Bremsstrahlung

Radiación electromagnética debida a la desaceleración de partículas cargadas.

Bremsstrahlung producido por un electrón de alta energía desviado en el campo eléctrico de un núcleo atómico.

En física de partículas , bremsstrahlung / ˈ b r ɛ m ʃ t r ɑː l ə ŋ / ^[1] ( Pronunciación alemana: [ˈbʁɛms.ʃtʁaːlʊŋ] ^ⓘ ; delalemán bremsen 'frenar' yStrahlung 'radiación') es unaradiación electromagnéticaproducida por ladesaceleraciónde unapartícula cargadacuando es desviada por otra partícula cargada, típicamente unelectrónpor unnúcleo atómico. La partícula en movimiento pierdeenergía cinética, que se convierte en radiación (es decir,fotones), satisfaciendo así laley de conservación de la energía. El término también se utiliza para referirse al proceso de producción de radiación. Bremsstrahlung tiene unespectro continuo, que se vuelve más intenso y cuya intensidad máxima se desplaza hacia frecuencias más altas a medida que aumenta el cambio de energía de las partículas desaceleradas.

En términos generales, la radiación de bremsstrahlung o frenado es cualquier radiación producida debido a la aceleración (positiva o negativa) de una partícula cargada, que incluye la radiación sincrotrón (es decir, la emisión de fotones por una partícula relativista ), la radiación ciclotrón (es decir, la emisión de fotones por una partícula no relativista). partícula relativista), y la emisión de electrones y positrones durante la desintegración beta . Sin embargo, el término se utiliza con frecuencia en el sentido más estricto de radiación de electrones (de cualquier fuente) que se ralentiza en la materia.

La Bremsstrahlung emitida por el plasma a veces se denomina radiación libre-libre . Esto se refiere al hecho de que la radiación en este caso es creada por electrones que están libres (es decir, no en un estado atómico o molecular unido ) antes y permanecen libres después de la emisión de un fotón. En el mismo lenguaje, la radiación ligada se refiere a líneas espectrales discretas (un electrón "salta" entre dos estados ligados), mientras que la radiación ligada libre se refiere al proceso de combinación radiativa, en el que un electrón libre se recombina con un ion.

Este artículo utiliza unidades SI, junto con la carga escalada de una sola partícula . ${\displaystyle {\bar {q}}\equiv q/(4\pi \epsilon _{0})^{1/2}}$

Descripción clásica

Líneas de campo y módulo del campo eléctrico generado por una carga (negativa) que primero se mueve a velocidad constante y luego se detiene rápidamente para mostrar la radiación Bremsstrahlung generada.

Si los efectos cuánticos son insignificantes, una partícula cargada que se acelera irradia potencia como lo describe la fórmula de Larmor y su generalización relativista.

Potencia total radiada

La potencia total radiada es ^[2]

$${\displaystyle P={\frac {2{\bar {q}}^{2}\gamma ^{4}}{3c}}\left({\dot {\beta }}^{2}+{\frac {\left({\boldsymbol {\beta }}\cdot {\dot {\boldsymbol {\beta }}}\right)^{2}}{1-\beta ^{2}}}\right),}$$

factor de Lorentzpermitividad del vacío,q^[3] ${\textstyle {\boldsymbol {\beta }}={\frac {\mathbf {v} }{c}}}$ ${\textstyle \gamma ={1}/{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ ${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {\beta }}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}}$

$${\displaystyle P_{a\parallel v}={\frac {2{\bar {q}}^{2}a^{2}\gamma ^{6}}{3c^{3}}},}$$

sincrotrones ${\displaystyle a\equiv {\dot {v}}={\dot {\beta }}c}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}\cdot {\dot {\boldsymbol {\beta }}}=0}$

$${\displaystyle P_{a\perp v}={\frac {2{\bar {q}}^{2}a^{2}\gamma ^{4}}{3c^{3}}}.}$$

La potencia radiada en los dos casos límite es proporcional a o . Desde entonces , vemos que para partículas con la misma energía la potencia radiada total es igual a o , lo que explica por qué los electrones pierden energía debido a la radiación bremsstrahlung mucho más rápidamente que las partículas cargadas más pesadas (p. ej., muones, protones, partículas alfa). Esta es la razón por la que un colisionador electrón-positrón de energía TeV (como el propuesto Colisionador Lineal Internacional ) no puede utilizar un túnel circular (que requiere una aceleración constante), mientras que un colisionador protón-protón (como el Gran Colisionador de Hadrones ) puede utilizar un túnel circular. . Los electrones pierden energía debido a la bremsstrahlung a un ritmo veces mayor que el de los protones. ${\displaystyle \gamma ^{4}}$ ${\displaystyle \left(a\perp v\right)}$ ${\displaystyle \gamma ^{6}}$ ${\displaystyle \left(a\parallel v\right)}$ ${\displaystyle E=\gamma mc^{2}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle m^{-4}}$ ${\displaystyle m^{-6}}$ ${\displaystyle (m_{p}/m_{e})^{4}\approx 10^{13}}$

Distribución angular

La fórmula más general para la potencia radiada en función del ángulo es: ^[4]

$${\displaystyle {\frac {dP}{d\Omega }}={\frac {{\bar {q}}^{2}}{4\pi c}}{\frac {\left|{\hat {\mathbf {n} }}\times \left(\left({\hat {\mathbf {n} }}-{\boldsymbol {\beta }}\right)\times {\dot {\boldsymbol {\beta }}}\right)\right|^{2}}{\left(1-{\hat {\mathbf {n} }}\cdot {\boldsymbol {\beta }}\right)^{5}}}}$$

${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}}$ ${\displaystyle d\Omega }$

En el caso en que la velocidad es paralela a la aceleración (por ejemplo, movimiento lineal), esto se simplifica a ^[4]

$${\displaystyle {\frac {dP_{a\parallel v}}{d\Omega }}={\frac {{\bar {q}}^{2}a^{2}}{4\pi c^{3}}}{\frac {\sin ^{2}\theta }{(1-\beta \cos \theta )^{5}}}}$$

${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}}$

Descripción mecánica cuántica simplificada

El tratamiento mecánico-cuántico completo de la bremsstrahlung es muy complicado. El "caso del vacío" de la interacción de un electrón, un ion y un fotón, utilizando el potencial de Coulomb puro, tiene una solución exacta que probablemente fue publicada por primera vez por A. Sommerfeld en 1931. ^[5] Esta solución analítica implica matemáticas complicadas , y se han publicado varios cálculos numéricos, como los de Karzas y Latter. ^[6] Se han presentado otras fórmulas aproximadas, como en trabajos recientes de Weinberg ^[7] y Pradler y Semmelrock. ^[8]

