Elipsoide de Poinsot

Método geométrico para visualizar un cuerpo rígido giratorio

En mecánica clásica , la construcción de Poinsot (en honor a Louis Poinsot ) es un método geométrico para visualizar el movimiento sin par de un cuerpo rígido giratorio , es decir, el movimiento de un cuerpo rígido sobre el que no actúan fuerzas externas. Este movimiento tiene cuatro constantes: la energía cinética del cuerpo y los tres componentes del momento angular , expresados ​​con respecto a un marco de laboratorio inercial. El vector de velocidad angular del rotor rígido no es constante , pero satisface las ecuaciones de Euler . La conservación de la energía cinética y el momento angular proporcionan dos restricciones al movimiento de . ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$

Sin resolver explícitamente estas ecuaciones, el movimiento se puede describir geométricamente de la siguiente manera: ^[1] ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$

• El movimiento del cuerpo rígido está determinado enteramente por el movimiento de su elipsoide de inercia , que está fijado rígidamente al cuerpo rígido como un marco de coordenadas.
• Su elipsoide de inercia rueda, sin resbalar, sobre el plano invariable , con el centro del elipsoide a una altura constante sobre el plano.
• En todo momento, es el punto de contacto entre el elipsoide y el plano. ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$

El movimiento es periódico, por lo que traza dos curvas cerradas, una en el elipsoide y otra en el plano. ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$

• La curva cerrada en el elipsoide es la polhoda .
• La curva cerrada en el plano es la herpolhoda .

Si el cuerpo rígido es simétrico (tiene dos momentos de inercia iguales ), el vector describe un cono (y su punto final un círculo). Esta es la precesión sin par del eje de rotación del rotor. ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$

Restricción de energía cinética angular

La ley de conservación de la energía implica que, en ausencia de disipación de energía o pares aplicados, la energía cinética angular se conserva, por lo que . ${\displaystyle T\ }$ ${\textstyle {\frac {dT}{dt}}=0}$

La energía cinética angular puede expresarse en términos del tensor del momento de inercia y del vector de velocidad angular. ${\displaystyle \mathbf {I} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\omega }}\cdot \mathbf {I} \cdot {\boldsymbol {\omega }}={\frac {1}{2}}I_{1}\omega _{1}^{2}+{\frac {1}{2}}I_{2}\omega _{2}^{2}+{\frac {1}{2}}I_{3}\omega _{3}^{2}}$

donde son los componentes del vector de velocidad angular , y son los momentos principales de inercia cuando ambos están en el marco del cuerpo. Por lo tanto, la conservación de la energía cinética impone una restricción en el vector de velocidad angular tridimensional ; en el marco del eje principal, debe estar en el elipsoide definido por la ecuación anterior, llamado elipsoide de inercia . ${\displaystyle \omega _{k}\ }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$ ${\displaystyle I_{k}\ }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$

La trayectoria trazada en este elipsoide por el vector de velocidad angular se llama polhoda (acuñado por Poinsot a partir de raíces griegas para "trayectoria polar") y generalmente es circular o tiene forma de taco . ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$

Restricción del momento angular

La ley de conservación del momento angular establece que, en ausencia de pares aplicados, el vector del momento angular se conserva en un marco de referencia inercial , por lo que . ${\displaystyle \mathbf {L} }$ ${\textstyle {\frac {d\mathbf {L} }{dt}}=0}$

El vector de momento angular se puede expresar en términos del tensor del momento de inercia y del vector de velocidad angular. ${\displaystyle \mathbf {L} }$ ${\displaystyle \mathbf {I} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$

${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {I} \cdot {\boldsymbol {\omega }}}$

lo que nos lleva a la ecuación

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\omega }}\cdot \mathbf {L} .}$

Dado que el producto escalar de y es constante, y él mismo es constante, el vector de velocidad angular tiene un componente constante en la dirección del vector de momento angular . Esto impone una segunda restricción al vector ; en el espacio absoluto, debe estar en el plano invariable definido por su producto escalar con el vector conservado . El vector normal al plano invariable está alineado con . La trayectoria trazada por el vector de velocidad angular en el plano invariable se llama herpolhode (acuñado a partir de raíces griegas para "trayectoria de polos serpenteantes"). ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$ ${\displaystyle \mathbf {L} }$ ${\displaystyle \mathbf {L} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$ ${\displaystyle \mathbf {L} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$ ${\displaystyle \mathbf {L} }$ ${\displaystyle \mathbf {L} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$

La herpolhoda es generalmente una curva abierta, lo que significa que la rotación no se repite perfectamente, sino que la polhoda es una curva cerrada (ver más abajo). ^[2]

