En física matemática , una curva temporal cerrada ( CTC ) es una línea de universo en una variedad lorentziana , de una partícula material en el espacio-tiempo , que está "cerrada", volviendo a su punto de partida. Esta posibilidad fue descubierta por primera vez por Willem Jacob van Stockum en 1937 [1] y luego confirmada por Kurt Gödel en 1949, [2] quien descubrió una solución a las ecuaciones de la relatividad general (RG) que permite las CTC conocidas como la métrica de Gödel ; y desde entonces se han encontrado otras soluciones de RG que contienen CTC, como el cilindro de Tipler y los agujeros de gusano transitables . Si existen las CTC, su existencia parecería implicar al menos la posibilidad teórica de viajar hacia atrás en el tiempo, lo que plantea el espectro de la paradoja del abuelo , aunque el principio de autoconsistencia de Novikov parece mostrar que tales paradojas podrían evitarse. Algunos físicos especulan que las CTC que aparecen en ciertas soluciones de RG podrían ser descartadas por una futura teoría de la gravedad cuántica que reemplazaría a la RG, una idea que Stephen Hawking denominó conjetura de protección de la cronología . Otros señalan que si cada curva temporal cerrada en un espacio-tiempo dado pasa por un horizonte de sucesos , una propiedad que puede llamarse censura cronológica, entonces ese espacio-tiempo con horizontes de sucesos extirpados seguiría teniendo un buen comportamiento causal y un observador podría no ser capaz de detectar la violación causal. [3]
Cuando se habla de la evolución de un sistema en la relatividad general , o más específicamente en el espacio de Minkowski , los físicos a menudo se refieren a un " cono de luz ". Un cono de luz representa cualquier posible evolución futura de un objeto dado su estado actual, o cada posible ubicación dada su ubicación actual. Las posibles ubicaciones futuras de un objeto están limitadas por la velocidad a la que el objeto puede moverse, que en el mejor de los casos es la velocidad de la luz . Por ejemplo, un objeto ubicado en la posición p en el tiempo t 0 solo puede moverse a ubicaciones dentro de p + c ( t 1 − t 0 ) en el tiempo t 1 .
Esto se representa comúnmente en un gráfico con ubicaciones físicas a lo largo del eje horizontal y el tiempo en sentido vertical, con unidades de para el tiempo y ct para el espacio. Los conos de luz en esta representación aparecen como líneas a 45 grados centradas en el objeto, a medida que la luz viaja a . En un diagrama de este tipo, cada posible ubicación futura del objeto se encuentra dentro del cono. Además, cada ubicación espacial tiene un tiempo futuro, lo que implica que un objeto puede permanecer en cualquier ubicación en el espacio indefinidamente.
Cualquier punto individual en un diagrama de este tipo se conoce como un evento . Se considera que los eventos separados están separados en el tiempo si difieren a lo largo del eje del tiempo, o separados en el espacio si difieren a lo largo del eje del espacio. Si el objeto estuviera en caída libre , viajaría hacia arriba en el eje t ; si se acelera, también se movería a través del eje x. La ruta real que toma un objeto a través del espacio-tiempo, en contraposición a las que podría tomar, se conoce como línea de mundo . Otra definición es que el cono de luz representa todas las líneas de mundo posibles.
En ejemplos "simples" de métricas del espacio-tiempo, el cono de luz se dirige hacia adelante en el tiempo. Esto corresponde al caso común de que un objeto no puede estar en dos lugares a la vez, o alternativamente, que no puede moverse instantáneamente a otra ubicación. En estos espacio-tiempos, las líneas de mundo de los objetos físicos son, por definición, temporales. Sin embargo, esta orientación solo es cierta en los espacio-tiempos "localmente planos". En los espacio-tiempos curvos, el cono de luz estará "inclinado" a lo largo de la geodésica del espacio-tiempo . Por ejemplo, mientras se mueve en las proximidades de una estrella, la gravedad de la estrella "tirará" del objeto, afectando su línea de mundo, por lo que sus posibles posiciones futuras se encuentran más cerca de la estrella. Esto aparece como un cono de luz ligeramente inclinado en el diagrama del espacio-tiempo correspondiente. Un objeto en caída libre en esta circunstancia continúa moviéndose a lo largo de su eje local, pero para un observador externo parece que también está acelerando en el espacio, una situación común si el objeto está en órbita, por ejemplo.
En ejemplos extremos, en espacios-tiempos con métricas de curvatura adecuadamente altas, el cono de luz puede inclinarse más de 45 grados. Eso significa que hay posibles posiciones "futuras", desde el marco de referencia del objeto, que están separadas espacialmente de los observadores en un marco de reposo externo . Desde este punto de vista externo, el objeto puede moverse instantáneamente a través del espacio. En estas situaciones, el objeto tendría que moverse, ya que su ubicación espacial actual no estaría en su propio cono de luz futuro. Además, con una inclinación suficiente, hay ubicaciones de eventos que se encuentran en el "pasado" tal como se ve desde el exterior. Con un movimiento adecuado de lo que parece ser su propio eje espacial, el objeto parece viajar a través del tiempo tal como se ve externamente.
