En teoría de números , un cuerpo numérico F se llama totalmente real si para cada incorporación de F en los números complejos la imagen se encuentra dentro de los números reales . Las condiciones equivalentes son que F se genera sobre Q mediante una raíz de un polinomio entero P , siendo todas las raíces de P reales; o que el álgebra del producto tensorial de F con el campo real, sobre Q , es isomorfa a una potencia tensorial de R.
Por ejemplo, los campos cuadráticos F de grado 2 sobre Q son reales (y luego totalmente reales) o complejos, dependiendo de si la raíz cuadrada de un número positivo o negativo está unida a Q. En el caso de campos cúbicos , un polinomio entero cúbico P irreducible sobre Q tendrá al menos una raíz real. Si tiene una raíz real y dos complejas, la correspondiente extensión cúbica de Q definida por la unión de la raíz real no será totalmente real, aunque sea un cuerpo de números reales.
Los campos de números totalmente reales desempeñan un papel especial importante en la teoría algebraica de números . Una extensión abeliana de Q es totalmente real o contiene un subcampo totalmente real sobre el cual tiene grado dos.
Cualquier campo numérico que sea Galois sobre los racionales debe ser totalmente real o totalmente imaginario .