Condición de tangencia y construcción

Estas dos restricciones operan en diferentes marcos de referencia; la restricción elipsoidal se cumple en el marco del eje principal (rotativo), mientras que la constante plana invariable opera en el espacio absoluto. Para relacionar estas restricciones, observamos que el vector gradiente de la energía cinética con respecto al vector de velocidad angular es igual al vector de momento angular. ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$ ${\displaystyle \mathbf {L} }$

${\displaystyle {\frac {dT}{d{\boldsymbol {\omega }}}}=\mathbf {I} \cdot {\boldsymbol {\omega }}=\mathbf {L} .}$

Por lo tanto, el vector normal al elipsoide de energía cinética en es proporcional a , lo que también es cierto para el plano invariable. Dado que sus vectores normales apuntan en la misma dirección, estas dos superficies se intersectarán tangencialmente. ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$ ${\displaystyle \mathbf {L} }$

En conjunto, estos resultados muestran que, en un sistema de referencia absoluto, el vector de velocidad angular instantánea es el punto de intersección entre un plano fijo invariable y un elipsoide de energía cinética que es tangente a él y rueda sobre él sin resbalar. Esta es la construcción de Poinsot . ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$

Derivación de los polos en el marco del cuerpo

En el sistema de ejes principales (que gira en el espacio absoluto), el vector de momento angular no se conserva ni siquiera en ausencia de pares aplicados, sino que varía como se describe en las ecuaciones de Euler . Sin embargo, en ausencia de pares aplicados, tanto la magnitud del momento angular como la energía cinética se conservan. ${\displaystyle L\ }$ ${\displaystyle T\ }$

${\displaystyle {\begin{aligned}L^{2}&=L_{1}^{2}+L_{2}^{2}+L_{3}^{2}\\[2pt]T&={\frac {L_{1}^{2}}{2I_{1}}}+{\frac {L_{2}^{2}}{2I_{2}}}+{\frac {L_{3}^{2}}{2I_{3}}}\end{aligned}}}$

donde son los componentes del vector de momento angular a lo largo de los ejes principales, y son los momentos principales de inercia. ${\displaystyle L_{k}\ }$ ${\displaystyle I_{k}\ }$

Estas leyes de conservación son equivalentes a dos restricciones del vector de momento angular tridimensional . La energía cinética obliga a que se encuentre en un elipsoide, mientras que la restricción del momento angular obliga a que se encuentre en una esfera . Estas dos superficies se intersecan en dos curvas con forma de borde de un taco que definen las posibles soluciones para . Esto demuestra que , y la polhoda, permanecen en un bucle cerrado, en el marco de referencia móvil del objeto. ${\displaystyle \mathbf {L} }$ ${\displaystyle \mathbf {L} }$ ${\displaystyle \mathbf {L} }$ ${\displaystyle \mathbf {L} }$ ${\displaystyle \mathbf {L} }$

La orientación del cuerpo en el espacio tiene, por tanto, dos grados de libertad. En primer lugar, algún punto del "borde del taco" tiene que alinearse con el cual es un vector constante en el espacio absoluto. En segundo lugar, con el vector en el marco del cuerpo que pasa por este punto fijo, el cuerpo puede tener cualquier cantidad de rotación alrededor de ese vector. Así que, en principio, la orientación del cuerpo es algún punto en una variedad toroidal de 2 dentro de la variedad de 3 de todas las orientaciones. En general, el objeto seguirá una trayectoria no periódica en este toro, pero puede seguir una trayectoria periódica. El tiempo que tarda en completar un ciclo alrededor de su trayectoria en el marco del cuerpo es constante, pero después de un ciclo, el cuerpo habrá girado una cantidad que puede no ser un número racional de grados, en cuyo caso la orientación no será periódica, sino casi periódica . ${\displaystyle \mathbf {L} ,}$ ${\displaystyle \mathbf {L} }$

En general, un toro está determinado casi por tres parámetros: la relación entre el segundo y el tercer momento de inercia y el mayor de los tres momentos de inercia, y la relación entre el momento angular y la energía multiplicada por el momento de inercia más alto. Pero para cualquier conjunto de parámetros hay dos toros, porque hay dos "tacos" (que corresponden a dos polígonos). Un conjunto de rotaciones de 180° lleva cualquier orientación de un toro a una orientación del otro con el punto opuesto alineado con el vector del momento angular. Si el momento angular está exactamente alineado con un eje principal, el toro degenera en un solo bucle. Si exactamente dos momentos de inercia son iguales (un llamado cuerpo simétrico), entonces, además de toros, habrá un número infinito de bucles, y si los tres momentos de inercia son iguales, habrá bucles pero no toros. Si los tres momentos de inercia son todos diferentes pero el eje intermedio no está alineado con el momento angular, entonces la orientación será algún punto en un anillo abierto topológico . ${\displaystyle L^{2}/(TI_{3})}$ ${\displaystyle L^{2}=TI_{2}}$

