfaz. Esto es interesante porque no hay otra ecuación física para determinar la diferencia de presión. En un tubo capilar, por ejemplo, la implementación de la condición de contorno del ángulo de contacto producirá una solución única para exactamente un valor de . Las soluciones a menudo no son únicas, esto implica que hay múltiples interfaces estáticas posibles; si bien todas pueden resolver el mismo problema de valor límite, la minimización de la energía normalmente favorecerá a una. Las diferentes soluciones se denominan configuraciones de la interfaz. ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$

Consideración energética

Una propiedad profunda de las superficies capilares es la energía superficial que imparte la tensión superficial:

${\displaystyle E_{S}=\gamma _{S}A_{S}\,}$

donde es el área de la superficie que se está considerando y la energía total es la suma de todas las energías. Nótese que cada interfaz imparte energía. Por ejemplo, si hay dos fluidos diferentes (digamos líquido y gas) dentro de un recipiente sólido sin gravedad ni otros potenciales de energía, la energía del sistema es ${\displaystyle A}$

${\displaystyle E=\sum \gamma _{S}A_{S}=\gamma _{LG}A_{LG}+\gamma _{SG}A_{SG}+\gamma _{SL}A_{SL}\,}$

donde los subíndices , , y indican respectivamente las interfaces líquido-gas, sólido-gas y sólido-líquido. Nótese que la inclusión de la gravedad requeriría considerar el volumen encerrado por la superficie capilar y las paredes sólidas. ${\displaystyle LG}$ ${\displaystyle SG}$ ${\displaystyle SL}$

Ilustración de fuerzas distribuidas en la línea de contacto, con la línea de contacto perpendicular a la imagen. La parte vertical de la línea se equilibra mediante una ligera deformación del sólido (no se muestra y no es relevante para este contexto). ${\displaystyle \gamma _{LG}}$

Normalmente, no se conocen los valores de tensión superficial entre las interfaces sólido-gas y sólido-líquido. Esto no plantea un problema, ya que solo los cambios en la energía son de interés principal. Si el área sólida neta es constante y se conoce el ángulo de contacto , se puede demostrar que (de nuevo, para dos fluidos diferentes en un recipiente sólido) ${\displaystyle A_{SG}+A_{SL}}$

${\displaystyle E=\gamma _{SL}(A_{SL}+A_{SG})+\gamma _{LG}A_{LG}+\gamma _{LG}A_{SG}\cos(\theta )\,}$

de modo que

${\displaystyle {\frac {\Delta E}{\gamma _{LG}}}=\Delta A_{LG}+\Delta A_{SG}\cos(\theta )=\Delta A_{LG}-\Delta A_{SL}\cos(\theta )\,}$

donde es el ángulo de contacto y la delta mayúscula indica el cambio de una configuración a otra. Para obtener este resultado, es necesario sumar las fuerzas (distribuidas) en la línea de contacto (donde se encuentran el sólido, el gas y el líquido) en una dirección tangente a la interfaz del sólido y perpendicular a la línea de contacto: ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=\sum F_{\mathrm {Contact\ line} }\\&=\gamma _{LG}\cos(\theta )+\gamma _{SL}-\gamma _{SG}\end{aligned}}}$

donde la suma es cero debido al estado estático . Cuando las soluciones de la ecuación de Young-Laplace no son únicas, la solución más favorable desde el punto de vista físico es la de energía mínima, aunque los experimentos (especialmente los de baja gravedad) muestran que las superficies metaestables pueden ser sorprendentemente persistentes y que la configuración más estable puede volverse metaestable mediante sacudidas mecánicas sin demasiada dificultad. Por otro lado, una superficie metaestable a veces puede alcanzar espontáneamente una energía menor sin ninguna entrada (al menos aparentemente) si se le da el tiempo suficiente.

Condiciones de contorno

Las condiciones de contorno para el equilibrio de tensiones describen la superficie capilar en la línea de contacto : la línea donde un sólido se encuentra con la interfaz capilar; además, las restricciones de volumen pueden servir como condiciones de contorno (una gota suspendida, por ejemplo, no tiene línea de contacto pero claramente debe admitir una solución única).

Para superficies estáticas, la condición de contorno de la línea de contacto más común es la implementación del ángulo de contacto , que especifica el ángulo en el que uno de los fluidos se encuentra con la pared sólida. La condición del ángulo de contacto en la superficie normalmente se escribe como: ${\displaystyle S}$

${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} \cdot \mathbf {\hat {v}} =\cos(\theta )\,}$

donde es el ángulo de contacto. Esta condición se impone en el límite (o límites) de la superficie. es la unidad normal externa a la superficie sólida, y es una unidad normal a . La elección de depende de para qué fluido se especifica el ángulo de contacto. ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \scriptstyle \partial S}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\hat {v}}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\hat {n}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\hat {n}}}$

En el caso de las interfaces dinámicas, la condición de contorno mostrada anteriormente funciona bien si la velocidad de la línea de contacto es baja. Si la velocidad es alta, el ángulo de contacto cambiará ("ángulo de contacto dinámico") y, a fecha de 2007, no se conoce la mecánica de la línea de contacto en movimiento (ni siquiera la validez del ángulo de contacto como parámetro) y es un área de investigación activa. ^[3]

Véase también

• Presión capilar
• Energía superficial
• Tensión superficial
• Puentes capilares

Referencias

1. Robert Finn (1999). "Interfaces de superficie capilar" (PDF) . Sociedad Matemática Americana .
2. Landau, Lev D .; Lifshitz, Evgeny M. (1987). Mecánica de fluidos . Vol. 6 (2.ª ed.). Butterworth-Heinemann . ISBN 978-0-08-033933-7.
3. EB Dussan V ; Enrique Ramé; Stephen Garoff (septiembre de 1991). "Sobre la identificación de las condiciones de contorno apropiadas en una línea de contacto móvil: una investigación experimental". Revista de mecánica de fluidos . 230 . CJO: 97–116. Código Bibliográfico :1991JFM...230...97D. doi :10.1017/S0022112091000721.