Esta sección ofrece una analogía mecánico-cuántica de la sección anterior, pero con algunas simplificaciones para ilustrar la física importante. Damos un tratamiento no relativista del caso especial de un electrón de masa , carga y velocidad inicial que se desacelera en el campo de Coulomb de un gas de iones pesados ​​de carga y densidad numérica . La radiación emitida es un fotón de frecuencia y energía . Deseamos encontrar la emisividad , que es la potencia emitida por (ángulo sólido en el espacio de velocidad del fotón * frecuencia del fotón), sumada sobre ambas polarizaciones transversales del fotón. Lo expresamos como un resultado clásico aproximado multiplicado por el factor de Gaunt g _ff de emisión libre-libre que tiene en cuenta las correcciones cuánticas y de otro tipo: ${\displaystyle m_{e}}$ ${\displaystyle -e}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle Ze}$ ${\displaystyle n_{i}}$ ${\displaystyle \nu =c/\lambda }$ ${\displaystyle h\nu }$ ${\displaystyle j(v,\nu )}$

$${\displaystyle j(v,\nu )={8\pi \over 3{\sqrt {3}}}{Z^{2}{\bar {e}}^{6}n_{i} \over c^{3}m_{e}^{2}v}g_{\rm {ff}}(v,\nu )}$$

${\displaystyle j(\nu ,v)=0}$ ${\displaystyle h\nu >mv^{2}/2}$ ${\displaystyle g_{\rm {ff}}}$

• Interacción de vacío: descuidamos cualquier efecto del medio de fondo, como los efectos de detección de plasma. Esto es razonable para una frecuencia de fotones mucho mayor que la frecuencia del plasma con la densidad de electrones del plasma. Tenga en cuenta que las ondas de luz son evanescentes y que se necesitaría un enfoque significativamente diferente. ${\displaystyle \nu _{\rm {pe}}\propto n_{\rm {e}}^{1/2}}$ ${\displaystyle n_{e}}$ ${\displaystyle \nu <\nu _{\rm {pe}}}$
• Fotones blandos: , es decir, la energía del fotón es mucho menor que la energía cinética inicial del electrón. ${\displaystyle h\nu \ll m_{e}v^{2}/2}$

Con estas suposiciones, dos parámetros sin unidades caracterizan el proceso: , que mide la fuerza de la interacción electrón-ion de Coulomb, y , que mide la "suavidad" del fotón y asumimos que siempre es pequeña (la elección del factor 2 es por conveniencia posterior ). En el límite , la aproximación de Born mecánica cuántica da: ${\displaystyle \eta _{Z}\equiv Z{\bar {e}}^{2}/\hbar v}$ ${\displaystyle \eta _{\nu }\equiv h\nu /2m_{e}v^{2}}$ ${\displaystyle \eta _{Z}\ll 1}$

$${\displaystyle g_{\text{ff,Born}}={{\sqrt {3}} \over \pi }\ln {1 \over \eta _{\nu }}}$$

En el límite opuesto , el resultado completo de la mecánica cuántica se reduce al resultado puramente clásico. ${\displaystyle \eta _{Z}\gg 1}$

$${\displaystyle g_{\text{ff,class}}={{\sqrt {3}} \over \pi }\left[\ln \left({1 \over \eta _{Z}\eta _{\nu }}\right)-\gamma \right]}$$

constante de Euler-Mascheroni ${\displaystyle \gamma \approx 0.577}$ ${\displaystyle 1/\eta _{Z}\eta _{\nu }=m_{e}v^{3}/\pi Z{\bar {e}}^{2}\nu }$ ${\displaystyle h}$

Una forma heurística semiclásica de entender el factor Gaunt es escribirlo como donde y son los "parámetros de impacto" máximo y mínimo para la colisión electrón-ion, en presencia del campo eléctrico del fotón. Con nuestras suposiciones, para parámetros de impacto mayores, la oscilación sinusoidal del campo de fotones proporciona una "mezcla de fases" que reduce fuertemente la interacción. es la mayor entre la longitud de onda de De Broglie de la mecánica cuántica y la distancia clásica de máxima aproximación donde la energía potencial de Coulomb del ion electrón es comparable a la energía cinética inicial del electrón. ${\displaystyle g_{\text{ff}}\approx \ln(b_{\text{max}}/b_{\text{min}})}$ ${\displaystyle b_{\max }}$ ${\displaystyle b_{\min }}$ ${\displaystyle b_{\rm {max}}=v/\nu }$ ${\displaystyle b_{\rm {min}}}$ ${\displaystyle \approx h/m_{e}v}$ ${\displaystyle \approx {\bar {e}}^{2}/m_{e}v^{2}}$

Las aproximaciones anteriores generalmente se aplican siempre que el argumento del logaritmo sea grande y se descomponen cuando es menor que la unidad. Es decir, estas formas del factor Gaunt se vuelven negativas, lo cual no es físico. Una aproximación aproximada a los cálculos completos, con los límites clásicos y de Born apropiados, es

$${\displaystyle g_{\text{ff}}\approx \max \left[1,{{\sqrt {3}} \over \pi }\ln \left[{1 \over \eta _{\nu }\max(1,e^{\gamma }\eta _{Z})}\right]\right]}$$

Bremsstrahlung térmico en un medio: emisión y absorción.

Esta sección analiza la emisión de bremsstrahlung y el proceso de absorción inversa (llamado bremsstrahlung inverso) en un medio macroscópico. Comenzamos con la ecuación de transferencia radiativa, que se aplica a procesos generales y no sólo a la bremsstrahlung:

$${\displaystyle {\frac {1}{c}}\partial _{t}I_{\nu }+{\hat {\mathbf {n} }}\cdot \nabla I_{\nu }=j_{\nu }-k_{\nu }I_{\nu }}$$

${\displaystyle I_{\nu }(t,\mathbf {x} )}$es la intensidad espectral de la radiación, o potencia por (área × ángulo sólido en el espacio de velocidad del fotón × frecuencia del fotón) sumada sobre ambas polarizaciones. es la emisividad, análoga a la definida anteriormente, y es la absortividad. y son propiedades de la materia, no de la radiación, y representan todas las partículas del medio, no sólo un par de un electrón y un ión como en la sección anterior. Si es uniforme en el espacio y el tiempo, entonces el lado izquierdo de la ecuación de transferencia es cero y encontramos ${\displaystyle j_{\nu }}$ ${\displaystyle j(v,\nu )}$ ${\displaystyle k_{\nu }}$ ${\displaystyle j_{\nu }}$ ${\displaystyle k_{\nu }}$ ${\displaystyle I_{\nu }}$

$${\displaystyle I_{\nu }={j_{\nu } \over k_{\nu }}}$$

Si la materia y la radiación también están en equilibrio térmico a cierta temperatura, entonces el espectro del cuerpo negro debe ser : ${\displaystyle I_{\nu }}$

$${\displaystyle B_{\nu }(\nu ,T_{e})={\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{e^{h\nu /k_{\text{B}}T_{e}}-1}}}$$

