Dentro y fuera del caparazón

Configuraciones de un sistema que satisfacen o no las ecuaciones de movimiento clásicas.

En física , particularmente en teoría cuántica de campos , las configuraciones de un sistema físico que satisfacen las ecuaciones de movimiento clásicas se denominan en la capa de masa ( on shell ); mientras que aquellos que no lo hacen son cancelados del shell masivo ( off shell ).

En la teoría cuántica de campos, las partículas virtuales se denominan fuera de capa porque no satisfacen la relación energía-momento ; Las partículas de intercambio reales satisfacen esta relación y se denominan capa (masa). ^{[1] [2] [3]} En la mecánica clásica , por ejemplo, en la formulación de la acción , las soluciones extremas del principio variacional están en capa y las ecuaciones de Euler-Lagrange dan las ecuaciones en capa. El teorema de Noether sobre las simetrías diferenciables de la acción física y las leyes de conservación es otro teorema integrado.

cáscara de masa

Los puntos en la superficie del hiperboloide (la "capa") son soluciones de la ecuación.

Capa de masa es sinónimo de hiperboloide de masa , es decir, el hiperboloide en el espacio de energía - momento que describe las soluciones de la ecuación:

${\displaystyle E^{2}-|{\vec {p}}\,|^{2}c^{2}=m_{0}^{2}c^{4}}$,

la fórmula de equivalencia masa-energía que da la energía en términos del momento y la masa en reposo de una partícula. La ecuación para la capa de masa también se escribe a menudo en términos de cuatro momentos ; en notación de Einstein con firma métrica (+, −, −, −) y unidades donde la velocidad de la luz , como . En la literatura, también se puede encontrar si la firma métrica utilizada es (−,+,+,+). ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle {\vec {p}}}$ ${\displaystyle m_{0}}$ ${\displaystyle c=1}$ ${\displaystyle p^{\mu }p_{\mu }\equiv p^{2}=m_{0}^{2}}$ ${\displaystyle p^{\mu }p_{\mu }=-m_{0}^{2}}$

El momento de cuatro de una partícula virtual intercambiada es , con masa . Los cuatro momentos de la partícula virtual son la diferencia entre los cuatro momentos de las partículas entrantes y salientes. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle q_{\mu }}$ ${\displaystyle q^{2}=m_{X}^{2}}$ ${\displaystyle q_{\mu }}$

En general, se permite que las partículas virtuales correspondientes a propagadores internos en un diagrama de Feynman estén fuera de la capa, pero la amplitud del proceso disminuirá dependiendo de qué tan lejos de la capa se encuentren. ^[4] Esto se debe a que la dependencia del propagador está determinada por los cuatro momentos de las partículas entrantes y salientes. El propagador suele tener singularidades en la capa de masa. ^[5] ${\displaystyle q^{2}}$

Cuando se habla del propagador, los valores negativos que satisfacen la ecuación se consideran como si estuvieran en una capa, aunque la teoría clásica no permite valores negativos para la energía de una partícula. Esto se debe a que el propagador incorpora en una expresión los casos en los que la partícula transporta energía en una dirección y en los que su antipartícula transporta energía en la otra dirección; Los on-shell negativos y positivos simplemente representan flujos opuestos de energía positiva. ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$

campo escalar

Un ejemplo proviene de considerar un campo escalar en el espacio D -dimensional de Minkowski . Considere una densidad lagrangiana dada por . La acción ${\displaystyle {\mathcal {L}}(\phi ,\partial _{\mu }\phi )}$

${\displaystyle S=\int d^{D}x{\mathcal {L}}(\phi ,\partial _{\mu }\phi )}$

La ecuación de Euler-Lagrange para esta acción se puede encontrar variando el campo y su derivada y estableciendo la variación en cero , y es:

${\displaystyle \partial _{\mu }{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi )}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}}$

Ahora, considere una traslación espacio-temporal infinitesimal . La densidad lagrangiana es un escalar, por lo que se transformará infinitesimalmente como en la transformación infinitesimal. Por otro lado, por expansión de Taylor , tenemos en general ${\displaystyle x^{\mu }\rightarrow x^{\mu }+\alpha ^{\mu }}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle \delta {\mathcal {L}}=\alpha ^{\mu }\partial _{\mu }{\mathcal {L}}}$

${\displaystyle \delta {\mathcal {L}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}\delta \phi +{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi )}}\delta (\partial _{\mu }\phi )}$

Sustituyendo y observando que (ya que las variaciones son independientes en cada punto del espacio-tiempo): ${\displaystyle \delta {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle \delta (\partial _{\mu }\phi )=\partial _{\mu }(\delta \phi )}$

${\displaystyle \alpha ^{\mu }\partial _{\mu }{\mathcal {L}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}\alpha ^{\mu }\partial _{\mu }\phi +{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\nu }\phi )}}\alpha ^{\mu }\partial _{\mu }\partial _{\nu }\phi }$

Dado que esto tiene que ser válido para traducciones independientes , podemos "dividir" por y escribir: ${\displaystyle \alpha ^{\mu }=(\epsilon ,0,...,0),(0,\epsilon ,...,0),...}$ ${\displaystyle \alpha ^{\mu }}$

${\displaystyle \partial _{\mu }{\mathcal {L}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}\partial _{\mu }\phi +{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\nu }\phi )}}\partial _{\mu }\partial _{\nu }\phi }$

Este es un ejemplo de una ecuación que mantiene fuera de shell , ya que es cierta para cualquier configuración de campos independientemente de si respeta las ecuaciones de movimiento (en este caso, la ecuación de Euler-Lagrange dada anteriormente). Sin embargo, podemos derivar una ecuación en capa simplemente sustituyendo la ecuación de Euler-Lagrange:

${\displaystyle \partial _{\mu }{\mathcal {L}}=\partial _{\nu }{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\nu }\phi )}}\partial _{\mu }\phi +{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\nu }\phi )}}\partial _{\mu }\partial _{\nu }\phi }$

Podemos escribir esto como:

${\displaystyle \partial _{\nu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\nu }\phi )}}\partial _{\mu }\phi -\delta _{\mu }^{\nu }{\mathcal {L}}\right)=0}$

Y si definimos la cantidad entre paréntesis como , tenemos: ${\displaystyle T^{\nu }{}_{\mu }}$

${\displaystyle \partial _{\nu }T^{\nu }{}_{\mu }=0}$

Este es un ejemplo del teorema de Noether. Aquí, la cantidad conservada es el tensor tensión-energía , que sólo se conserva en la capa, es decir, si se satisfacen las ecuaciones de movimiento.

Referencias

1. Thomson, M. (2013). Física de partículas moderna . Prensa de la Universidad de Cambridge, ISBN  978-1107034266 , págs.
2. Cachazo, Freddy (21 de diciembre de 2012). "Una inmersión más profunda: dentro y fuera del caparazón". Instituto Perimetral de Física Teórica .
3. Arkani-Hamed, N. (21 de diciembre de 2012). "Amplitudes de dispersión y el Grassmanniano positivo". arXiv : 1212.5605 [hep-th].
4. Jaeger, Gregg (2019). "¿Son las partículas virtuales menos reales?" (PDF) . Entropía . 21 (2): 141. Bibcode : 2019Entrp..21..141J. doi : 10.3390/e21020141 . PMC 7514619 . PMID  33266857. 
5. Thomson, M. (2013). Física de partículas moderna . Prensa de la Universidad de Cambridge, ISBN 978-1107034266 , p.119.