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Método del elemento límite

El método del elemento límite ( BEM ) es un método computacional numérico para resolver ecuaciones diferenciales parciales lineales que se han formulado como ecuaciones integrales (es decir, en forma integral de límite ), incluida la mecánica de fluidos , la acústica y el electromagnetismo (donde la técnica se conoce como método de los momentos). o abreviado como MoM ), [1] mecánica de fractura , [2] y mecánica de contacto . [3] [4]

Base matemática

La ecuación integral puede considerarse como una solución exacta de la ecuación diferencial parcial gobernante. El método del elemento de frontera intenta utilizar las condiciones de frontera dadas para ajustar los valores de frontera en la ecuación integral, en lugar de valores en todo el espacio definido por una ecuación diferencial parcial. Una vez hecho esto, en la etapa de posprocesamiento, la ecuación integral se puede usar nuevamente para calcular numéricamente la solución directamente en cualquier punto deseado en el interior del dominio de la solución.

BEM es aplicable a problemas para los cuales se pueden calcular las funciones de Green . Generalmente se trata de campos en medios lineales homogéneos . Esto impone restricciones considerables a la variedad y generalidad de los problemas a los que se pueden aplicar útilmente los elementos de frontera. Se pueden incluir no linealidades en la formulación, aunque generalmente introducirán integrales de volumen que luego requerirán que el volumen sea discretizado antes de poder intentar la solución, eliminando una de las ventajas de BEM citadas con más frecuencia [ cita requerida ] . Una técnica útil para tratar la integral de volumen sin discretizar el volumen es el método de reciprocidad dual. La técnica aproxima parte del integrando utilizando funciones de base radial (funciones de interpolación local) y convierte la integral de volumen en una integral de límite después de colocarla en puntos seleccionados distribuidos en todo el dominio del volumen (incluido el límite). En el BEM de reciprocidad dual, aunque no hay necesidad de discretizar el volumen en mallas, las incógnitas en puntos elegidos dentro del dominio de la solución están involucradas en las ecuaciones algebraicas lineales que se aproximan al problema que se está considerando.

Los elementos funcionales de Green que conectan pares de parches de fuente y de campo definidos por la malla forman una matriz, que se resuelve numéricamente. A menos que la función del Green se comporte bien, al menos para pares de parches cercanos entre sí, la función del Green debe integrarse en uno o ambos, el parche fuente y el parche de campo. La forma del método en la que las integrales sobre los parches de fuente y de campo son las mismas se llama " método de Galerkin ". El método de Galerkin es el enfoque obvio para problemas que son simétricos con respecto al intercambio de los puntos fuente y de campo. En el electromagnetismo en el dominio de la frecuencia, esto está asegurado por la reciprocidad electromagnética . El costo de cálculo involucrado en implementaciones ingenuas de Galerkin suele ser bastante elevado. Uno debe recorrer cada par de elementos (de modo que obtengamos n 2 interacciones) y para cada par de elementos recorremos los puntos de Gauss en los elementos produciendo un factor multiplicativo proporcional al número de puntos de Gauss al cuadrado. Además, las evaluaciones de funciones requeridas suelen ser bastante costosas e implican llamadas a funciones trigonométricas/hiperbólicas. No obstante, la fuente principal del costo computacional es este doble bucle sobre elementos que producen una matriz completamente poblada.

Las funciones de Green , o soluciones fundamentales , son a menudo problemáticas de integrar, ya que se basan en una solución de ecuaciones del sistema sujetas a una carga singular (por ejemplo, el campo eléctrico que surge de una carga puntual). Integrar campos tan singulares no es fácil. Para geometrías de elementos simples (por ejemplo, triángulos planos), se puede utilizar la integración analítica. Para elementos más generales, es posible diseñar esquemas puramente numéricos que se adapten a la singularidad, pero con un gran coste computacional. Por supuesto, cuando el punto fuente y el elemento objetivo (donde se realiza la integración) están muy separados, no es necesario cuantificar exactamente el gradiente local que rodea el punto y es posible integrar fácilmente debido a la suave decadencia de la solución fundamental. Es esta característica la que normalmente se emplea en esquemas diseñados para acelerar los cálculos de problemas de elementos de frontera.

La derivación de funciones de Green de forma cerrada es de particular interés en el método de elementos límite, especialmente en electromagnetismo. Específicamente en el análisis de medios en capas, la derivación de la función de Green en el dominio espacial requiere la inversión de la función de Green en el dominio espectral analíticamente derivable a través de la integral de ruta de Sommerfeld. Esta integral no puede evaluarse analíticamente y su integración numérica es costosa debido a su comportamiento oscilatorio y de lenta convergencia. Para un análisis robusto, las funciones espaciales de Green se aproximan como exponenciales complejas con métodos como el método de Prony o el lápiz de función generalizado , y la integral se evalúa con la identidad de Sommerfeld . [5] [6] [7] [8] Este método se conoce como método de imagen compleja discreta. [7] [8]

Comparación con otros métodos

El método de elementos límite suele ser más eficiente que otros métodos, incluidos los elementos finitos, en términos de recursos computacionales para problemas donde existe una pequeña relación superficie/volumen. [9] Conceptualmente, funciona construyendo una " malla " sobre la superficie modelada. Sin embargo, para muchos problemas, los métodos de elementos límite son significativamente menos eficientes que los métodos de discretización de volumen ( método de elementos finitos , método de diferencias finitas , método de volúmenes finitos ). Un buen ejemplo de aplicación del método de los elementos límite es el cálculo eficiente de las frecuencias naturales del chapoteo de líquidos en los tanques. [10] [11] [12] El método del elemento límite es uno de los métodos más eficaces para la simulación numérica de problemas de contacto, [13] en particular para la simulación de contactos adhesivos. [14]