Dado que y son independientes de , esto significa que debe ser el espectro del cuerpo negro siempre que la materia esté en equilibrio a cierta temperatura, independientemente del estado de la radiación. Esto nos permite conocer ambos inmediatamente y una vez que se conoce uno (para la materia en equilibrio). ${\displaystyle j_{\nu }}$ ${\displaystyle k_{\nu }}$ ${\displaystyle I_{\nu }}$ ${\displaystyle j_{\nu }/k_{\nu }}$ ${\displaystyle j_{\nu }}$ ${\displaystyle k_{\nu }}$

En plasma: resultados clásicos aproximados

NOTA : esta sección actualmente proporciona fórmulas que se aplican en el límite de Rayleigh-Jeans y no utiliza un tratamiento cuantificado (Planck) de la radiación. Por tanto, un factor habitual como este no aparece. La aparición de lo que se muestra a continuación se debe al tratamiento mecánico-cuántico de las colisiones. ${\displaystyle \hbar \omega \ll k_{\text{B}}T_{e}}$ ${\displaystyle \exp(-\hbar \omega /k_{\rm {B}}T_{e})}$ ${\displaystyle \hbar \omega /k_{\text{B}}T_{e}}$ ${\displaystyle y}$

Resultado clásico de Bekefi para el espectro de potencia de emisión de bremsstrahlung a partir de una distribución de electrones maxwelliana. Disminuye rápidamente en las grandes y también se suprime en las cercanas . Este gráfico es para el caso cuántico y . La curva azul es la fórmula completa de , la curva roja es la forma logarítmica aproximada de . ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega =\omega _{\rm {p}}}$ ${\displaystyle T_{e}>Z^{2}E_{\text{h}}}$ ${\displaystyle \hbar \omega _{\text{p}}/T_{e}=0.1}$ ${\displaystyle E_{1}(y)}$ ${\displaystyle y\ll 1}$

En un plasma , los electrones libres chocan continuamente con los iones, produciendo bremsstrahlung. Un análisis completo requiere tener en cuenta tanto las colisiones binarias de Coulomb como el comportamiento colectivo (dieléctrico). Bekefi ofrece un tratamiento detallado, ^[9] mientras que Ichimaru ofrece uno simplificado. ^[10] En esta sección seguimos el tratamiento dieléctrico de Bekefi, con colisiones incluidas aproximadamente a través del número de onda de corte ,. ${\displaystyle k_{\text{max}}}$

Considere un plasma uniforme, con electrones térmicos distribuidos según la distribución de Maxwell-Boltzmann con la temperatura . Siguiendo a Bekefi, la densidad espectral de potencia (potencia por intervalo de frecuencia angular por volumen, integrada en todo el sr de ángulo sólido, y en ambas polarizaciones) de la bremsstrahlung radiada, se calcula como ${\displaystyle T_{e}}$ ${\displaystyle 4\pi }$

$${\displaystyle {dP_{\mathrm {Br} } \over d\omega }={\frac {8{\sqrt {2}}}{3{\sqrt {\pi }}}}{{\bar {e}}^{6} \over (m_{e}c^{2})^{3/2}}\left[1-{\omega _{\rm {p}}^{2} \over \omega ^{2}}\right]^{1/2}{Z_{i}^{2}n_{i}n_{e} \over (k_{\rm {B}}T_{e})^{1/2}}E_{1}(y),}$$

constantes físicasevanescente ${\displaystyle \omega _{p}\equiv (n_{e}e^{2}/\varepsilon _{0}m_{e})^{1/2}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle n_{e},n_{i}}$ ${\displaystyle \omega <\omega _{\rm {p}}}$ ${\displaystyle \omega >\omega _{\rm {p}}}$

La función especial se define en el artículo integral exponencial y la cantidad sin unidades es ${\displaystyle E_{1}}$ ${\displaystyle y}$

$${\displaystyle y={\frac {1}{2}}{\omega ^{2}m_{e} \over k_{\text{max}}^{2}k_{\text{B}}T_{e}}}$$

${\displaystyle k_{\text{max}}}$es un número de onda máximo o de corte que surge debido a colisiones binarias y puede variar según la especie de ion. Aproximadamente, cuando (típico en plasmas que no son demasiado fríos), donde eV es la energía de Hartree y ^{[ se necesita aclaración ] es la} longitud de onda térmica del electrón de Broglie . De lo contrario, ¿dónde está la distancia de Coulomb clásica de máxima aproximación? ${\displaystyle k_{\text{max}}=1/\lambda _{\text{B}}}$ ${\displaystyle k_{\text{B}}T_{\text{e}}>Z_{i}^{2}E_{\text{h}}}$ ${\displaystyle E_{\text{h}}\approx 27.2}$ ${\displaystyle \lambda _{\text{B}}=\hbar /(m_{\text{e}}k_{\text{B}}T_{\text{e}})^{1/2}}$ ${\displaystyle k_{\text{max}}\propto 1/l_{\text{C}}}$ ${\displaystyle l_{\text{C}}}$

Para el caso habitual , encontramos ${\displaystyle k_{m}=1/\lambda _{B}}$

$${\displaystyle y={\frac {1}{2}}\left[{\frac {\hbar \omega }{k_{\text{B}}T_{e}}}\right]^{2}.}$$

La fórmula para es aproximada, ya que desprecia el aumento de emisiones que se produce ligeramente por encima de . ${\displaystyle dP_{\mathrm {Br} }/d\omega }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega _{\text{p}}}$

En el límite , podemos aproximarnos a dónde está la constante de Euler-Mascheroni . El término logarítmico principal se utiliza con frecuencia y se parece al logaritmo de Coulomb que aparece en otros cálculos de plasma colisional. Porque el término logarítmico es negativo y la aproximación es claramente inadecuada. Bekefi proporciona expresiones corregidas para el término logarítmico que coinciden con cálculos detallados de colisiones binarias. ${\displaystyle y\ll 1}$ ${\displaystyle E_{1}}$ ${\displaystyle E_{1}(y)\approx -\ln[ye^{\gamma }]+O(y)}$ ${\displaystyle \gamma \approx 0.577}$ ${\displaystyle y>e^{-\gamma }}$

