Cálculo funcional continuo

En matemáticas , particularmente en teoría de operadores y teoría de álgebra C* , el cálculo funcional continuo es un cálculo funcional que permite la aplicación de una función continua a elementos normales de un álgebra C*.

En teoría avanzada, las aplicaciones de este cálculo funcional son tan naturales que a menudo ni siquiera se mencionan. No es exagerado decir que el cálculo funcional continuo marca la diferencia entre las C*-álgebras y las álgebras de Banach generales , en las que solo existe un cálculo funcional holomorfo .

Motivación

Si se quiere extender el cálculo funcional natural para polinomios en el espectro de un elemento de un álgebra de Banach a un cálculo funcional para funciones continuas en el espectro, parece obvio aproximar una función continua por polinomios según el teorema de Stone-Weierstrass , insertar el elemento en estos polinomios y mostrar que esta secuencia de elementos converge a . Las funciones continuas en se aproximan por polinomios en y , es decir, por polinomios de la forma . Aquí, denota la conjugación compleja , que es una involución en los números complejos . ^[1] Para poder insertar en lugar de en este tipo de polinomio, se consideran *-álgebras de Banach , es decir, álgebras de Banach que también tienen una involución *, y se inserta en lugar de . Para obtener un homomorfismo , es necesaria una restricción a los elementos normales, es decir, elementos con , ya que el anillo polinomial es conmutativo . Si es una sucesión de polinomios que converge uniformemente a una función continua , debe asegurarse la convergencia de la sucesión en a un elemento . Un análisis detallado de este problema de convergencia muestra que es necesario recurrir a las C*-álgebras. Estas consideraciones conducen al llamado cálculo funcional continuo. ${\displaystyle \sigma (a)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle C(\sigma (a))}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \sigma (a)\subset \mathbb {C} }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle {\overline {z}}}$ ${\textstyle p(z,{\overline {z}})=\sum _{k,l=0}^{N}c_{k,l}z^{k}{\overline {z}}^{l}\;\left(c_{k,l}\in \mathbb {C} \right)}$ ${\displaystyle {\overline {z}}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle a^{*}}$ ${\displaystyle {\overline {z}}}$ ${\displaystyle {\mathbb {C} }[z,{\overline {z}}]\rightarrow {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle a^{*}a=aa^{*}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [z,{\overline {z}}]}$ ${\displaystyle (p_{n}(z,{\overline {z}}))_{n}}$ ${\displaystyle \sigma (a)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (p_{n}(a,a^{*}))_{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle f(a)}$

Teorema

cálculo funcional continuo  —  Sea un elemento normal del C*-álgebra con elemento unidad y sea el C*-álgebra conmutativa de funciones continuas en , el espectro de . Entonces existe exactamente un *-homomorfismo con para y para la identidad . ^[2] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle C(\sigma (a))}$ ${\displaystyle \sigma (a)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \Phi _{a}\colon C(\sigma (a))\rightarrow {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \Phi _{a}({\boldsymbol {1}})=e}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {1}}(z)=1}$ ${\displaystyle \Phi _{a}(\operatorname {Id} _{\sigma (a)})=a}$

La aplicación se denomina cálculo funcional continuo del elemento normal . Generalmente se establece de manera sugestiva . ^[3] ${\displaystyle \Phi _{a}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f(a):=\Phi _{a}(f)}$

Debido a la propiedad de *-homomorfismo, las siguientes reglas de cálculo se aplican a todas las funciones y escalares : ^[4] ${\displaystyle f,g\in C(\sigma (a))}$ ${\displaystyle \lambda ,\mu \in \mathbb {C} }$

Por lo tanto, podemos imaginarnos insertando los elementos normales en funciones continuas; las operaciones algebraicas obvias se comportan como se espera.

El requisito de un elemento unitario no es una restricción significativa. Si es necesario, se puede añadir un elemento unitario , obteniéndose la C*-álgebra ampliada . Entonces, si y con , se sigue que y . ^[5] ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{1}}$ ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle f\in C(\sigma (a))}$ ${\displaystyle f(0)=0}$ ${\displaystyle 0\in \sigma (a)}$ ${\displaystyle f(a)\in {\mathcal {A}}\subset {\mathcal {A}}_{1}}$

La existencia y unicidad del cálculo funcional continuo se demuestran por separado:

