Serie de Neumann

Serie matemática

Una serie de Neumann es una serie matemática que suma k veces la aplicación repetida de un operador . Tiene la forma de generador ${\displaystyle T}$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }T^{k}}$

donde es la aplicación repetida k veces de ; es el operador identidad y para . Este es un caso especial de la generalización de una serie geométrica de números reales o complejos a una serie geométrica de operadores. El término inicial generalizado de la serie es el operador identidad y la razón común generalizada de la serie es el operador ${\displaystyle T^{k}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T^{0}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle T^{k}:={}T^{k-1}\circ {T}}$ ${\displaystyle k>0}$ ${\displaystyle T^{0}=I}$ ${\displaystyle T.}$

La serie recibe su nombre del matemático Carl Neumann , quien la utilizó en 1877 en el contexto de la teoría del potencial . La serie de Neumann se utiliza en el análisis funcional . Está estrechamente relacionada con el formalismo resolvente para estudiar el espectro de operadores acotados y, aplicada desde la izquierda a una función, forma la serie de Liouville-Neumann que resuelve formalmente las ecuaciones integrales de Fredholm .

Propiedades

Supóngase que es un operador lineal acotado en el espacio vectorial normado . Si la serie de Neumann converge en la norma del operador , entonces es invertible y su inversa es la serie: ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle I-T}$

${\displaystyle (I-T)^{-1}=\sum _{k=0}^{\infty }T^{k}}$,

¿Dónde está el operador identidad en ? Para ver por qué, considere las sumas parciales ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle S_{n}:=\sum _{k=0}^{n}T^{k}}$.

Entonces tenemos

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }(I-T)S_{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(\sum _{k=0}^{n}T^{k}-\sum _{k=0}^{n}T^{k+1}\right)=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(I-T^{n+1}\right)=I}$

Este resultado sobre los operadores es análogo a las series geométricas en . ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Un caso en el que se garantiza la convergencia es cuando es un espacio de Banach y en la norma del operador; otro caso compatible es que converge. Sin embargo, también hay resultados que dan condiciones más débiles bajo las cuales la serie converge. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle |T|<1}$ ${\textstyle \sum _{k=0}^{\infty }|T^{k}|}$

Ejemplo

Sea dado por: ${\displaystyle C\in \mathbb {R} ^{3\times 3}}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{4}}\\{\frac {5}{7}}&0&{\frac {1}{7}}\\{\frac {3}{10}}&{\frac {3}{5}}&0\end{pmatrix}}.}$

Para que la serie de Neumann converja a tiende al infinito, la norma matricial de debe ser menor que la unidad. Esta norma es ${\textstyle \sum _{k=0}^{n}C^{k}}$ ${\displaystyle (I-C)^{-1}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle {\begin{aligned}||C||_{\infty }&=\max _{i}\sum _{j}|c_{ij}|=\max \left\lbrace {\frac {3}{4}},{\frac {6}{7}},{\frac {9}{10}}\right\rbrace ={\frac {9}{10}}<1,\end{aligned}}}$

confirmando que la serie de Neumann converge.

Inversión de matriz aproximada

Se puede utilizar una serie de Neumann truncada para la inversión aproximada de matrices . Para aproximar la inversa de una matriz invertible , considere que ${\displaystyle A}$

${\displaystyle {\begin{aligned}A^{-1}&=(I-I+A)^{-1}\\&=(I-(I-A))^{-1}\\&=(I-T)^{-1}\end{aligned}}}$

Entonces , utilizando la identidad de la serie de Neumann, si se satisface la condición de norma apropiada en , Dado que estos términos se contraen al aumentar las condiciones dadas en la norma, entonces truncar la serie en algún número finito puede dar una aproximación práctica a la matriz inversa: ${\displaystyle T=(I-A).}$ ${\textstyle \sum _{k=0}^{\infty }T^{k}=(1-T)^{-1}}$ ${\displaystyle T=(I-A)}$ ${\textstyle A^{-1}=(I-(I-A))^{-1}=\sum _{k=0}^{\infty }(I-A)^{k}.}$ ${\displaystyle k,}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle A^{-1}\approx \sum _{k=0}^{n}(I-A)^{k}.}$

El conjunto de operadores invertibles es abierto

Un corolario es que el conjunto de operadores invertibles entre dos espacios de Banach y es abierto en la topología inducida por la norma del operador. En efecto, sea un operador invertible y sea otro operador. Si , entonces también es invertible. Como , la serie de Neumann es convergente. Por lo tanto, tenemos ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B'}$ ${\displaystyle S:B\to B'}$ ${\displaystyle T:B\to B'}$ ${\displaystyle |S-T|<|S^{-1}|^{-1}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle |I-S^{-1}T|<1}$ ${\textstyle \sum _{k=0}^{\infty }(I-S^{-1}T)^{k}}$

${\displaystyle T^{-1}S=(I-(I-S^{-1}T))^{-1}=\sum _{k=0}^{\infty }(I-S^{-1}T)^{k}}$

Tomando las normas, obtenemos

${\displaystyle |T^{-1}S|\leq {\frac {1}{1-|I-(S^{-1}T)|}}}$

La norma de puede estar limitada por ${\displaystyle T^{-1}}$

${\displaystyle |T^{-1}|\leq {\tfrac {1}{1-q}}|S^{-1}|\quad {\text{where}}\quad q=|S-T|\,|S^{-1}|.}$

Aplicaciones

La serie de Neumann se ha utilizado para la detección de datos lineales en sistemas inalámbricos masivos de múltiples usuarios con múltiples entradas y múltiples salidas (MIMO). El uso de una serie de Neumann truncada evita el cálculo de una matriz inversa explícita, lo que reduce la complejidad de la detección de datos lineales de cúbicos a cuadrados. ^[1]

Otra aplicación es la teoría de gráficos de propagación que aprovecha las series de Neumann para derivar expresiones de forma cerrada para funciones de transferencia.

Referencias

1. Wu, M.; Yin, B.; Vosoughi, A.; Studer, C.; Cavallaro, JR; Dick, C. (mayo de 2013). "Inversión de matriz aproximada para la detección de datos de alto rendimiento en el enlace ascendente MIMO a gran escala". Simposio internacional IEEE sobre circuitos y sistemas de 2013 (ISCAS2013) . págs. 2155–2158. doi :10.1109/ISCAS.2013.6572301. hdl : 1911/75011 . ISBN . 978-1-4673-5762-3.S2CID389966  .​

• Werner, Dirk (2005). Análisis funcional (en alemán). Springer Verlag. ISBN 3-540-43586-7.