La densidad de potencia de emisión total, integrada en todas las frecuencias, es

$${\displaystyle {\begin{aligned}P_{\mathrm {Br} }&=\int _{\omega _{\text{p}}}^{\infty }d\omega {\frac {dP_{\mathrm {Br} }}{d\omega }}={\frac {16}{3}}{\frac {{\bar {e}}^{6}}{m_{e}^{2}c^{3}}}Z_{i}^{2}n_{i}n_{e}k_{\text{max}}G(y_{\text{p}})\\[1ex]G(y_{p})&={\frac {1}{2{\sqrt {\pi }}}}\int _{y_{\text{p}}}^{\infty }dy\,y^{-{1}/{2}}\left[1-{y_{\text{p}} \over y}\right]^{1/2}E_{1}(y)\\[1ex]y_{\text{p}}&=y({\omega \!=\!\omega _{\text{p}}})\end{aligned}}}$$

${\displaystyle G(y_{\text{p}}=0)=1}$y disminuye con ; siempre es positivo. Para , encontramos ${\displaystyle y_{\text{p}}}$ ${\displaystyle k_{\text{max}}=1/\lambda _{\text{B}}}$

$${\displaystyle P_{\mathrm {Br} }={16 \over 3}{{\bar {e}}^{6} \over (m_{e}c^{2})^{\frac {3}{2}}\hbar }Z_{i}^{2}n_{i}n_{e}(k_{\rm {B}}T_{e})^{\frac {1}{2}}G(y_{\rm {p}})}$$

Tenga en cuenta la aparición de debido a la naturaleza cuántica de . En unidades prácticas, una versión comúnmente utilizada de esta fórmula es ^[11] ${\displaystyle \hbar }$ ${\displaystyle \lambda _{\rm {B}}}$ ${\displaystyle G=1}$

$${\displaystyle P_{\mathrm {Br} }[\mathrm {W/m^{3}} ]={Z_{i}^{2}n_{i}n_{e} \over \left[7.69\times 10^{18}\mathrm {m^{-3}} \right]^{2}}T_{e}[\mathrm {eV} ]^{\frac {1}{2}}.}$$

Esta fórmula es 1,59 veces la dada anteriormente, y la diferencia se debe a detalles de colisiones binarias. Esta ambigüedad se expresa a menudo introduciendo el factor Gaunt , por ejemplo en ^[12] se encuentra ${\displaystyle g_{\rm {B}}}$

$${\displaystyle \varepsilon _{\text{ff}}=1.4\times 10^{-27}T^{\frac {1}{2}}n_{e}n_{i}Z^{2}g_{\text{B}},\,}$$

CGS

Correcciones relativistas

Correcciones relativistas a la emisión de un fotón de 30 keV por un electrón que impacta sobre un protón.

Para temperaturas muy altas existen correcciones relativistas a esta fórmula, es decir, términos adicionales del orden de . ^[13] ${\displaystyle k_{\text{B}}T_{e}/m_{e}c^{2}}$

refrigeración por Bremsstrahlung

Si el plasma es ópticamente delgado , la radiación bremsstrahlung abandona el plasma y transporta parte de la energía interna del plasma. Este efecto se conoce como enfriamiento bremsstrahlung . Es un tipo de enfriamiento radiativo . La energía transportada por la bremsstrahlung se denomina pérdidas por bremsstrahlung y representa un tipo de pérdidas radiativas. Generalmente se utiliza el término pérdidas por bremsstrahlung en el contexto en el que el enfriamiento del plasma no es deseado, como por ejemplo en los plasmas de fusión .

Bremsstrahlung polarización

La bremsstrahlung polarizada (a veces denominada "bremsstrahlung atómica") es la radiación emitida por los electrones atómicos del objetivo cuando el átomo objetivo es polarizado por el campo de Coulomb de la partícula cargada incidente. ^{[14] [15]} Se han observado contribuciones de bremsstrahlung de polarización al espectro de bremsstrahlung total en experimentos que involucran partículas incidentes relativamente masivas, ^[16] procesos de resonancia, ^[17] y átomos libres. ^[18] Sin embargo, todavía hay cierto debate sobre si existen o no contribuciones significativas de bremsstrahlung de polarización en experimentos que involucran electrones rápidos que inciden sobre objetivos sólidos. ^{[19] [20]}

Vale la pena señalar que el término "polarización" no implica que la bremsstrahlung emitida esté polarizada. Además, la distribución angular de la bremsstrahlung polarizada es teóricamente bastante diferente a la de la bremsstrahlung ordinaria. ^[21]

Fuentes

Tubo de rayos-x

Espectro de los rayos X emitidos por un tubo de rayos X con objetivo de rodio , operado a 60 kV . La curva continua se debe a la bremsstrahlung y los picos son líneas K características del rodio. La curva llega a cero a las 21 horas de acuerdo con la ley de Duane-Hunt , como se describe en el texto.

En un tubo de rayos X , los electrones son acelerados en el vacío por un campo eléctrico hacia una pieza de metal llamada "objetivo". Los rayos X se emiten a medida que los electrones disminuyen (desaceleran) en el metal. El espectro de salida consta de un espectro continuo de rayos X, con picos adicionales agudos a determinadas energías. El espectro continuo se debe a la bremsstrahlung, mientras que los picos agudos son rayos X característicos asociados con los átomos en el objetivo. Por esta razón, la bremsstrahlung en este contexto también se denomina radiografía continua . ^[22]

La forma de este espectro continuo se describe aproximadamente mediante la ley de Kramers .

La fórmula de la ley de Kramers suele darse como la distribución de intensidad (recuento de fotones) frente a la longitud de onda de la radiación emitida: ^[23] ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \lambda }$

$${\displaystyle I(\lambda )\,d\lambda =K\left({\frac {\lambda }{\lambda _{\min }}}-1\right){\frac {d\lambda }{\lambda ^{2}}}}$$

La constante K es proporcional al número atómico del elemento objetivo y es la longitud de onda mínima dada por la ley de Duane-Hunt . ${\displaystyle \lambda _{\min }}$

El espectro tiene un corte brusco en , lo que se debe a la energía limitada de los electrones entrantes. Por ejemplo, si un electrón en el tubo se acelera a través de 60 kV , entonces adquirirá una energía cinética de 60 keV , y cuando golpee el objetivo puede crear rayos X con una energía de como máximo 60 keV, por conservación de energía. . (Este límite superior corresponde a que el electrón se detenga al emitir solo un fotón de rayos X. Por lo general, el electrón emite muchos fotones, y cada uno tiene una energía inferior a 60 keV). Un fotón con una energía de como máximo 60 keV tiene una longitud de onda de al menos las 21 pm , por lo que el espectro de rayos X continuo tiene exactamente ese corte, como se ve en el gráfico. De manera más general, la fórmula para el corte de longitud de onda baja, la ley de Duane-Hunt, es: ^[24] ${\displaystyle \lambda _{\min }}$

$${\displaystyle \lambda _{\min }={\frac {hc}{eV}}\approx {\frac {1239.8}{V}}\,\mathrm {pm/kV} }$$

hla constante de Planckcvelocidad de la luzVvoltajeecarga elementalpmlos picómetros

desintegración beta

Las sustancias que emiten partículas beta a veces presentan una radiación débil con un espectro continuo que se debe a la bremsstrahlung (ver "bremsstrahlung exterior" más abajo). En este contexto, la bremsstrahlung es un tipo de "radiación secundaria", ya que se produce como resultado de detener (o ralentizar) la radiación primaria ( partículas beta ). Es muy similar a los rayos X producidos al bombardear objetivos metálicos con electrones en generadores de rayos X (como arriba), excepto que son producidos por electrones de alta velocidad a partir de radiación beta.