• Existencia: Puesto que el espectro de en la subálgebra C* generada por y es el mismo que en , basta con mostrar el enunciado para . ^[6] La construcción real es casi inmediata a partir de la representación de Gelfand : basta con suponer que es el álgebra C* de funciones continuas en algún espacio compacto y definir . ^[7] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle C^{*}(a,e)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}=C^{*}(a,e)}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Phi _{a}(f)=f\circ x}$

• Unicidad: Como y son fijos, ya está definido de forma única para todos los polinomios , ya que es un *-homomorfismo. Estos forman una subálgebra densa de por el teorema de Stone-Weierstrass. Por lo tanto, es único. ^[7] ${\displaystyle \Phi _{a}({\boldsymbol {1}})}$ ${\displaystyle \Phi _{a}(\operatorname {Id} _{\sigma (a)})}$ ${\displaystyle \Phi _{a}}$ ${\textstyle p(z,{\overline {z}})=\sum _{k,l=0}^{N}c_{k,l}z^{k}{\overline {z}}^{l}\;\left(c_{k,l}\in \mathbb {C} \right)}$ ${\displaystyle \Phi _{a}}$ ${\displaystyle C(\sigma (a))}$ ${\displaystyle \Phi _{a}}$

En el análisis funcional, el cálculo funcional continuo para un operador normal es a menudo de interés, es decir, el caso donde es el C*-álgebra de operadores acotados en un espacio de Hilbert . En la literatura, el cálculo funcional continuo a menudo solo se demuestra para operadores autoadjuntos en este contexto. En este caso, la prueba no necesita la representación de Gelfand. ^[8] ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(H)}$ ${\displaystyle H}$

Otras propiedades del cálculo funcional continuo

El cálculo funcional continuo es un isomorfismo isométrico en la subálgebra C* generada por y , es decir: ^[7] ${\displaystyle \Phi _{a}}$ ${\displaystyle C^{*}(a,e)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle e}$

• ${\displaystyle \left\|\Phi _{a}(f)\right\|=\left\|f\right\|_{\sigma (a)}}$para todos ; es por lo tanto continua. ${\displaystyle f\in C(\sigma (a))}$ ${\displaystyle \Phi _{a}}$
• ${\displaystyle \Phi _{a}\left(C(\sigma (a))\right)=C^{*}(a,e)\subseteq {\mathcal {A}}}$

Dado que es un elemento normal de , la subálgebra C* generada por y es conmutativa. En particular, es normal y todos los elementos de un cálculo funcional conmutan. ^[9] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle f(a)}$

El cálculo funcional holomórfico se extiende mediante el cálculo funcional continuo de forma inequívoca . ^[10] Por lo tanto, para polinomios el cálculo funcional continuo corresponde al cálculo funcional natural para polinomios: para todos con . ^[3] ${\displaystyle p(z,{\overline {z}})}$ ${\textstyle \Phi _{a}(p(z,{\overline {z}}))=p(a,a^{*})=\sum _{k,l=0}^{N}c_{k,l}a^{k}(a^{*})^{l}}$ ${\textstyle p(z,{\overline {z}})=\sum _{k,l=0}^{N}c_{k,l}z^{k}{\overline {z}}^{l}}$ ${\displaystyle c_{k,l}\in \mathbb {C} }$

Para una secuencia de funciones que converge uniformemente a una función , converge a . ^[11] Para una serie de potencias , que converge de manera absolutamente uniforme a , por lo tanto se cumple. ^[12] ${\displaystyle f_{n}\in C(\sigma (a))}$ ${\displaystyle \sigma (a)}$ ${\displaystyle f\in C(\sigma (a))}$ ${\displaystyle f_{n}(a)}$ ${\displaystyle f(a)}$ ${\textstyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}}$ ${\displaystyle \sigma (a)}$ ${\textstyle f(a)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}a^{n}}$

Si y , entonces se cumple para su composición . ^[5] Si son dos elementos normales con y es la función inversa de en ambos y , entonces , ya que . ^[13] ${\displaystyle f\in {\mathcal {C}}(\sigma (a))}$ ${\displaystyle g\in {\mathcal {C}}(\sigma (f(a)))}$ ${\displaystyle (g\circ f)(a)=g(f(a))}$ ${\displaystyle a,b\in {\mathcal {A}}_{N}}$ ${\displaystyle f(a)=f(b)}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \sigma (a)}$ ${\displaystyle \sigma (b)}$ ${\displaystyle a=b}$ ${\displaystyle a=(f\circ g)(a)=f(g(a))=f(g(b))=(f\circ g)(b)=b}$

