Argumento del cubo

Experimento mental en física

El argumento del cubo giratorio de Isaac Newton (también conocido como cubo de Newton ) fue diseñado para demostrar que el movimiento rotatorio verdadero no puede definirse como la rotación relativa del cuerpo con respecto a los cuerpos inmediatamente circundantes. Es uno de los cinco argumentos de las "propiedades, causas y efectos" del "movimiento verdadero y el reposo" que apoyan su afirmación de que, en general, el movimiento verdadero y el reposo no pueden definirse como instancias especiales de movimiento o reposo relativo a otros cuerpos, sino que, en cambio, pueden definirse solo por referencia al espacio absoluto . Alternativamente, estos experimentos proporcionan una definición operativa de lo que se entiende por " rotación absoluta ", y no pretenden abordar la cuestión de "¿rotación relativa a qué ?" ^[1] La relatividad general prescinde del espacio absoluto y de la física cuya causa es externa al sistema, con el concepto de geodésicas del espacio-tiempo . ^[2]

Fondo

Estos argumentos, y una discusión de las distinciones entre tiempo, espacio, lugar y movimiento absolutos y relativos, aparecen en un escolio al final de la sección de Definiciones en el Libro I de la obra de Newton, Principios matemáticos de la filosofía natural (1687) (que no debe confundirse con el Escolio general al final del Libro III), que estableció los fundamentos de la mecánica clásica e introdujo su ley de gravitación universal , que produjo la primera explicación dinámica cuantitativamente adecuada del movimiento planetario . ^[3]

A pesar de su aceptación del principio de inercia rectilínea y el reconocimiento de la relatividad cinemática del movimiento aparente (que subyace a si el sistema ptolemaico o el copernicano son correctos), los filósofos naturales del siglo XVII continuaron considerando el movimiento verdadero y el reposo como descriptores físicamente separados de un cuerpo individual. La visión dominante a la que Newton se opuso fue ideada por René Descartes y fue apoyada (en parte) por Gottfried Leibniz . Sostenía que el espacio vacío es una imposibilidad metafísica porque el espacio no es otra cosa que la extensión de la materia o, en otras palabras, que cuando uno habla del espacio entre las cosas, en realidad está haciendo referencia a la relación que existe entre esas cosas y no a alguna entidad que se interpone entre ellas. ^{[4] [5]} De acuerdo con la comprensión anterior, cualquier afirmación sobre el movimiento de un cuerpo se reduce a una descripción a lo largo del tiempo en la que el cuerpo en consideración se encuentra en t ₁ en la proximidad de un grupo de cuerpos "de referencia" y en algún t ₂ se encuentra en la proximidad de algún otro cuerpo o cuerpos "de referencia". ^{[6] [7]}

Detección de rotación: se encienden banderas rojas en los brazos flexibles cuando cualquiera de los objetos gira. A: El objeto central gira. B: El anillo exterior gira, pero en direcciones opuestas. C: Ambos giran, pero en direcciones opuestas. D: Ambos están bloqueados juntos y giran en la misma dirección.

Descartes reconoció, sin embargo, que habría una diferencia real entre una situación en la que un cuerpo con partes móviles y originalmente en reposo con respecto a un anillo circundante se aceleraba a una cierta velocidad angular con respecto al anillo, y otra situación en la que el anillo circundante recibía una aceleración contraria con respecto al objeto central. Con solo considerar el objeto central y el anillo circundante, los movimientos serían indistinguibles entre sí suponiendo que tanto el objeto central como el anillo circundante fueran objetos absolutamente rígidos. Sin embargo, si ni el objeto central ni el anillo circundante fueran absolutamente rígidos, entonces las partes de uno o ambos tenderían a salirse del eje de rotación.

Por razones contingentes relacionadas con la Inquisición , Descartes habló del movimiento como absoluto y relativo. ^{[8] [ verificación fallida ]}

A finales del siglo XIX, la afirmación de que todo movimiento es relativo fue reintroducida, en particular por Ernst Mach (1883). ^{[9] [10]}

Cuando, pues, decimos que un cuerpo conserva inalterada su dirección y velocidad en el espacio , nuestra afirmación no es ni más ni menos que una referencia abreviada al universo entero .