Bremsstrahlung interior y exterior

La bremsstrahlung "interna" (también conocida como "bremsstrahlung interna") surge de la creación del electrón y su pérdida de energía (debido al fuerte campo eléctrico en la región del núcleo que sufre desintegración) cuando sale del núcleo. Esta radiación es una característica de la desintegración beta en los núcleos, pero ocasionalmente (con menos frecuencia) se observa en la desintegración beta de neutrones libres a protones, donde se crea cuando el electrón beta abandona el protón.

En la emisión de electrones y positrones por desintegración beta, la energía del fotón proviene del par electrón- nucleón , y el espectro de la bremsstrahlung disminuye continuamente a medida que aumenta la energía de la partícula beta. En la captura de electrones, la energía se produce a expensas del neutrino , y el espectro es mayor en aproximadamente un tercio de la energía normal del neutrino, disminuyendo a cero la energía electromagnética con la energía normal del neutrino. Tenga en cuenta que en el caso de la captura de electrones, se emite bremsstrahlung aunque no se emita ninguna partícula cargada. En cambio, se puede pensar que la radiación bremsstrahlung se crea a medida que el electrón capturado se acelera hasta ser absorbido. Dicha radiación puede tener frecuencias iguales a las de la radiación gamma suave , pero no muestra ninguna de las líneas espectrales marcadas de la desintegración gamma y, por lo tanto, técnicamente no es radiación gamma.

El proceso interno debe contrastarse con la bremsstrahlung "externa" debido al impacto sobre el núcleo de electrones provenientes del exterior (es decir, emitidos por otro núcleo), como se discutió anteriormente. ^[25]

Seguridad radiológica

En algunos casos, como el deterioro de32P , la bremsstrahlung que se produce al proteger la radiación beta con los materiales densos utilizados normalmente (p. ej. plomo ) es en sí misma peligrosa; en tales casos, el blindaje debe realizarse con materiales de baja densidad, como plexiglás ( lucite ), plástico , madera o agua ; ^[26] como el número atómico es menor para estos materiales, la intensidad de la bremsstrahlung se reduce significativamente, pero se requiere un mayor espesor de blindaje para detener los electrones (radiación beta).

En astrofísica

El componente luminoso dominante en un cúmulo de galaxias es el medio intracúmulo de 10 ⁷ a 10 ⁸ kelvin . La emisión del medio intracluster se caracteriza por una bremsstrahlung térmica. Esta radiación está en el rango de energía de los rayos X y puede observarse fácilmente con telescopios espaciales como el Observatorio de rayos X Chandra , XMM-Newton , ROSAT , ASCA , EXOSAT , Suzaku , RHESSI y futuras misiones como IXO [1]. y Astro-H [2].

Bremsstrahlung es también el mecanismo de emisión dominante para las regiones H II en longitudes de onda de radio.

En descargas eléctricas

En las descargas eléctricas, por ejemplo como descargas de laboratorio entre dos electrodos o como descargas de rayos entre las nubes y el suelo o dentro de las nubes, los electrones producen fotones de Bremsstrahlung y al mismo tiempo dispersan las moléculas de aire. Estos fotones se manifiestan en destellos de rayos gamma terrestres y son la fuente de haces de electrones, positrones, neutrones y protones. ^[27] La ​​aparición de fotones Bremsstrahlung también influye en la propagación y morfología de las descargas en mezclas de nitrógeno y oxígeno con bajos porcentajes de oxígeno. ^[28]

Descripción de la mecánica cuántica

La descripción completa de la mecánica cuántica fue realizada por primera vez por Bethe y Heitler. ^[29] Supusieron ondas planas para los electrones que se dispersan en el núcleo de un átomo, y derivaron una sección transversal que relaciona la geometría completa de ese proceso con la frecuencia del fotón emitido. La sección transversal cuádruple diferencial, que muestra una simetría mecánica cuántica para la producción de pares , es

${\displaystyle {\begin{aligned}d^{4}\sigma ={}&{\frac {Z^{2}\alpha _{\text{fine}}^{3}\hbar ^{2}}{(2\pi )^{2}}}{\frac {\left|\mathbf {p} _{f}\right|}{\left|\mathbf {p} _{i}\right|}}{\frac {d\omega }{\omega }}{\frac {d\Omega _{i}\,d\Omega _{f}\,d\Phi }{\left|\mathbf {q} \right|^{4}}}\\&{}\times \left[{\frac {\mathbf {p} _{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{f}}{\left(E_{f}-c\left|\mathbf {p} _{f}\right|\cos \Theta _{f}\right)^{2}}}\left(4E_{i}^{2}-c^{2}\mathbf {q} ^{2}\right)+{\frac {\mathbf {p} _{i}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}{\left(E_{i}-c\left|\mathbf {p} _{i}\right|\cos \Theta _{i}\right)^{2}}}\left(4E_{f}^{2}-c^{2}\mathbf {q} ^{2}\right)\right.\\&{}\qquad +2\hbar ^{2}\omega ^{2}{\frac {\mathbf {p} _{i}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}+\mathbf {p} _{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{f}}{(E_{f}-c\left|\mathbf {p} _{f}\right|\cos \Theta _{f})\left(E_{i}-c\left|\mathbf {p} _{i}\right|\cos \Theta _{i}\right)}}\\&{}\qquad -2\left.{\frac {\left|\mathbf {p} _{i}\right|\left|\mathbf {p} _{f}\right|\sin \Theta _{i}\sin \Theta _{f}\cos \Phi }{\left(E_{f}-c\left|\mathbf {p} _{f}\right|\cos \Theta _{f}\right)\left(E_{i}-c\left|\mathbf {p} _{i}\right|c1\cos \Theta _{i}\right)}}\left(2E_{i}^{2}+2E_{f}^{2}-c^{2}\mathbf {q} ^{2}\right)\right],\end{aligned}}}$