El teorema de mapeo espectral se aplica: para todo . ^[7] ${\displaystyle \sigma (f(a))=f(\sigma (a))}$ ${\displaystyle f\in C(\sigma (a))}$

Si se cumple para , entonces también se cumple para todos los , es decir, si conmuta con , entonces también con los elementos correspondientes del cálculo funcional continuo . ^[14] ${\displaystyle ab=ba}$ ${\displaystyle b\in {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle f(a)b=bf(a)}$ ${\displaystyle f\in C(\sigma (a))}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f(a)}$

Sea un *-homomorfismo unital entre C*-álgebras y . Entonces conmuta con el cálculo funcional continuo. Se cumple lo siguiente: para todo . En particular, el cálculo funcional continuo conmuta con la representación de Gelfand . ^[4] ${\displaystyle \Psi \colon {\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle \Psi (f(a))=f(\Psi (a))}$ ${\displaystyle f\in C(\sigma (a))}$

Con el teorema de mapeo espectral, las funciones con ciertas propiedades pueden relacionarse directamente con ciertas propiedades de elementos de C*-álgebras: ^[15]

• ${\displaystyle f(a)}$es invertible si y sólo si no tiene cero en . ^[16] Entonces se cumple. ^[17] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \sigma (a)}$ ${\textstyle f(a)^{-1}={\tfrac {1}{f}}(a)}$

• ${\displaystyle f(a)}$es autoadjunto si y sólo si tiene un valor real , es decir . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(\sigma (a))\subseteq \mathbb {R} }$
• ${\displaystyle f(a)}$es positivo ( ) si y sólo si , es decir . ${\displaystyle f(a)\geq 0}$ ${\displaystyle f\geq 0}$ ${\displaystyle f(\sigma (a))\subseteq [0,\infty )}$
• ${\displaystyle f(a)}$es unitario si todos los valores de se encuentran en el grupo del círculo , es decir . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(\sigma (a))\subseteq \mathbb {T} =\{\lambda \in \mathbb {C} \mid \left\|\lambda \right\|=1\}}$
• ${\displaystyle f(a)}$es una proyección si solo toma los valores y , es decir . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle f(\sigma (a))\subseteq \{0,1\}}$

Estos se basan en afirmaciones sobre el espectro de ciertos elementos, que se muestran en la sección Aplicaciones.

En el caso especial que es el C*-álgebra de operadores acotados para un espacio de Hilbert , los vectores propios para el valor propio de un operador normal son también vectores propios para el valor propio del operador . Si , entonces también se cumple para todo . ^[18] ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(H)}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle v\in H}$ ${\displaystyle \lambda \in \sigma (T)}$ ${\displaystyle T\in {\mathcal {B}}(H)}$ ${\displaystyle f(\lambda )\in \sigma (f(T))}$ ${\displaystyle f(T)}$ ${\displaystyle Tv=\lambda v}$ ${\displaystyle f(T)v=f(\lambda )v}$ ${\displaystyle f\in \sigma (T)}$

Aplicaciones

Las siguientes aplicaciones son ejemplos típicos y muy simples de las numerosas aplicaciones del cálculo funcional continuo:

Espectro

Sea un álgebra C* y un elemento normal. Entonces se aplica lo siguiente al espectro : ^[15] ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}_{N}}$ ${\displaystyle \sigma (a)}$

• ${\displaystyle a}$es autoadjunto si y sólo si . ${\displaystyle \sigma (a)\subseteq \mathbb {R} }$
• ${\displaystyle a}$es unitario si y sólo si . ${\displaystyle \sigma (a)\subseteq \mathbb {T} =\{\lambda \in \mathbb {C} \mid \left\|\lambda \right\|=1\}}$
• ${\displaystyle a}$es una proyección si y sólo si . ${\displaystyle \sigma (a)\subseteq \{0,1\}}$