Inestabilidad de rotación

Por todo ello, cuando el vector de velocidad angular (o el vector de momento angular) no está próximo al eje de mayor o menor inercia, el cuerpo "da volteretas". La mayoría de las lunas giran más o menos alrededor de su eje de mayor inercia (debido a efectos viscosos), pero Hiperión (una luna de Saturno), dos lunas de Plutón y muchos otros cuerpos pequeños del Sistema Solar tienen rotaciones volteadas.

Demostración del efecto Dzhanibekov en microgravedad , NASA .

Si el cuerpo se pone a girar sobre su eje principal intermedio, entonces la intersección del elipsoide y la esfera es como dos bucles que se cruzan en dos puntos, alineados con ese eje. Si la alineación con el eje intermedio no es perfecta, entonces acabará desplazándose de este punto por una de las cuatro pistas que parten de este punto y se dirigirá al punto opuesto. Esto corresponde a moverse hacia su antípoda en el elipsoide de Poinsot. Véase el vídeo a la derecha y el teorema de la raqueta de tenis . ${\displaystyle \mathbf {L} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$

Esta construcción difiere de la construcción de Poinsot porque considera el vector del momento angular en lugar del vector de la velocidad angular . Parece haber sido desarrollada por Jacques Philippe Marie Binet . ^{[ cita requerida ]} ${\displaystyle \mathbf {L} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$

Caso especial

En el caso general de rotación de un cuerpo asimétrico, que tiene diferentes valores del momento de inercia sobre los tres ejes principales, el movimiento de rotación puede ser bastante complejo a menos que el cuerpo esté rotando alrededor de un eje principal. Como se describe en el teorema de la raqueta de tenis , la rotación de un objeto alrededor de su primer o tercer eje principal es estable, mientras que la rotación alrededor de su segundo eje principal (o eje intermedio) no lo es. El movimiento se simplifica en el caso de un cuerpo axisimétrico, en el que el momento de inercia es el mismo sobre dos de los ejes principales. Estos casos incluyen la rotación de un esferoide alargado (la forma de una pelota de fútbol americano) o la rotación de un esferoide achatado (la forma de una esfera aplanada). En este caso, la velocidad angular describe un cono y el polhode es un círculo. Este análisis es aplicable, por ejemplo, a la precesión axial de la rotación de un planeta (el caso de un esferoide achatado).

Aplicaciones

Una de las aplicaciones de la construcción de Poinsot es la visualización de la rotación de una nave espacial en órbita. ^[3]

Véase también

• Polhode
• Precesión
• Ejes principales
• Dinámica de cuerpo rígido
• Momento de inercia
• Rotaciones Tait-Bryan
• Ángulos de Euler
• Elipsoide de MacCullagh
• Cascabel

Referencias

1. Goldstein, Herbert; John L. Safko; Charles P. Poole (2011). "5.6 Movimiento sin par de torsión de un cuerpo rígido". Mecánica clásica (tercera edición). ISBN 978-81-317-5891-5.OCLC 960166650  .
2. Jerry Ginsberg. "Efectos giroscópicos", Engineering Dynamics, volumen 10, pág. 650, Cambridge University Press, 2007
3. F. Landis Markley y John L. Crassidis, Capítulo 3.3, "Dinámica de actitud", pág. 89; Fundamentos de la determinación y control de la actitud de las naves espaciales, Springer Technology and Engineering Series, 2014.

Fuentes

• Poinsot (1834) Theorie Nouvelle de la Rotation des Corps , Bachelier, París.
• Landau LD y Lifshitz EM (1976) Mecánica , 3.ª ed., Pergamon Press. ISBN 0-08-021022-8 (tapa dura) e ISBN 0-08-029141-4 (tapa blanda).  
• Goldstein H. (1980) Mecánica clásica , 2.ª ed., Addison-Wesley. ISBN 0-201-02918-9 
• Symon KR. (1971) Mecánica , 3.ª ed., Addison-Wesley. ISBN 0-201-07392-7 

Enlaces externos

• Construcción de Poinsot en simulación 3D estéreo: en línea y gratis.