donde está el número atómico , la constante de estructura fina , la constante de Planck reducida y la velocidad de la luz . La energía cinética del electrón en el estado inicial y final está relacionada con su energía total o sus momentos a través de ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle \alpha _{\text{fine}}\approx 1/137}$ ${\displaystyle \hbar }$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle E_{{\text{kin}},i/f}}$ ${\displaystyle E_{i,f}}$ ${\displaystyle \mathbf {p} _{i,f}}$

$${\displaystyle E_{i,f}=E_{{\text{kin}},i/f}+m_{e}c^{2}={\sqrt {m_{e}^{2}c^{4}+\mathbf {p} _{i,f}^{2}c^{2}}},}$$

masa de un electrónLa conservación de la energía ${\displaystyle m_{e}}$

$${\displaystyle E_{f}=E_{i}-\hbar \omega ,}$$

${\displaystyle \hbar \omega }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Theta _{i}&=\sphericalangle (\mathbf {p} _{i},\mathbf {k} ),\\\Theta _{f}&=\sphericalangle (\mathbf {p} _{f},\mathbf {k} ),\\\Phi &={\text{Angle between the planes }}(\mathbf {p} _{i},\mathbf {k} ){\text{ and }}(\mathbf {p} _{f},\mathbf {k} ),\end{aligned}}}$$

${\displaystyle \mathbf {k} }$

Los diferenciales están dados como

$${\displaystyle {\begin{aligned}d\Omega _{i}&=\sin \Theta _{i}\ d\Theta _{i},\\d\Omega _{f}&=\sin \Theta _{f}\ d\Theta _{f}.\end{aligned}}}$$

El valor absoluto del fotón virtual entre el núcleo y el electrón es

${\displaystyle {\begin{aligned}-\mathbf {q} ^{2}={}&-\left|\mathbf {p} _{i}\right|^{2}-\left|\mathbf {p} _{f}\right|^{2}-\left({\frac {\hbar }{c}}\omega \right)^{2}+2\left|\mathbf {p} _{i}\right|{\frac {\hbar }{c}}\omega \cos \Theta _{i}-2\left|\mathbf {p} _{f}\right|{\frac {\hbar }{c}}\omega \cos \Theta _{f}\\&{}+2\left|\mathbf {p} _{i}\right|\left|\mathbf {p} _{f}\right|\left(\cos \Theta _{f}\cos \Theta _{i}+\sin \Theta _{f}\sin \Theta _{i}\cos \Phi \right).\end{aligned}}}$

El rango de validez viene dado por la aproximación de Born.

$${\displaystyle v\gg {\frac {Zc}{137}}}$$

${\displaystyle v}$

Para aplicaciones prácticas (por ejemplo, en los códigos de Monte Carlo ) puede resultar interesante centrarse en la relación entre la frecuencia del fotón emitido y el ángulo entre este fotón y el electrón incidente. Köhn y Ebert integraron la sección transversal diferencial cuádruple de Bethe y Heitler sobre y y obtuvieron: ^[30] ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Theta _{f}}$

$${\displaystyle {\frac {d^{2}\sigma (E_{i},\omega ,\Theta _{i})}{d\omega \,d\Omega _{i}}}=\sum \limits _{j=1}^{6}I_{j}}$$

con

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{1}={}&{\frac {2\pi A}{\sqrt {\Delta _{2}^{2}+4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}}\ln \left({\frac {\Delta _{2}^{2}+4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}-{\sqrt {\Delta _{2}^{2}+4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}\left(\Delta _{1}+\Delta _{2}\right)+\Delta _{1}\Delta _{2}}{-\Delta _{2}^{2}-4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}-{\sqrt {\Delta _{2}^{2}+4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}\left(\Delta _{1}-\Delta _{2}\right)+\Delta _{1}\Delta _{2}}}\right)\\&{}\times \left[1+{\frac {c\Delta _{2}}{p_{f}\left(E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}\right)}}-{\frac {p_{i}^{2}c^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}{\left(E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}\right)^{2}}}-{\frac {2\hbar ^{2}\omega ^{2}p_{f}\Delta _{2}}{c\left(E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}\right)\left(\Delta _{2}^{2}+4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)}}\right],\\I_{2}={}&-{\frac {2\pi Ac}{p_{f}\left(E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}\right)}}\ln \left({\frac {E_{f}+p_{f}c}{E_{f}-p_{f}c}}\right),\\I_{3}={}&{\frac {2\pi A}{\sqrt {\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)^{4}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}}\times \ln \left[\left(\left[E_{f}+p_{f}c\right]\right.\right.\\&\left.\left[4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\left(E_{f}-p_{f}c\right)+\left(\Delta _{1}+\Delta _{2}\right)\left(\left[\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right]-{\sqrt {\left[\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right]^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}\right)\right]\right)\\&\left[\left(E_{f}-p_{f}c\right)\left(4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\left[-E_{f}-p_{f}c\right]\right.\right.\\&{}+\left.\left.\left(\Delta _{1}-\Delta _{2}\right)\left(\left[\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right]-{\sqrt {\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}\right]\right)\right]^{-1}\\&{}\times \left[-{\frac {\left(\Delta _{2}^{2}+4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)\left(E_{f}^{3}+E_{f}p_{f}^{2}c^{2}\right)+p_{f}c\left(2\left[\Delta _{1}^{2}-4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right]E_{f}p_{f}c+\Delta _{1}\Delta _{2}\left[3E_{f}^{2}+p_{f}^{2}c^{2}\right]\right)}{\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}\right.\\&{}-{\frac {c\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)}{p_{f}\left(E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}\right)}}-{\frac {4E_{i}^{2}p_{f}^{2}\left(2\left[\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right]^{2}-4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)\left(\Delta _{1}E_{f}+\Delta _{2}p_{f}c\right)}{\left(\left[\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right]^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)^{2}}}\\&{}+\left.{\frac {8p_{i}^{2}p_{f}^{2}m^{2}c^{4}\sin ^{2}\Theta _{i}\left(E_{i}^{2}+E_{f}^{2}\right)-2\hbar ^{2}\omega ^{2}p_{i}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}p_{f}c\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)+2\hbar ^{2}\omega ^{2}p_{f}m^{2}c^{3}\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)}{\left(E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}\right)\left(\left[\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right]^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)}}\right],\\I_{4}={}&{}-{\frac {4\pi Ap_{f}c\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)}{\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}-{\frac {16\pi E_{i}^{2}p_{f}^{2}A\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)^{2}}{\left(\left[\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right]^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)^{2}}},\\I_{5}={}&{\frac {4\pi A}{\left(-\Delta _{2}^{2}+\Delta _{1}^{2}-4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)\left(\left[\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right]^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)}}\\&{}\times \left[{\frac {\hbar ^{2}\omega ^{2}p_{f}^{2}}{E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}}}\right.\\&{}\times {\frac {E_{f}\left(2\Delta _{2}^{2}\left[\Delta _{2}^{2}-\Delta _{1}^{2}\right]+8p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\left[\Delta _{2}^{2}+\Delta _{1}^{2}\right]\right)+p_{f}c\left(2\Delta _{1}\Delta _{2}\left[\Delta _{2}^{2}-\Delta _{1}^{2}\right]+16\Delta _{1}\Delta _{2}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)}{\Delta _{2}^{2}+4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}\\&{}+{\frac {2\hbar ^{2}\omega ^{2}p_{i}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\left(2\Delta _{1}\Delta _{2}p_{f}c+2\Delta _{2}^{2}E_{f}+8p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}E_{f}\right)}{E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}}}\\&{}+{\frac {2E_{i}^{2}p_{f}^{2}\left(2\left[\Delta _{2}^{2}-\Delta _{1}^{2}\right]\left[\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right]^{2}+8p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\left[\left(\Delta _{1}^{2}+\Delta _{2}^{2}\right)\left(E_{f}^{2}+p_{f}^{2}c^{2}\right)+4\Delta _{1}\Delta _{2}E_{f}p_{f}c\right]\right)}{\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}\\&{}+\left.{\frac {8p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\left(E_{i}^{2}+E_{f}^{2}\right)\left(\Delta _{2}p_{f}c+\Delta _{1}E_{f}\right)}{E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}}}\right],\\I_{6}={}&{\frac {16\pi E_{f}^{2}p_{i}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}A}{\left(E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}\right)^{2}\left(-\Delta _{2}^{2}+\Delta _{1}^{2}-4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)}},\end{aligned}}}$