Demostración. ^[3] El cálculo funcional continuo para el elemento normal es un *-homomorfismo con y por lo tanto es autoadjunto/unitario/una proyección si es también autoadjunto/unitario/una proyección. Exactamente entonces es autoadjunto si se cumple para todo , es decir, si es real. Exactamente entonces es unitario si se cumple para todo , por lo tanto . Exactamente entonces es una proyección si y solo si , es decir, para todo , es decir, ${\displaystyle \Phi _{a}}$ ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \Phi _{a}(\operatorname {Id} )=a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \operatorname {Id} \in C(\sigma (a))}$ ${\displaystyle \operatorname {Id} }$ ${\displaystyle z={\text{Id}}(z)={\overline {\text{Id}}}(z)={\overline {z}}}$ ${\displaystyle z\in \sigma (a)}$ ${\displaystyle \sigma (a)}$ ${\displaystyle {\text{Id}}}$ ${\displaystyle 1={\text{Id}}(z){\overline {\operatorname {Id} }}(z)=z{\overline {z}}=|z|^{2}}$ ${\displaystyle z\in \sigma (a)}$ ${\displaystyle \sigma (a)\subseteq \{\lambda \in \mathbb {C} \ |\ \left\|\lambda \right\|=1\}}$ ${\displaystyle {\text{Id}}}$ ${\displaystyle (\operatorname {Id} (z))^{2}=\operatorname {Id} }(z)={\overline {\operatorname {Id} (z)}}$ ${\displaystyle z^{2}=z={\overline {z}}}$ ${\displaystyle z\in \sigma (a)}$ ${\displaystyle \sigma (a)\subseteq \{0,1\}}$

Raíces

Sea un elemento positivo de una C*-álgebra . Entonces para cada existe un elemento positivo determinado de manera única con , es decir, una raíz -ésima única . ^[19] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle b\in {\mathcal {A}}_{+}}$ ${\displaystyle b^{n}=a}$ ${\displaystyle n}$

Demostración. Para cada , la función raíz es una función continua en . Si se define utilizando el cálculo funcional continuo, entonces se deduce de las propiedades del cálculo. Del teorema de aplicación espectral se deduce , es decir, es positivo. ^[19] Si es otro elemento positivo con , entonces se cumple, ya que la función raíz en los números reales positivos es una función inversa a la función . ^[13] ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle f_{n}\colon \mathbb {R} _{0}^{+}\to \mathbb {R} _{0}^{+},x\mapsto {\sqrt[{n}]{x}}}$ ${\displaystyle \sigma (a)\subseteq \mathbb {R} _{0}^{+}}$ ${\displaystyle b\;\colon =f_{n}(a)}$ ${\displaystyle b^{n}=(f_{n}(a))^{n}=(f_{n}^{n})(a)=\operatorname {Id} _{\sigma (a)}(a)=a}$ ${\displaystyle \sigma (b)=\sigma (f_{n}(a))=f_{n}(\sigma (a))\subseteq [0,\infty )}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c\in {\mathcal {A}}_{+}}$ ${\displaystyle c^{n}=a=b^{n}}$ ${\displaystyle c=f_{n}(c^{n})=f_{n}(b^{n})=b}$ ${\displaystyle z\mapsto z^{n}}$

Si es un elemento autoadjunto, entonces al menos para cada impar hay un elemento autoadjunto determinado de forma única con . ^[20] ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}_{sa}}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle b\in {\mathcal {A}}_{sa}}$ ${\displaystyle b^{n}=a}$

De manera similar, para un elemento positivo de un C*-álgebra , cada uno define un elemento positivo determinado de manera única de , tal que se cumple para todo . Si es invertible, esto también se puede extender a valores negativos de . ^[19] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \alpha \geq 0}$ ${\displaystyle a^{\alpha }}$ ${\displaystyle C^{*}(a)}$ ${\displaystyle a^{\alpha }a^{\beta }=a^{\alpha +\beta }}$ ${\displaystyle \alpha ,\beta \geq 0}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \alpha }$

Valor absoluto

Si , entonces el elemento es positivo, de modo que el valor absoluto puede definirse mediante el cálculo funcional continuo , ya que es continuo en los números reales positivos. ^[21] ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle a^{*}a}$ ${\displaystyle |a|={\sqrt {a^{*}a}}}$

Sea un elemento autoadjunto de un C*-álgebra , entonces existen elementos positivos , tales que con se cumple. Los elementos y también se denominan partes positiva y negativa . ^[22] Además, se cumple. ^[23] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle a_{+},a_{-}\in {\mathcal {A}}_{+}}$ ${\displaystyle a=a_{+}-a_{-}}$ ${\displaystyle a_{+}a_{-}=a_{-}a_{+}=0}$ ${\displaystyle a_{+}}$ ${\displaystyle a_{-}}$ ${\displaystyle |a|=a_{+}+a_{-}}$

