Cuadratura de la parábola ( en griego : Τετραγωνισμὸς παραβολῆς ) es un tratado de geometría escrito por Arquímedes en el siglo III a. C. y dirigido a su conocido alejandrino Dositeo. Contiene 24 proposiciones sobre parábolas , que culminan con dos pruebas que muestran que el área de un segmento parabólico (la región encerrada por una parábola y una línea ) esla de un cierto triángulo inscrito .
Es una de las obras más conocidas de Arquímedes, en particular por su ingenioso uso del método de exhaución y en la segunda parte de una serie geométrica . Arquímedes disecciona el área en infinitos triángulos cuyas áreas forman una progresión geométrica . [1] Luego calcula la suma de la serie geométrica resultante y demuestra que ésta es el área del segmento parabólico. Esto representa el uso más sofisticado de un argumento de reductio ad absurdum en las matemáticas de la antigua Grecia , y la solución de Arquímedes permaneció insuperable hasta el desarrollo del cálculo integral en el siglo XVII, siendo sucedida por la fórmula de cuadratura de Cavalieri . [2]
Un segmento parabólico es la región limitada por una parábola y una recta. Para hallar el área de un segmento parabólico, Arquímedes considera un determinado triángulo inscrito. La base de este triángulo es la cuerda dada de la parábola, y el tercer vértice es el punto de la parábola tal que la tangente a la parábola en ese punto es paralela a la cuerda. La proposición 1 de la obra establece que una recta desde el tercer vértice trazada paralela al eje divide la cuerda en segmentos iguales. El teorema principal afirma que el área del segmento parabólico es la del triángulo inscrito.
Las secciones cónicas como la parábola ya eran bien conocidas en la época de Arquímedes gracias a Menecmo un siglo antes. Sin embargo, antes de la llegada del cálculo diferencial e integral , no existían medios sencillos para hallar el área de una sección cónica. Arquímedes proporciona la primera solución comprobada a este problema centrándose específicamente en el área delimitada por una parábola y una cuerda. [3]
Arquímedes ofrece dos demostraciones del teorema principal: una utilizando la mecánica abstracta y la otra mediante la geometría pura. En la primera demostración, Arquímedes considera una palanca en equilibrio bajo la acción de la gravedad, con segmentos ponderados de una parábola y un triángulo suspendidos a lo largo de los brazos de una palanca a distancias específicas del fulcro. [4] Cuando se conoce el centro de gravedad del triángulo, el equilibrio de la palanca da como resultado el área de la parábola en términos del área del triángulo que tiene la misma base y la misma altura. [5] Arquímedes se desvía aquí del procedimiento que se encuentra en Sobre el equilibrio de los planos en que tiene los centros de gravedad a un nivel inferior al de la balanza. [6] La segunda y más famosa demostración utiliza la geometría pura, en particular la suma de una serie geométrica.
De las veinticuatro proposiciones, las tres primeras se citan sin prueba de los Elementos de las cónicas de Euclides (una obra perdida de Euclides sobre las secciones cónicas ). Las proposiciones 4 y 5 establecen propiedades elementales de la parábola. Las proposiciones 6 a 17 dan la prueba mecánica del teorema principal; las proposiciones 18 a 24 presentan la prueba geométrica.
La idea principal de la demostración es la disección del segmento parabólico en infinitos triángulos, como se muestra en la figura de la derecha. Cada uno de estos triángulos está inscrito en su propio segmento parabólico de la misma manera que el triángulo azul está inscrito en el segmento grande.
En las proposiciones dieciocho a veintiuno, Arquímedes demuestra que el área de cada triángulo verde es el área del triángulo azul, de modo que ambos triángulos verdes juntos suman el área del triángulo azul. Desde un punto de vista moderno, esto se debe a que el triángulo verde tiene el ancho y la altura del triángulo azul: [7]
Siguiendo el mismo argumento, cada uno de los triángulos amarillos tiene el área de un triángulo verde o el área del triángulo azul, sumando el área del triángulo azul; cada uno de los triángulos rojos tiene el área de un triángulo amarillo, sumando el área del triángulo azul; etc. Utilizando el método de exhalatoria , se deduce que el área total del segmento parabólico está dada por
Aquí T representa el área del triángulo azul grande, el segundo término representa el área total de los dos triángulos verdes, el tercer término representa el área total de los cuatro triángulos amarillos, y así sucesivamente. Esto se simplifica para dar
Para completar la prueba, Arquímedes demuestra que
La fórmula anterior es una serie geométrica : cada término sucesivo es un cuarto del término anterior. En matemáticas modernas, esa fórmula es un caso especial de la fórmula de suma para una serie geométrica .
Arquímedes calcula la suma utilizando un método completamente geométrico, [8] ilustrado en la imagen adyacente. Esta imagen muestra un cuadrado unitario que ha sido diseccionado en una infinidad de cuadrados más pequeños. Cada cuadrado violeta sucesivo tiene una cuarta parte del área del cuadrado anterior, siendo el área violeta total la suma
Sin embargo, los cuadrados violetas son congruentes con cualquiera de los conjuntos de cuadrados amarillos y, por lo tanto, cubren el área del cuadrado unitario. De ello se deduce que la serie anterior suma (ya que ).