Las formulaciones de elementos límite suelen dar lugar a matrices completamente pobladas. Esto significa que los requisitos de almacenamiento y el tiempo de cálculo tenderán a crecer según el cuadrado del tamaño del problema. Por el contrario, las matrices de elementos finitos suelen tener bandas (los elementos sólo están conectados localmente) y los requisitos de almacenamiento para las matrices del sistema suelen crecer de forma bastante lineal con el tamaño del problema. Se pueden utilizar técnicas de compresión (por ejemplo, expansiones multipolares o matrices jerárquicas /aproximaciones cruzadas adaptativas ) para mejorar estos problemas, aunque a costa de una mayor complejidad y con una tasa de éxito que depende en gran medida de la naturaleza del problema que se resuelve y de la geometría involucrada. .

Ver también

Referencias

  1. ^ En electromagnetismo, el término más tradicional "método de los momentos" se utiliza a menudo, aunque no siempre, como sinónimo de "método del elemento límite": consulte (Gibson 2008) para obtener más información sobre el tema.
  2. ^ El método del elemento límite es muy adecuado para analizar grietas en sólidos. Existen varios enfoques de elementos de frontera para los problemas de grietas. Uno de esos enfoques es formular las condiciones de las grietas en términos de ecuaciones integrales de límite hipersingulares, ver (Ang 2013).
  3. ^ Pohrt, R.; Li, Q. (1 de octubre de 2014). "Formulación completa de elementos de contorno para problemas de contacto normal y tangencial". Mesomecánica Física . 17 (4): 334–340. doi :10.1134/S1029959914040109. ISSN  1029-9599. S2CID  137494525.
  4. ^ "Tutorial de cálculo de la presión de contacto basado en BEM". www.tribonet.org . 9 de noviembre de 2017.
  5. ^ Chow, YL; Yang, JJ; colmillo, director general; Howard, GE (marzo de 1991). "Una función de Green espacial de forma cerrada para el sustrato de microcinta gruesa". Transacciones IEEE sobre teoría y técnicas de microondas . 39 (3): 588–592. Código bibliográfico : 1991ITMTT..39..588C. doi :10.1109/22.75309.
  6. ^ Aksun, MI (febrero de 2003). "Un enfoque sólido para la derivación de funciones de Green de forma cerrada". Transacciones IEEE sobre teoría y técnicas de microondas . 44 (5): 651–658. doi : 10.1109/22.493917. hdl : 11693/10779 .
  7. ^ ab Teo, Swee-Ann (2000). "Método de imagen compleja discreta para las funciones de Green de medios multicapa generales". Letras de ondas guiadas y microondas IEEE . 10 (10): 400–402. doi : 10.1109/75.877225.
  8. ^ ab Teo, Swee-Ann; Masticar, Siou-Teck; Leong, Mook-Seng (febrero de 2003). "Análisis de errores del método de imágenes complejas discretas y extracción de polos". Transacciones IEEE sobre teoría y técnicas de microondas . 51 (2): 406–412. Código Bib : 2003ITMTT..51..406T. doi :10.1109/TMTT.2002.807834.
  9. ^ Ver (Katsikadelis 2002).
  10. ^ Kolaei, Amir; Rakheja, Subhash; Richard, Marc J. (1 de septiembre de 2015). "Chapoteo de líquido dinámico tridimensional en tanques horizontales parcialmente llenos sujetos a excitaciones longitudinales y laterales simultáneas". Revista Europea de Mecánica B. 53 : 251–263. Código Bib : 2015EJMF...53..251K. doi :10.1016/j.euromechflu.2015.06.001.
  11. ^ Kolaei, Amir; Rakheja, Subhash; Richard, Marc J. (31 de enero de 2015). "Un método acoplado multimodal y de elementos límite para el análisis de la eficacia anti-salpicadura de deflectores parciales en un contenedor parcialmente lleno". Computadoras y fluidos . 107 : 43–58. doi :10.1016/j.compfluid.2014.10.013.
  12. ^ Kolaei, Amir; Rakheja, Subhash; Richard, Marc J. (14 de noviembre de 2014). Volumen 4A: dinámica, vibración y control . págs. V04AT04A067. doi :10.1115/IMECE2014-37271. ISBN 978-0-7918-4647-6.
  13. ^ Popov, Valentín (2017). Mecánica de contacto y fricción: principios físicos y (Capítulo 19). Saltador. págs. 337–341. ISBN 9783662530801.
  14. ^ Pohrt, romano; Popov, Valentín L. (9 de abril de 2015). "Simulación de contacto adhesivo de sólidos elásticos utilizando el criterio de desprendimiento local dependiente de la malla en el método de elementos límite". Facta Universitatis, Serie: Ingeniería Mecánica . 13 (1): 3–10.
  15. ^ Najarzadeh, L., Movahedian, B. y Azhari, M., 2022. Solución numérica de problemas de propagación de ondas de agua sobre batimetrías variables utilizando el método de elementos de contorno de integración radial modificado. Ingeniería Oceánica, 257, p.111613.
  16. ^ Najarzadeh, L., Movahedian, B. y Azhari, M., 2019. Solución numérica de la ecuación de onda escalar mediante el método del elemento límite de integración radial modificado. Análisis de ingeniería con elementos límite, 105, páginas 267-278.

Bibliografía

Otras lecturas

enlaces externos

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