Demostración. Las funciones y son funciones continuas en con y . Supongamos que y . De acuerdo con el teorema de mapeo espectral, y son elementos positivos para los cuales y se cumple. ^[22] Además, , tal que se cumple. ^[23] ${\displaystyle f_{+}(z)=\max(z,0)}$ ${\displaystyle f_{-}(z)=-\min(z,0)}$ ${\displaystyle \sigma (a)\subseteq \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \operatorname {Id} (z)=z=f_{+}(z)-f_{-}(z)}$ ${\displaystyle f_{+}(z)f_{-}(z)=f_{-}(z)f_{+}(z)=0}$ ${\displaystyle a_{+}=f_{+}(a)}$ ${\displaystyle a_{-}=f_{-}(a)}$ ${\displaystyle a_{+}}$ ${\displaystyle a_{-}}$ ${\displaystyle a=\operatorname {Id} (a)=(f_{+}-f_{-})(a)=f_{+}(a)-f_{-}(a)=a_{+}-a_{-}}$ ${\displaystyle a_{+}a_{-}=f_{+}(a)f_{-}(a)=(f_{+}f_{-})(a)=0=(f_{-}f_{+})(a)=f_{-}(a)f_{+}(a)=a_{-}a_{+}}$ ${\textstyle f_{+}(z)+f_{-}(z)=|z|={\sqrt {z^{*}z}}={\sqrt {z^{2}}}}$ ${\textstyle a_{+}+a_{-}=f_{+}(a)+f_{-}(a)=|a|={\sqrt {a^{*}a}}={\sqrt {a^{2}}}}$

Elementos unitarios

Si es un elemento autoadjunto de una C*-álgebra con elemento unidad , entonces es unitario, donde denota la unidad imaginaria . Por el contrario, si es un elemento unitario, con la restricción de que el espectro es un subconjunto propio del círculo unidad, es decir , existe un elemento autoadjunto con . ^[24] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle u=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} a}}$ ${\displaystyle \mathrm {i} }$ ${\displaystyle u\in {\mathcal {A}}_{U}}$ ${\displaystyle \sigma (u)\subsetneq \mathbb {T} }$ ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}_{sa}}$ ${\displaystyle u=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} a}}$

Demostración. ^[24] Es con , ya que es autoadjunto, se sigue que , ie es una función en el espectro de . Como , utilizando el cálculo funcional se sigue, ie es unitario. Como para el otro enunciado hay un , tal que la función es una función continua de valor real en el espectro para , tal que es un elemento autoadjunto que satisface . ${\displaystyle u=f(a)}$ ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {C} ,\ x\mapsto \mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \sigma (a)\subset \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f\cdot {\overline {f}}={\overline {f}}\cdot f=1}$ ${\displaystyle uu^{*}=u^{*}u=e}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle z_{0}\in \mathbb {T} }$ ${\displaystyle \sigma (u)\subseteq \{\mathrm {e} ^{\mathrm {i} z}\mid z_{0}\leq z\leq z_{0}+2\pi \}}$ ${\displaystyle f(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} z})=z}$ ${\displaystyle \sigma (u)}$ ${\displaystyle z_{0}\leq z\leq z_{0}+2\pi }$ ${\displaystyle a=f(u)}$ ${\displaystyle \mathrm {e} ^{\mathrm {i} a}=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} f(u)}=u}$

Teorema de descomposición espectral

Sea una C*-álgebra unital y un elemento normal. Sea el espectro formado por subconjuntos cerrados disjuntos por pares para todos los , es decir . Entonces existen proyecciones que tienen las siguientes propiedades para todos los : ^[25] ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}_{N}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \sigma _{k}\subset \mathbb {C} }$ ${\displaystyle 1\leq k\leq n}$ ${\displaystyle \sigma (a)=\sigma _{1}\sqcup \cdots \sqcup \sigma _{n}}$ ${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{n}\in {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle 1\leq j,k\leq n}$

• Para el espectro, se mantiene. ${\displaystyle \sigma (p_{k})=\sigma _{k}}$
• Las proyecciones conmutan con , es decir . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle p_{k}a=ap_{k}}$
• Las proyecciones son ortogonales , es decir . ${\displaystyle p_{j}p_{k}=\delta _{jk}p_{k}}$
• La suma de las proyecciones es el elemento unitario, es decir . ${\textstyle \sum _{k=1}^{n}p_{k}=e}$

En particular, hay una descomposición para la cual se cumple para todo . ${\textstyle a=\sum _{k=1}^{n}a_{k}}$ ${\displaystyle \sigma (a_{k})=\sigma _{k}}$ ${\displaystyle 1\leq k\leq n}$