—  Ernst Mach; citado por Ciufolini y Wheeler : Gravitación e inercia , pág. 387

El argumento

Newton analiza un cubo ( latín : situla ) lleno de agua colgado de una cuerda. ^[11] Si se retuerce la cuerda firmemente sobre sí misma y luego se suelta el cubo, este comienza a girar rápidamente, no solo con respecto al experimentador, sino también en relación con el agua que contiene. (Esta situación correspondería al diagrama B anterior.)

Aunque el movimiento relativo en esta etapa es el máximo, la superficie del agua permanece plana, lo que indica que las partes del agua no tienen tendencia a alejarse del eje de movimiento relativo, a pesar de la proximidad al cubo. Finalmente, a medida que la cuerda continúa desenrollándose, la superficie del agua asume una forma cóncava al adquirir el movimiento del cubo que gira en relación con el experimentador. Esta forma cóncava muestra que el agua está rotando, a pesar del hecho de que el agua está en reposo en relación con el cubo. En otras palabras, no es el movimiento relativo del cubo y el agua lo que causa la concavidad del agua, contrariamente a la idea de que los movimientos solo pueden ser relativos y que no hay movimiento absoluto. (Esta situación correspondería al diagrama D.) Posiblemente la concavidad del agua muestra rotación en relación con algo más : digamos el espacio absoluto. Newton dice: "Se puede descubrir y medir el movimiento circular verdadero y absoluto del agua". ^[12]

En la traducción de Andrew Motte de 1846 de las palabras de Newton: ^[13]

Si un recipiente, colgado de una cuerda larga, se hace girar tantas veces que la cuerda se retuerce fuertemente, luego se llena de agua y se mantiene en reposo junto con el agua; después, por la acción repentina de otra fuerza, se hace girar en sentido contrario, y mientras la cuerda se desenrolla, el recipiente continúa durante algún tiempo este movimiento; la superficie del agua al principio será plana, como antes de que el recipiente comenzara a moverse; pero el recipiente, al comunicar gradualmente su movimiento al agua, hará que comience a girar sensiblemente, y retroceda poco a poco, y ascienda a los lados del recipiente, formándose en una figura cóncava... Este ascenso del agua muestra su esfuerzo por retroceder del eje de su movimiento; y el movimiento circular verdadero y absoluto del agua, que aquí es directamente contrario al relativo, se descubre a sí mismo y puede medirse por este esfuerzo. ... Y por lo tanto, este esfuerzo no depende de ninguna traslación del agua con respecto a los cuerpos circundantes, ni el movimiento circular verdadero puede definirse por tal traslación. ...; pero los movimientos relativos... están completamente desprovistos de cualquier efecto real. ... Es, en verdad, una cuestión de gran dificultad descubrir y distinguir efectivamente los movimientos verdaderos de los cuerpos particulares de los aparentes; porque las partes de ese espacio inamovible en el que se realizan estos movimientos no caen de ninguna manera bajo las observaciones de nuestros sentidos.

—Isaac  Newton; Principia , Libro 1: Escolio

El argumento de que el movimiento es absoluto, no relativo, es incompleto, ya que limita los participantes relevantes para el experimento a sólo el cubo y el agua, una limitación que no ha sido establecida. De hecho, la concavidad del agua implica claramente atracción gravitatoria y, por implicación, la Tierra también es un participante. He aquí una crítica debida a Mach, que sostiene que sólo se establece el movimiento relativo: ^[14]

El experimento de Newton con el recipiente giratorio con agua simplemente nos informa que la rotación relativa del agua con respecto a los lados del recipiente no produce fuerzas centrífugas notables, sino que dichas fuerzas son producidas por sus rotaciones relativas con respecto a la masa de la Tierra y otros cuerpos celestes.

—  Ernst Mach, citado por L. Bouquiaux en Leibniz , p. 104

El grado en que la hipótesis de Mach está integrada en la relatividad general se analiza en el artículo Principio de Mach ; en general se sostiene que la relatividad general no es enteramente machista.

