Sobre los tamaños y las distancias (Aristarco)

Obra de Aristarco de Samos, astrónomo griego

Cálculos de Aristarco del siglo III a. C. sobre los tamaños relativos del Sol, la Tierra y la Luna, desde la izquierda, a partir de una copia griega del siglo X d. C.

Sobre los tamaños y distancias (del sol y la luna) ( griego antiguo : Περὶ μεγεθῶν καὶ ἀποστημάτων [ἡλίου καὶ σελήνης] , romanizado :  Perì megethôn kaì apost ēmátōn [hēlíou kaì selḗnēs] ) es ampliamente aceptado como la única obra existente escrita por Aristarco de Samos , un antiguo astrónomo griego que vivió alrededor del 310 al 230 a. C. Este trabajo calcula los tamaños del Sol y la Luna , así como sus distancias a la Tierra en términos del radio terrestre.

Es de suponer que el libro fue conservado por estudiantes del curso de matemáticas de Pappus de Alejandría , aunque no hay evidencia de ello. La editio princeps fue publicada por John Wallis en 1688, utilizando varios manuscritos medievales compilados por Sir Henry Savile . ^[1] La primera traducción latina fue realizada por Giorgio Valla en 1488. También hay una traducción latina de 1572 y un comentario de Frederico Commandino . ^{[2] [3]}

Símbolos

El método de trabajo se basó en varias observaciones:

• El tamaño aparente del Sol y la Luna en el cielo.
• El tamaño de la sombra de la Tierra en relación con la Luna durante un eclipse lunar
• El ángulo entre el Sol y la Luna durante la media luna es de 90°.

El resto del artículo detalla una reconstrucción del método y los resultados de Aristarco. ^[4] La reconstrucción utiliza las siguientes variables:

Media Luna

Aristarco partió de la premisa de que, durante la media luna , la luna forma un triángulo rectángulo con el Sol y la Tierra. Al observar el ángulo entre el Sol y la Luna, φ , la relación entre las distancias al Sol y la Luna podría deducirse utilizando una forma de trigonometría .

A partir del diagrama y la trigonometría, podemos calcular que

${\displaystyle {\frac {S}{L}}={\frac {1}{\cos \varphi }}=\sec \varphi .}$

El diagrama es muy exagerado, porque en realidad S = 390 L y φ está extremadamente cerca de 90°. Aristarco determinó que φ era una trigésima parte de un cuadrante (en términos modernos, 3°) menor que un ángulo recto: en la terminología actual, 87°. Las funciones trigonométricas aún no se habían inventado, pero utilizando un análisis geométrico al estilo de Euclides , Aristarco determinó que

${\displaystyle 18<{\frac {S}{L}}<20.}$

En otras palabras, la distancia al Sol era entre 18 y 20 veces mayor que la distancia a la Luna. Este valor (o valores cercanos a él) fue aceptado por los astrónomos durante los siguientes dos mil años, hasta que la invención del telescopio permitió una estimación más precisa del paralaje solar .

Aristarco también razonó que como el tamaño angular del Sol y la Luna eran iguales, pero la distancia al Sol era entre 18 y 20 veces mayor que la de la Luna, el Sol debía ser, por tanto, entre 18 y 20 veces más grande.

Eclipse lunar

Aristarco luego utilizó otra construcción basada en un eclipse lunar:

Por semejanza de los triángulos, y ${\displaystyle {\frac {D}{L}}={\frac {t}{t-d}}\quad }$ ${\displaystyle \quad {\frac {D}{S}}={\frac {t}{s-t}}.}$

Al dividir estas dos ecuaciones y utilizar la observación de que el Sol y la Luna parecen del mismo tamaño para los habitantes de la Tierra, se obtiene ${\displaystyle s/S=\ell /L}$

${\displaystyle {\frac {\ell }{s}}={\frac {t-d}{s-t}}\ \ \implies \ \ {\frac {s-t}{s}}={\frac {t-d}{\ell }}\ \ \implies \ \ {\frac {t}{\ell }}+{\frac {t}{s}}=1+{\frac {d}{\ell }}.}$

La ecuación más a la derecha se puede resolver para o ${\displaystyle \ell /t}$ ${\displaystyle s/t}$

${\displaystyle {\frac {\ell }{t}}={\frac {1+{\dfrac {\ell }{s}}}{1+{\dfrac {d}{\ell }}}},\qquad {\frac {s}{t}}={\frac {1+{\dfrac {s}{\ell }}}{1+{\dfrac {d}{\ell }}}}.}$

Se puede hacer que estas ecuaciones parezcan más simples expresando las longitudes y en términos del radio de la luna como una unidad, definiendo y Entonces ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle {\hat {d}}=d/\ell }$ ${\displaystyle {\hat {s}}=s/\ell .}$

${\displaystyle {\frac {\ell }{t}}={\frac {1+{\hat {s}}}{{\hat {s}}(1+{\hat {d}})}},\qquad {\frac {s}{t}}={\frac {1+{\hat {s}}}{1+{\hat {d}}}}}$

Las ecuaciones anteriores dan los radios de la Luna y el Sol enteramente en términos de cantidades observables.