Demostración. ^[25] Como todas son cerradas, las funciones características son continuas en . Ahora sea definida usando la funcional continua. Como las son disjuntas por pares, y se cumple y por lo tanto satisfacen las propiedades reclamadas, como se puede ver a partir de las propiedades de la ecuación funcional continua. Para el último enunciado, sea . ${\displaystyle \sigma _{k}}$ ${\displaystyle \chi _{\sigma _{k}}}$ ${\displaystyle \sigma (a)}$ ${\displaystyle p_{k}:=\chi _{\sigma _{k}}(a)}$ ${\displaystyle \sigma _{k}}$ ${\displaystyle \chi _{\sigma _{j}}\chi _{\sigma _{k}}=\delta _{jk}\chi _{\sigma _{k}}}$ ${\textstyle \sum _{k=1}^{n}\chi _{\sigma _{k}}=\chi _{\cup _{k=1}^{n}\sigma _{k}}=\chi _{\sigma (a)}={\textbf {1}}}$ ${\displaystyle p_{k}}$ ${\displaystyle a_{k}=ap_{k}=\operatorname {Id} (a)\cdot \chi _{\sigma _{k}}(a)=(\operatorname {Id} \cdot \chi _{\sigma _{k}})(a)}$

Notas

1. Dixmier 1977, pág. 3.
2. Dixmier 1977, págs. 12-13.
3. Kadison y Ringrose 1983, pág. 272.
4. Dixmier 1977, pág. 5,13.
5. Dixmier 1977, pág. 14.
6. Dixmier 1977, pág. 11.
7. Dixmier 1977, pág. 13.
8. Reed y Simon 1980, págs. 222-223.
9. Dixmier 1977, págs. 5, 13.
10. Kaniuth 2009, pág. 147.
11. Blackadar 2006, pág. 62.
12. Deitmar y Echterhoff 2014, pág. 55.
13. Kadison y Ringrose 1983, pág. 275.
14. Kadison y Ringrose 1983, pág. 239.
15. Kadison y Ringrose 1983, pág. 271.
16. Kaballo 2014, pág. 332.
17. Schmüdgen 2012, pág. 93.
18. Reed y Simon 1980, pág. 222.
19. Kadison y Ringrose 1983, págs. 248-249.
20. Blackadar 2006, pág. 63.
21. Blackadar 2006, págs. 64-65.
22. Kadison y Ringrose 1983, pág. 246.
23. Dixmier 1977, pág. 15.
24. Kadison y Ringrose 1983, págs.
25. Kaballo 2014, pág. 375.

Referencias

• Blackadar, Bruce (2006). Álgebras de operadores. Teoría de las álgebras C* y las álgebras de von Neumann . Berlín/Heidelberg: Springer. ISBN 3-540-28486-9.
• Deitmar, Anton; Echterhoff, Siegfried (2014). Principios del análisis armónico. Segunda edición . Springer. ISBN 978-3-319-05791-0.
• Dixmier, Jacques (1969). Les C*-algèbres et leurs représentations (en francés). Gauthier-Villars.
• Dixmier, Jacques (1977). C*-álgebras . Traducido por Jellett, Francis. Ámsterdam/Nueva York/Oxford: North-Holland. ISBN 0-7204-0762-1.Traducción al inglés de Les C*-algèbres et leurs représentations (en francés). Gauthier-Villars. 1969.
• Kaballo, Winfried (2014). Aufbaukurs Funktionalanalysis und Operatortheorie (en alemán). Berlín/Heidelberg: Springer. ISBN 978-3-642-37794-5.
• Kadison, Richard V.; Ringrose, John R. (1983). Fundamentos de la teoría de álgebras de operadores. Volumen 1 Teoría elemental . Nueva York/Londres: Academic Press. ISBN 0-12-393301-3.
• Kaniuth, Eberhard (2009). Un curso de álgebras de Banach conmutativas . Springer. ISBN 978-0-387-72475-1.
• Schmüdgen, Konrad (2012). Operadores autoadjuntos ilimitados en el espacio de Hilbert . Springer. ISBN 978-94-007-4752-4.
• Reed, Michael; Simon, Barry (1980). Métodos de la física matemática moderna. vol. 1. Análisis funcional . San Diego, CA: Academic Press. ISBN 0-12-585050-6.
• Takesaki, Masamichi (1979). Teoría de álgebras de operadores I. Heidelberg/Berlín: Springer. ISBN 3-540-90391-7.

Enlaces externos

• Cálculo funcional continuo en PlanetMath