y

${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {Z^{2}\alpha _{\text{fine}}^{3}}{(2\pi )^{2}}}{\frac {\left|\mathbf {p} _{f}\right|}{\left|\mathbf {p} _{i}\right|}}{\frac {\hbar ^{2}}{\omega }}\\\Delta _{1}&=-\mathbf {p} _{i}^{2}-\mathbf {p} _{f}^{2}-\left({\frac {\hbar }{c}}\omega \right)^{2}+2{\frac {\hbar }{c}}\omega \left|\mathbf {p} _{i}\right|\cos \Theta _{i},\\\Delta _{2}&=-2{\frac {\hbar }{c}}\omega \left|\mathbf {p} _{f}\right|+2\left|\mathbf {p} _{i}\right|\left|\mathbf {p} _{f}\right|\cos \Theta _{i}.\end{aligned}}}$

Sin embargo, se puede encontrar una expresión mucho más simple para la misma integral en ^[31] (Ec. 2BN) y en ^[32] (Ec. 4.1).

Un análisis de la sección transversal doblemente diferencial anterior muestra que los electrones cuya energía cinética es mayor que la energía en reposo (511 keV) emiten fotones hacia adelante, mientras que los electrones con una energía pequeña emiten fotones de forma isotrópica.

Bremsstrahlung electrón-electrón

Un mecanismo, considerado importante para números atómicos pequeños , es la dispersión de un electrón libre en la capa de electrones de un átomo o molécula. ^[33] Dado que la bremsstrahlung electrón-electrón es una función de y la bremsstrahlung electrón-núcleo habitual es una función de , la bremsstrahlung electrón-electrón es insignificante para los metales. En el caso del aire, sin embargo, desempeña un papel importante en la producción de destellos de rayos gamma terrestres . ^[34] ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Z^{2}}$

Ver también

• Conexión de haz
• Radiación ciclotrón
• Wiggler (sincrotrón)
• Láser de electrones libres
• Historia de los rayos X
• Efecto Landau-Pomeranchuk-Migdal
• Fusión nuclear: pérdidas por bremsstrahlung
• Longitud de radiación que caracteriza la pérdida de energía por bremsstrahlung por electrones de alta energía en la materia.
• Fuente de luz sincrotrón