Las siguientes fórmulas dan las distancias al Sol y a la Luna en unidades terrestres:

${\displaystyle {\frac {L}{t}}=\left({\frac {\ell }{t}}\right)\left({\frac {180}{\pi \theta }}\right)}$

${\displaystyle {\frac {S}{t}}={\biggl (}{\frac {s}{t}}{\biggr )}\left({\frac {180}{\pi \theta }}\right)}$

donde θ es el radio aparente de la Luna y el Sol medido en grados.

Es poco probable que Aristarco haya utilizado estas fórmulas exactas, sin embargo, estas fórmulas probablemente sean una buena aproximación a las de Aristarco.

Resultados

Las fórmulas anteriores se pueden utilizar para reconstruir los resultados de Aristarco. La siguiente tabla muestra los resultados de una reconstrucción de larga data (pero dudosa) utilizando n = 2, x = 19,1 ( φ = 87°) y θ = 1°, junto con los valores aceptados en la actualidad.

^{[ cita necesaria ]}

El error en este cálculo proviene principalmente de los valores deficientes de x y θ . El pobre valor de θ es especialmente sorprendente, ya que Arquímedes escribe que Aristarco fue el primero en determinar que el Sol y la Luna tenían un diámetro aparente de medio grado. Esto daría un valor de θ = 0,25 y una distancia correspondiente a la Luna de 80 radios terrestres, una estimación mucho mejor. El desacuerdo de la obra con Arquímedes parece deberse a que tomó una afirmación de Aristarco de que el diámetro lunisolar es 1/15 de "meros" del zodíaco por 1/15 de signo zodiacal (30°), sin saber que el La palabra griega "meros" significaba "porción" o 7°1/2; y 1/15 de esta última cantidad es 1°/2, de acuerdo con el testimonio de Arquímedes.

Hiparco utilizó más tarde un procedimiento similar , que estimó la distancia media a la Luna en 67 radios terrestres, y Ptolomeo , que tomó 59 radios terrestres para este valor.

Ilustraciones

Algunas ilustraciones interactivas de las proposiciones de On Sizes se pueden encontrar aquí:

• La hipótesis 4 establece que cuando la Luna nos aparece dividida en dos, su distancia al Sol es entonces menor que un cuadrante por una trigésima parte de un cuadrante [es decir, es menor que 90° por 1/30 de 90° o 3° , y por lo tanto es igual a 87°] (Heath 1913:353).
• La proposición 1 dice que dos esferas iguales están comprendidas por un mismo cilindro, y dos esferas desiguales por un mismo cono que tiene su vértice en dirección a la esfera menor; y la línea recta trazada a través de los centros de las esferas forma ángulos rectos con cada uno de los círculos en los que la superficie del cilindro o del cono toca las esferas (Heath 1913:354).
• La Proposición 2 establece que si una esfera es iluminada por una esfera mayor que ella misma, la porción iluminada de la primera esfera será mayor que un hemisferio (Heath 1913:358).
• La Proposición 3 establece que el círculo de la Luna que divide las partes oscura y brillante es menor cuando el cono que comprende tanto el Sol como la Luna tiene su vértice en nuestro ojo (Heath 1913:362).
• La Proposición 4 establece que el círculo que divide las partes oscura y brillante de la Luna no es perceptiblemente diferente de un gran círculo de la Luna (Heath 1913:365).
• La Proposición 6 establece que la Luna se mueve [en una órbita] más baja que [la del] Sol y, cuando se reduce a la mitad, está a menos de un cuadrante de distancia del Sol (Heath 1913:372).
• La Proposición 7 establece que la distancia del Sol a la Tierra es mayor que 18 veces, pero menos de 20 veces, la distancia de la Luna a la Tierra (Heath 1913:377). En otras palabras, el Sol está entre 18 y 20 veces más lejos y más ancho que la Luna.
• La Proposición 13 establece que la línea recta que subtiende la porción interceptada dentro de la sombra de la Tierra de la circunferencia del círculo en el que se mueven los extremos del diámetro del círculo que divide las porciones oscura y brillante de la Luna es menos del doble del diámetro de la Luna, pero tiene entre ella una proporción mayor que la que tiene 88 con 45; y es menos de 1/9 parte del diámetro del Sol, pero tiene con él una proporción mayor que la que tiene 21 con 225. Pero tiene con la línea recta trazada desde el centro del Sol en ángulo recto con el eje y encontrando los lados del cono en una proporción mayor que la que tiene 979 con respecto a 10 125 (Heath 1913:394).
• La Proposición 14 establece que la recta que une el centro de la Tierra con el centro de la Luna tiene a la recta cortada del eje hacia el centro de la Luna por la recta que subtiende la [circunferencia] dentro de la sombra de la Tierra a relación mayor que la que tiene 675 con 1 (Heath 1913:400).
• La Proposición 15 establece que el diámetro del Sol tiene con respecto al diámetro de la Tierra una relación mayor que 19/3, pero menor que 43/6 (Heath 1913:403). Esto significa que el Sol es (una media de) 6+3 ⁄ 4 veces más ancho que la Tierra, o que el Sol tiene 13+1 ⁄ 2 radios terrestres de ancho. Entonces la Luna y el Sol deben tener 20+1 ⁄ 4 y 387 radios terrestres de distancia de nosotros para subtender un tamaño angular de 2º.
• La proposición 17a en la versión árabe medieval de al-Tusi del libro Sobre tamaños establece que la relación entre la distancia del vértice del cono de sombra al centro de la Luna (cuando la Luna está sobre el eje [es decir, en el medio de un eclipse] del cono que contiene la Tierra y el Sol) a la distancia del centro de la Luna al centro de la Tierra es mayor que la proporción 71 a 37 y menor que la proporción 3 a uno (Berggren & Sidoli 2007: 218). ^[5] En otras palabras, que la punta del cono de sombra de la Tierra está entre 108/37 y cuatro veces más lejos que la Luna.

Copias conocidas

• Exposición del Vaticano de la Biblioteca del Congreso.

Ver también

• Aristarco de Samos
• Eratóstenes (c.  276  – c.  194/195 a. C. ), matemático griego que calculó la circunferencia de la Tierra y también la distancia de la Tierra al Sol.
• Hiparco (c.  190  – c.  120 a. C. ), matemático griego que midió los radios del Sol y la Luna, así como sus distancias a la Tierra.
• Sobre los tamaños y distancias (Hiparco)
• Posidonio (c.  135  – c.  51 a. C. ), astrónomo y matemático griego que calculó la circunferencia de la Tierra.

Notas

1. Brezo, Thomas (1913). Aristarco de Samos, el antiguo Copérnico. Oxford: Clarendon. pag. 323.
2. Berggren y Sidoli. 2007. 'Sobre los tamaños y distancias del sol y la luna de Aristarco: textos griegos y árabes'. Arco. Historia. Ciencia exacta. 61 (3), págs. 213–54. doi :10.1007/s00407-006-0118-4
3. Noack B. (1992) Aristarca von Samos: Untersuchungen zur Überlieferungsgeschichte der Schrif Περὶ μεγεθῶν καὶ ἀποστημάτων ἡλίου καὶ σελήν ης , Wiesbaden.
4. Un vídeo sobre la reconstrucción del método de Aristarco (en turco, sin subtítulos)
5. Berggren, JL y N. Sidoli (2007) "'Sobre los tamaños y distancias del sol y la luna de Aristarco: textos griegos y árabes', Archivo de Historia de las Ciencias Exactas, Vol. 61, núm. 3, 213–254 " (PDF) . Archivado desde el original el 28 de abril de 2011 . Consultado el 7 de noviembre de 2011 .{{cite web}}: CS1 maint: bot: original URL status unknown (link).

Bibliografía

• Gómez, Alberto (2023). Decodificando a Aristarco. Berlín : Peter Lang Verlag . ISBN 9783631892619.
• Brezo, Thomas (1913). Aristarco de Samos, el antiguo Copérnico. Oxford: Clarendon. Esto se reimprimió posteriormente, véase ( ISBN 0-486-43886-4 ). 
• van Helden, A. Medición del universo: dimensiones cósmicas desde Aristarco hasta Halley . Chicago: Universidad. de Chicago Pr., 1985. ISBN 0-226-84882-5 .