Todos los observadores coinciden en que la superficie del agua en rotación es curva. Sin embargo, la explicación de esta curvatura implica la fuerza centrífuga para todos los observadores, con excepción de un observador verdaderamente estacionario, que considera que la curvatura es coherente con la velocidad de rotación del agua tal como la observa, sin necesidad de una fuerza centrífuga adicional. Por lo tanto, se puede identificar un marco estacionario y no es necesario preguntar "¿estacionario con respecto a qué?":

La pregunta original, "¿con respecto a qué sistema de referencia se cumplen las leyes del movimiento?", resulta ser errónea, pues las leyes del movimiento determinan esencialmente una clase de sistemas de referencia y (en principio) un procedimiento para construirlos. ^[15]

Newton propuso también un experimento mental complementario con el mismo objetivo de determinar la existencia de rotación absoluta: el ejemplo de observar dos esferas idénticas en rotación alrededor de su centro de gravedad y unidas entre sí por una cuerda. La existencia de tensión en la cuerda es indicativa de rotación absoluta; véase Esferas en rotación .

Análisis detallado

La interfaz de dos líquidos inmiscibles que giran alrededor de un eje vertical es un paraboloide circular que se abre hacia arriba.

El interés histórico del experimento del cubo giratorio es su utilidad para sugerir que se puede detectar la rotación absoluta mediante la observación de la forma de la superficie del agua. Sin embargo, uno podría preguntarse cómo la rotación produce este cambio. A continuación se presentan dos enfoques para comprender la concavidad de la superficie del agua giratoria en un cubo.

Diagrama de fuerza para un elemento de la superficie del agua en un marco corrotante. Arriba : Sección radial y punto seleccionado en la superficie del agua; el agua, el marco corrotante y la sección radial comparten una velocidad angular de rotación constante dada por el vector Ω . Abajo : Diagrama de fuerza en el punto seleccionado en la superficie. La pendiente de la superficie se ajusta para hacer que las tres fuerzas sumen cero.

Leyes del movimiento de Newton

La forma de la superficie de un líquido giratorio en un balde se puede determinar utilizando las leyes de Newton para las diversas fuerzas sobre un elemento de la superficie. Por ejemplo, véase Knudsen y Hjorth. ^[16] El análisis comienza con el diagrama de cuerpo libre en el marco co-rotativo donde el agua parece estacionaria. La altura del agua h = h ( r ) es una función de la distancia radial r desde el eje de rotación Ω , y el objetivo es determinar esta función. Se muestra que un elemento de volumen de agua en la superficie está sujeto a tres fuerzas: la fuerza vertical debido a la gravedad F _g , la fuerza centrífuga horizontal radialmente hacia afuera F _Cfgl , y la fuerza normal a la superficie del agua F _n debido al resto del agua que rodea el elemento seleccionado de la superficie. Se sabe que la fuerza debida al agua circundante es normal a la superficie del agua porque un líquido en equilibrio no puede soportar tensiones de corte . ^[17] Para citar a Anthony y Brackett: ^[18]

La superficie de un fluido de densidad uniforme..., si está en reposo, es perpendicular en todas partes a las líneas de fuerza; pues si no fuera así, la fuerza en un punto de la superficie podría descomponerse en dos componentes, una perpendicular y otra tangente a la superficie. Pero, por la naturaleza de un fluido, la fuerza tangencial provocaría un movimiento del fluido, lo cual es contrario a la afirmación de que el fluido está en reposo.

—  William Arnold Anthony y Cyrus Fogg Brackett: Libro de texto elemental de física , pág. 127

Además, como el elemento agua no se mueve, la suma de las tres fuerzas debe ser cero. Para que la suma sea cero, la fuerza del agua debe apuntar en sentido opuesto a la suma de las fuerzas centrífuga y de la gravedad, lo que significa que la superficie del agua debe ajustarse de modo que su normal apunte en esta dirección. (Un problema muy similar es el diseño de una curva peraltada , donde la pendiente de la curva se establece de modo que un automóvil no se deslice fuera de la carretera. La analogía en el caso del balde giratorio es que el elemento de la superficie del agua se "deslizará" hacia arriba o hacia abajo de la superficie a menos que la normal a la superficie se alinee con el vector resultante formado por la suma de vectores F _g + F _Cfgl .)