Referencias

1. "Bremsstraße". Diccionario Merriam-Webster.com .
2. Un formulario de plasma para física, tecnología y astrofísica , D. Diver, págs.
3. Griffiths, DJ Introducción a la electrodinámica . págs. 463–465.
4. Jackson. Electrodinámica clásica . §14.2–3.
5. Sommerfeld, A. (1931). "Über die Beugung und Bremsung der Elektronen". Annalen der Physik (en alemán). 403 (3): 257–330. Código bibliográfico : 1931AnP...403..257S. doi : 10.1002/andp.19314030302.
6. Karzas, WJ; Este último, R. (mayo de 1961). "Transiciones radiativas de electrones en un campo de Coulomb". Serie de suplementos de revistas astrofísicas . 6 : 167. Código bibliográfico : 1961ApJS....6..167K. doi :10.1086/190063. ISSN  0067-0049.
7. Weinberg, Steven (30 de abril de 2019). "Bremsstrahlung suave". Revisión física D. 99 (7): 076018. arXiv : 1903.11168 . Código Bib : 2019PhRvD..99g6018W. doi : 10.1103/PhysRevD.99.076018. ISSN  2470-0010. S2CID  85529161.
8. Pradler, José; Semmelrock, Lucas (1 de noviembre de 2021). "Bremsstrahlung no relativista entre electrones y iones: una fórmula aproximada para todos los parámetros". La revista astrofísica . 922 (1): 57. arXiv : 2105.13362 . Código Bib : 2021ApJ...922...57P. doi : 10.3847/1538-4357/ac24a8 . ISSN  0004-637X. S2CID  235248150.
9. Procesos de radiación en plasmas, G. Bekefi, Wiley, primera edición (1966)
10. Principios básicos de la física de plasmas: un enfoque estadístico, S. Ichimaru, p. 228.
11. Formulario de plasma de NRL, revisión de 2006, pág. 58.
12. Procesos radiativos en astrofísica , GB Rybicki y AP Lightman, p. 162.
13. Jinete, TH (1995). Limitaciones fundamentales de los sistemas de fusión de plasma que no están en equilibrio termodinámico (tesis doctoral). MIT. pag. 25. hdl : 1721.1/11412.
14. Polarización Bremsstrahlung sobre átomos, plasmas, nanoestructuras y sólidos , por V. Astapenko
15. Nuevos desarrollos en la investigación de fotones y materiales , Capítulo 3: "Polarizational Bremsstrahlung: A Review", por S. Williams
16. Ishii, Keizo (2006). "Rayos X continuos producidos en colisiones de átomos y iones ligeros". Física y Química de las Radiaciones . 75 (10). Elsevier BV: 1135-1163. Código Bib : 2006RaPC...75.1135I. doi :10.1016/j.radphyschem.2006.04.008. ISSN  0969-806X.
17. Wendin, G.; Nuroh, K. (4 de julio de 1977). "Resonancias de Bremsstrahlung y espectroscopia de potencial de apariencia cerca de los umbrales 3D en Ba, La y Ce metálicos". Cartas de revisión física . 39 (1). Sociedad Estadounidense de Física (APS): 48–51. Código bibliográfico : 1977PhRvL..39...48W. doi :10.1103/physrevlett.39.48. ISSN  0031-9007.
18. Portillo, Sal; Quarles, California (23 de octubre de 2003). "Secciones transversales doblemente diferenciales absolutas para Bremsstrahlung de electrones de átomos de gases raros a 28 y 50 keV". Cartas de revisión física . 91 (17). Sociedad Estadounidense de Física (APS): 173201. Bibcode : 2003PhRvL..91q3201P. doi :10.1103/physrevlett.91.173201. ISSN  0031-9007. PMID  14611345.
19. Astapenko, VA; Kubankin, AS; Nasonov, NN; Polyanskiĭ, VV; Pokhil, médico de cabecera; Sergienko, VI; Khablo, VA (2006). "Medición de la polarización bremsstrahlung de electrones relativistas en objetivos policristalinos". Cartas JETP . 84 (6). Pléiades Publishing Ltd: 281–284. Código Bib : 2006JETPL..84..281A. doi :10.1134/s0021364006180019. ISSN  0021-3640. S2CID  122759704.
20. Williams, Scott; Quarles, California (4 de diciembre de 2008). "Rendimiento de bremsstrahlung absoluto a 135 ° de electrones de 53 keV en objetivos de película de oro". Revisión física A. 78 (6). Sociedad Estadounidense de Física (APS): 062704. Bibcode : 2008PhRvA..78f2704W. doi :10.1103/physreva.78.062704. ISSN  1050-2947.
21. González, D.; Cavness, B.; Williams, S. (29 de noviembre de 2011). "Distribución angular de bremsstrahlung de objetivo grueso producida por electrones con energías iniciales que oscilan entre 10 y 20 keV que inciden en Ag". Revisión física A. 84 (5): 052726. arXiv : 1302.4920 . Código bibliográfico : 2011PhRvA..84e2726G. doi :10.1103/physreva.84.052726. ISSN  1050-2947. S2CID  119233168.
22. SJB Reed (2005). Análisis con microsonda electrónica y microscopía electrónica de barrido en geología. Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 12.ISBN​ 978-1-139-44638-9.
23. Laguitton, Daniel; William Parrish (1977). "Distribución espectral experimental versus ley de Kramers para fluorescencia de rayos X cuantitativa mediante el método de parámetros fundamentales". Espectrometría de Rayos X. 6 (4): 201. Código bibliográfico : 1977XRS.....6..201L. doi :10.1002/xrs.1300060409.
24. René Van Grieken; Andrzej Markowicz (2001). Manual de espectrometría de rayos X. Prensa CRC. pag. 3.ISBN​ 978-0-203-90870-9.
25. Knipp, JK; GE Uhlenbeck (junio de 1936). "Emisión de radiación gamma durante la desintegración beta de los núcleos". Física . 3 (6): 425–439. Código bibliográfico : 1936Phy......3..425K. doi :10.1016/S0031-8914(36)80008-1. ISSN  0031-8914.
26. "Medio ambiente, salud y seguridad" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 1 de julio de 2017 . Consultado el 14 de marzo de 2018 .
27. Kohn, C.; Ebert, U. (2015). "Cálculo de haces de positrones, neutrones y protones asociados a destellos de rayos gamma terrestres". Revista de investigación geofísica: atmósferas . 120 (4): 1620-1635. Código Bib : 2015JGRD..120.1620K. doi : 10.1002/2014JD022229 .
28. Kohn, C.; Chanrion, O.; Neubert, T. (2017). "La influencia de la bremsstrahlung en las serpentinas de descarga eléctrica en mezclas de gases N2 y O2". Ciencia y tecnología de fuentes de plasma . 26 (1): 015006. Código bibliográfico : 2017PSST...26a5006K. doi : 10.1088/0963-0252/26/1/015006 .
29. Bethe, HA; Heitler, W. (1934). "Sobre la detención de partículas rápidas y sobre la creación de electrones positivos". Actas de la Royal Society A. 146 (856): 83-112. Código bibliográfico : 1934RSPSA.146...83B. doi : 10.1098/rspa.1934.0140 .
30. Kohn, C.; Ebert, U. (2014). "Distribución angular de fotones bremsstrahlung y de positrones para cálculos de destellos de rayos gamma terrestres y haces de positrones". Investigación Atmosférica . 135–136: 432–465. arXiv : 1202.4879 . Código Bib : 2014AtmRe.135..432K. doi :10.1016/j.atmosres.2013.03.012. S2CID  10679475.
31. Koch, HW; Motz, JW (1959). "Fórmulas de sección transversal de Bremsstrahlung y datos relacionados". Reseñas de Física Moderna . 31 (4): 920–955. Código Bib : 1959RvMP...31..920K. doi :10.1103/RevModPhys.31.920.
32. Gluckstern, RL; Casco, MH Jr. (1953). "Dependencia de la polarización de la sección transversal integrada de Bremsstrahlung". Revisión física . 90 (6): 1030–1035. Código bibliográfico : 1953PhRv...90.1030G. doi : 10.1103/PhysRev.90.1030.
33. Tessier, F.; Kawrakow, I. (2008). "Cálculo de la sección transversal electrón-electrón bremsstrahlung en el campo de los electrones atómicos". Instrumentos y métodos nucleares en la investigación en física B. 266 (4): 625–634. Código Bib : 2008NIMPB.266..625T. doi :10.1016/j.nimb.2007.11.063.
34. Kohn, C.; Ebert, U. (2014). "La importancia de la bremsstrahlung electrón-electrón para destellos de rayos gamma terrestres, haces de electrones y haces de electrones-positrones". Revista de Física D. 47 (25): 252001. Código bibliográfico : 2014JPhD...47y2001K. doi :10.1088/0022-3727/47/25/252001. S2CID  7824294.

Otras lecturas

• Eberhard Haug; Werner Nakel (2004). El proceso elemental de bremsstrahlung. Apuntes de conferencias científicas en física. vol. 73. River Edge, Nueva Jersey: World Scientific. ISBN 978-981-238-578-9.

enlaces externos

• Índice de artículos antiguos sobre Bremsstrahlung