Se puede crear una curva temporal cerrada si se disponen una serie de conos de luz de este tipo de forma que se repita sobre sí mismos, de modo que un objeto podría moverse alrededor de este bucle y regresar al mismo lugar y tiempo en el que comenzó. Un objeto en una órbita de este tipo volvería repetidamente al mismo punto en el espacio-tiempo si permanece en caída libre. Regresar a la ubicación original en el espacio-tiempo sería solo una posibilidad; el futuro cono de luz del objeto incluiría puntos espacio-temporales tanto hacia adelante como hacia atrás en el tiempo, por lo que debería ser posible que el objeto viajara en el tiempo en estas condiciones.
Los CTC aparecen en soluciones exactas localmente inobjetables de la ecuación de campo de Einstein de la relatividad general , incluidas algunas de las soluciones más importantes, entre ellas:
Algunos de estos ejemplos son, como el cilindro de Tipler, bastante artificiales, pero se cree que la parte exterior de la solución de Kerr es en cierto sentido genérica, por lo que resulta bastante desconcertante descubrir que su interior contiene CTC. La mayoría de los físicos creen que los CTC en dichas soluciones son artefactos. [4]
Una característica de una CTC es que abre la posibilidad de una línea de tiempo que no está conectada con tiempos anteriores, y por lo tanto la existencia de eventos que no pueden rastrearse hasta una causa anterior. Por lo general, la causalidad exige que cada evento en el espacio-tiempo esté precedido por su causa en cada marco de reposo. Este principio es fundamental en el determinismo , que en el lenguaje de la relatividad general establece que el conocimiento completo del universo en una superficie de Cauchy similar al espacio puede usarse para calcular el estado completo del resto del espacio-tiempo. Sin embargo, en una CTC, la causalidad se rompe, porque un evento puede ser "simultáneo" con su causa; en cierto sentido, un evento puede ser capaz de causarse a sí mismo. Es imposible determinar, basándose solo en el conocimiento del pasado, si existe o no algo en la CTC que pueda interferir con otros objetos en el espacio-tiempo. Por lo tanto, una CTC da como resultado un horizonte de Cauchy y una región del espacio-tiempo que no puede predecirse a partir del conocimiento perfecto de algún tiempo pasado.
Ninguna CTC puede deformarse continuamente como una CTC hasta un punto (es decir, una CTC y un punto no son homotópicos temporales ), ya que la variedad no se comportaría causalmente bien en ese punto. La característica topológica que evita que la CTC se deforme hasta un punto se conoce como característica topológica temporal .
Se podría argumentar que la existencia de CTC impondría restricciones a los estados físicamente permisibles de los campos de materia-energía en el universo. La propagación de una configuración de campo a lo largo de la familia de líneas temporales cerradas debe, según tales argumentos, dar como resultado finalmente un estado idéntico al original. Esta idea ha sido explorada por algunos científicos [ ¿quiénes? ] como un posible enfoque para refutar la existencia de CTC.
Si bien se han propuesto formulaciones cuánticas de los CTC , [5] [6] un gran desafío para ellos es su capacidad de crear libremente entrelazamiento , [7] lo cual la teoría cuántica predice que es imposible. Si la prescripción de Deutsch es válida, la existencia de estos CTC implica también la equivalencia de la computación cuántica y clásica (ambas en PSPACE ). [8] Si la prescripción de Lloyd es válida, los cálculos cuánticos serían PP-completos.
Hay dos clases de CTC. Tenemos CTC contráctiles hasta un punto (si ya no insistimos en que tiene que ser temporal y estar dirigido al futuro en todas partes), y tenemos CTC que no son contráctiles. Para las últimas, siempre podemos ir al espacio de cobertura universal y restablecer la causalidad. Para las primeras, tal procedimiento no es posible. Ninguna curva temporal cerrada es contráctil hasta un punto por una homotopía temporal entre curvas temporales, ya que ese punto no se comportaría bien causalmente. [3]
El conjunto que viola la cronología es el conjunto de puntos por los que pasan las CTC. El límite de este conjunto es el horizonte de Cauchy . El horizonte de Cauchy se genera mediante geodésicas nulas cerradas. [9] Asociado a cada geodésica nula cerrada hay un factor de corrimiento al rojo que describe el reescalamiento de la tasa de cambio del parámetro afín alrededor de un bucle. Debido a este factor de corrimiento al rojo, el parámetro afín termina en un valor finito después de infinitas revoluciones porque la serie geométrica converge.