A medida que r aumenta, la fuerza centrífuga aumenta según la relación (las ecuaciones están escritas por unidad de masa):

${\displaystyle F_{\mathrm {Cfgl} }=m\Omega ^{2}r\ ,}$

donde Ω es la velocidad constante de rotación del agua. La fuerza gravitacional no cambia en

${\displaystyle F_{\mathrm {g} }=mg\ ,}$

donde g es la aceleración debida a la gravedad . Estas dos fuerzas se suman para formar una resultante en un ángulo φ con respecto a la vertical dada por

${\displaystyle \tan \varphi ={\frac {F_{\mathrm {Cfgl} }}{F_{\mathrm {g} }}}={\frac {\Omega ^{2}r}{g}}\ ,}$

que claramente se hace mayor a medida que r aumenta. Para garantizar que esta resultante sea normal a la superficie del agua y, por lo tanto, pueda ser efectivamente anulada por la fuerza del agua debajo, la normal a la superficie debe tener el mismo ángulo, es decir,

${\displaystyle \tan \varphi ={\frac {\mathrm {d} h}{\mathrm {d} r}}\ ,}$

lo que conduce a la ecuación diferencial ordinaria para la forma de la superficie:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} h}{\mathrm {d} r}}={\frac {\Omega ^{2}r}{g}}\ ,}$

o, integrando:

${\displaystyle h(r)=h(0)+{\frac {1}{2g}}\left(\Omega r\right)^{2}\ ,}$

donde h (0) es la altura del agua en r = 0. En otras palabras, la superficie del agua es parabólica en su dependencia del radio.

Energía potencial

La forma de la superficie del agua se puede encontrar de una manera diferente y muy intuitiva utilizando la interesante idea de la energía potencial asociada con la fuerza centrífuga en el marco de referencia que gira uniformemente a una velocidad angular Ω, la fuerza centrífuga ficticia es conservativa y tiene una energía potencial de la forma: ^{[19] [20]}

${\displaystyle {U}_{\mathrm {Cfgl} }=-{\frac {1}{2}}m\Omega ^{2}r^{2}\ ,}$

donde r es el radio desde el eje de rotación. Este resultado se puede verificar tomando el gradiente del potencial para obtener la fuerza radialmente hacia afuera:

${\displaystyle F_{\mathrm {Cfgl} }=-{\frac {\partial }{\partial r}}{U}_{\mathrm {Cfgl} }}$  ${\displaystyle =m\Omega ^{2}r\ .}$

El significado de la energía potencial (trabajo almacenado) es que el movimiento de un cuerpo de prueba desde un radio mayor a un radio menor implica realizar trabajo contra la fuerza centrífuga y, por lo tanto, ganar energía potencial. Pero este cuerpo de prueba en el radio menor, donde su elevación es menor, ahora ha perdido energía potencial gravitatoria equivalente.

Por lo tanto, la energía potencial explica la concavidad de la superficie del agua en un cubo giratorio. Nótese que en equilibrio la superficie adopta una forma tal que un elemento de volumen en cualquier lugar de su superficie tiene la misma energía potencial que en cualquier otro. Siendo así, ningún elemento de agua en la superficie tiene incentivo alguno para cambiar de posición, porque todas las posiciones son equivalentes en energía. Es decir, se alcanza el equilibrio. Por otro lado, si hubiera regiones de la superficie con menor energía disponible, el agua que ocupa posiciones de la superficie con mayor energía potencial se movería para ocupar estas posiciones de menor energía, ya que no hay barrera para el movimiento lateral en un líquido ideal.

Podríamos imaginar que alteramos deliberadamente esta situación de equilibrio alterando momentáneamente de algún modo la forma de la superficie del agua para hacerla diferente de una superficie de igual energía. Este cambio de forma no sería estable y el agua no permanecería en nuestra forma artificialmente ideada, sino que se embarcaría en una exploración transitoria de muchas formas hasta que las fuerzas de fricción no ideales introducidas por el chapoteo, ya sea contra los lados del balde o por la naturaleza no ideal del líquido, mataran las oscilaciones y el agua se asentara en la forma de equilibrio.

Para ver el principio de una superficie de energía igual en funcionamiento, imagine que aumenta gradualmente la velocidad de rotación del balde desde cero. La superficie del agua es plana al principio, y claramente una superficie de energía potencial igual porque todos los puntos de la superficie están a la misma altura en el campo gravitatorio que actúa sobre el agua. Sin embargo, a una pequeña velocidad angular de rotación, un elemento del agua superficial puede alcanzar una energía potencial menor moviéndose hacia afuera bajo la influencia de la fuerza centrífuga; piense en un objeto que se mueve con la fuerza de la gravedad más cerca del centro de la Tierra: el objeto reduce su energía potencial al ceder a una fuerza. Debido a que el agua es incompresible y debe permanecer dentro de los confines del balde, este movimiento hacia afuera aumenta la profundidad del agua en el radio mayor, aumenta la altura de la superficie en el radio mayor y la baja en el radio menor. La superficie del agua se vuelve ligeramente cóncava, con la consecuencia de que la energía potencial del agua en el radio mayor aumenta por el trabajo realizado contra la gravedad para alcanzar la mayor altura. A medida que aumenta la altura del agua, el movimiento hacia la periferia deja de ser ventajoso, porque la reducción de la energía potencial al trabajar con la fuerza centrífuga se equilibra con el aumento de la energía al trabajar contra la gravedad. Por lo tanto, a una velocidad angular de rotación dada, una superficie cóncava representa la situación estable y, cuanto más rápida sea la rotación, más cóncava será esta superficie. Si se detiene la rotación, la energía almacenada en la formación de la superficie cóncava debe disiparse, por ejemplo mediante la fricción, antes de que se restablezca una superficie plana en equilibrio.

Para implementar cuantitativamente una superficie de energía potencial constante, sea la altura del agua : entonces la energía potencial por unidad de masa aportada por la gravedad es y la energía potencial total por unidad de masa en la superficie es ${\displaystyle h(r)\,}$ ${\displaystyle gh(r)\ }$

${\displaystyle {U}={U}_{0}+gh(r)-{\frac {1}{2}}\Omega ^{2}r^{2}\,}$

con un nivel de energía de fondo independiente de r . En una situación estática (sin movimiento del fluido en el marco giratorio), esta energía es constante independientemente de la posición r . Si se requiere que la energía sea constante, obtenemos la forma parabólica : ${\displaystyle {U}_{0}}$

${\displaystyle h(r)={\frac {\Omega ^{2}}{2g}}r^{2}+h(0)\ ,}$

donde h (0) es la altura en r = 0 (el eje). Véanse las figuras 1 y 2.

El principio de funcionamiento de la centrífuga también puede entenderse de forma sencilla en términos de esta expresión para la energía potencial, que muestra que es favorable energéticamente cuando el volumen alejado del eje de rotación está ocupado por la sustancia más pesada.

Véase también

• Fuerza centrífuga
• Marco de referencia inercial
• Principio de Mach
• Mecánica del movimiento de partículas planas
• Filosofía del espacio y del tiempo: absolutismo vs. relacionalismo
• Marco de referencia giratorio
• Esferas giratorias
• Gravedad rotacional
• Efecto Sagnac

Referencias

1. Disalle, Robert (2002). Cohen, I. Bernard; Smith, George E. (eds.). The Cambridge Companion to Newton. Cambridge University Press. pág. 43. ISBN 0-521-65696-6.
2. Gilson, James G. (1 de septiembre de 2004), Principio de Mach II , arXiv : physics/0409010 , Bibcode :2004physics...9010G
3. Véase los Principia en línea en la traducción de Andrew Motte, págs. 77–82.
4. Descartes, René (1988). Descartes: Selected Philosophical Writings. Traducido por Cottingham, John. Cambridge University Press. pág. 191. ISBN 0-521-35812-4.
5. Alexandre Koyre (1957). Del mundo cerrado al universo infinito. Libros olvidados. p. 75. ISBN 1-60620-143-3.
6. René Descartes (1664). Principia Philosophiae . Parte II, §25.
7. Daniel Garber (1992). Física metafísica de Descartes. University of Chicago Press. pág. 170. ISBN 0-226-28219-8.
8. Robert Disalle (2006). Entendiendo el espacio-tiempo: El desarrollo filosófico de la física desde Newton hasta Einstein. Cambridge University Press. p. 19. ISBN 0-521-85790-2.
9. Mach, E. (1960 [1883]), La ciencia de la mecánica , LaSalle, IL: Open Court Publishing, pág. 284.
10. Ignazio Ciufolini, John Archibald Wheeler (1995). Gravitación e Inercia. Prensa de la Universidad de Princeton. págs. 386–387. ISBN 0-691-03323-4.
11. Para una discusión del argumento original de Newton, véase Max Born y Günther Leibfried (enero de 1962). Einstein's Theory of Relativity. Nueva York: Courier Dover Publications. pp. 78-79. ISBN 0-486-60769-0.
12. Robert Disalle (25 de abril de 2002). "El análisis filosófico de Newton sobre el espacio y el tiempo". En I. Bernard Cohen, George Edwin Smith (ed.).op. cit.. Cambridge University Press. pág. 45. ISBN 0-521-65696-6.
13. Véase los Principia en línea en Andrew Motte Translation, págs. 79-81
14. Bouquiaux, L. (2008). Dascal, Marcelo (ed.). Leibniz. Saltador. pag. 104.ISBN​ 978-1-4020-8667-0.
15. Robert DiSalle (verano de 2002). "Espacio y tiempo: marcos inerciales". En Edward N. Zalta (ed.). The Stanford Encyclopedia of Philosophy. Metaphysics Research Lab, Universidad de Stanford.
16. Jens M. Knudsen, Poul G. Hjorth (2000). Elementos de la mecánica newtoniana (3ª ed.). Saltador. pag. 143.ISBN​ 3-540-67652-X.
17. Lawrence S. Lerner (1997). Física para científicos e ingenieros. Jones & Bartlett. pág. 404. ISBN 0-86720-479-6.
18. William Arnold Anthony y Cyrus Fogg Brackett (1884). Libro de texto elemental de física. Wiley. pág. 127. Ley de Pascal.
19. Robert Daniel Carmichael (1920). La teoría de la relatividad. John Wiley & Sons. pág. 78. Potencial ficticio de Christoffel.
20. Hans J. Weber y George B. Arfken (2003). Métodos matemáticos esenciales para físicos. Academic Press. pág. 79. ISBN 0-12-059877-9.

Lectura adicional

• Brian Greene (2004). "Capítulo 2, El universo y el cubo". La trama del cosmos: espacio, tiempo y la textura de la realidad . AA Knopf. ISBN 0-375-41288-3.
• La isotropía de la radiación de fondo cósmico de microondas es otro indicador de que el universo no gira. Véase:
  • RB Partridge (1995). 3 K: La radiación cósmica de fondo de microondas. Cambridge University Press. págs. 279-280. ISBN. 0-521-35254-1.^{[ enlace muerto permanente ]}
  • D. Lynden-Bell (1996). Astrofísica relativista (Igor Dmitrievich Novikov, Bernard Jean Trefor Jones, Draza Marković (Editores) ed.). Cambridge University Press. pág. 167. ISBN 0-521-62113-5.
  • Ralph A. Alpher y Robert Herman (1975). Cosmología del Big Bang y radiación cósmica del cuerpo negro (en Proc. Am. Philos. Soc. vol. 119, núm. 5 (1975) ed.). American Philosophical Society. pp. 325–348. ISBN 9781422371077.

Enlaces externos

• Las opiniones de Newton sobre el espacio, el tiempo y el movimiento de la Enciclopedia de filosofía de Stanford, artículo de Robert Rynasiewicz. Al final de este artículo se analiza la pérdida de distinciones sutiles en las traducciones en comparación con el texto original en latín.
• Vida y filosofía de Leibniz véase la sección sobre Espacio, tiempo e indiscernibles para ver los argumentos de Leibniz contra la idea de que el espacio actúa como agente causal.
• El cubo de Newton Una aplicación interactiva que ilustra la forma del agua y un archivo PDF adjunto con una derivación matemática de un modelo de la forma del agua más completo que el que se da en este artículo.