Lengua de Arnold

Fenómeno en matemáticas

Número de rotación para diferentes valores de dos parámetros del mapa circular: Ω en el eje x y K en el eje y . Se ven algunas formas de lengua.

En matemáticas , particularmente en sistemas dinámicos , las lenguas de Arnold (nombradas en honor a Vladimir Arnold ) ^{[1] [2]} son ​​un fenómeno pictórico que ocurre cuando se visualiza cómo el número de rotación de un sistema dinámico, u otra propiedad invariante relacionada con el mismo, cambia de acuerdo con dos o más de sus parámetros. Se ha observado que las regiones de número de rotación constante, para algunos sistemas dinámicos, forman formas geométricas que se asemejan a lenguas, en cuyo caso se las llama lenguas de Arnold. ^[3]

Las lenguas de Arnold se observan en una gran variedad de fenómenos naturales que involucran cantidades oscilantes, como la concentración de enzimas y sustratos en procesos biológicos ^[4] y las ondas eléctricas cardíacas . A veces, la frecuencia de oscilación depende de, o está restringida (es decir, bloqueada por fase o por modo , en algunos contextos) en función de alguna cantidad, y a menudo es de interés estudiar esta relación. Por ejemplo, la aparición de un tumor desencadena en la zona una serie de oscilaciones de sustancias (principalmente proteínas) que interactúan entre sí; las simulaciones muestran que estas interacciones causan la aparición de las lenguas de Arnold, es decir, la frecuencia de algunas oscilaciones restringe a las otras, y esto se puede utilizar para controlar el crecimiento del tumor. ^[3]

Otros ejemplos en los que se pueden encontrar lenguas de Arnold incluyen la inarmonicidad de los instrumentos musicales, la resonancia orbital y el bloqueo de mareas de las lunas en órbita, el bloqueo de modo en fibras ópticas y bucles bloqueados por fase y otros osciladores electrónicos , así como en los ritmos cardíacos , las arritmias cardíacas y el ciclo celular . ^[5]

Uno de los modelos físicos más simples que muestra bloqueo de modos consiste en dos discos giratorios conectados por un resorte débil. Uno de los discos puede girar libremente y el otro es impulsado por un motor. El bloqueo de modos ocurre cuando el disco que gira libremente gira a una frecuencia que es un múltiplo racional de la del rotor impulsado.

El modelo matemático más simple que exhibe bloqueo de modos es el mapa circular, que intenta capturar el movimiento de los discos giratorios en intervalos de tiempo discretos.

Mapa circular estándar

El diagrama de bifurcación para el punto fijo en . va desde abajo hacia arriba y las órbitas se muestran en el intervalo en lugar de . Las regiones negras corresponden a las lenguas de Arnold. ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle 1/3}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 4\pi }$ ${\displaystyle [-0.5,0.5]}$ ${\displaystyle [0,1]}$

Las lenguas de Arnold aparecen con mayor frecuencia al estudiar la interacción entre osciladores , particularmente en el caso en que un oscilador impulsa a otro. Es decir, un oscilador depende del otro pero no al revés, por lo que no se influyen mutuamente como sucede en los modelos de Kuramoto , por ejemplo. Este es un caso particular de osciladores impulsados , con una fuerza impulsora que tiene un comportamiento periódico. Como ejemplo práctico, las células del corazón (el oscilador externo) producen señales eléctricas periódicas para estimular las contracciones del corazón (el oscilador impulsado); aquí, podría ser útil determinar la relación entre la frecuencia de los osciladores, posiblemente para diseñar mejores marcapasos artificiales . La familia de mapas circulares sirve como un modelo matemático útil para este fenómeno biológico, así como para muchos otros. ^[6]

La familia de funciones circulares son funciones (o endomorfismos ) del círculo sobre sí mismo. Es matemáticamente más simple considerar un punto del círculo como un punto de la recta real que debe interpretarse módulo , que representa el ángulo en el que se encuentra el punto en el círculo. Cuando el módulo se toma con un valor distinto de , el resultado sigue representando un ángulo, pero debe normalizarse para que se pueda representar todo el rango. Con esto en mente, la familia de funciones circulares viene dada por: ^[7] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle [0,2\pi ]}$

${\displaystyle \theta _{i+1}=g(\theta _{i})+\Omega }$

donde es la frecuencia "natural" del oscilador y es una función periódica que produce la influencia causada por el oscilador externo. Nótese que si para todos la partícula simplemente camina alrededor del círculo a unidades por vez; en particular, si es irracional la función se reduce a una rotación irracional . ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g(\theta )=\theta }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega }$

El mapa circular particular estudiado originalmente por Arnold, ^[8] y que sigue siendo útil incluso hoy en día, es:

${\displaystyle \theta _{i+1}=\theta _{i}+\Omega +{\frac {K}{2\pi }}\sin(2\pi \theta _{i})}$

donde se denomina fuerza de acoplamiento y debe interpretarse módulo . Este mapa muestra un comportamiento muy diverso en función de los parámetros y ; si fijamos y variamos , se obtiene el diagrama de bifurcación alrededor de este párrafo, donde podemos observar órbitas periódicas , bifurcaciones de duplicación de período así como un posible comportamiento caótico . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \theta _{i}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega =1/3}$ ${\displaystyle K}$

Derivación del mapa circular

Representación del modelo simple en el que el mapa circular surge "naturalmente". La línea roja es y se restablece a la línea negra sinusoidal cada vez que llega a cero. ${\displaystyle y(t)}$

Otra forma de ver el mapa circular es la siguiente. Considere una función que decrece linealmente con pendiente . Una vez que llega a cero, su valor se restablece a un cierto valor oscilante, descrito por una función . Ahora nos interesa la secuencia de tiempos en los que y(t) llega a cero. ${\displaystyle y(t)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle z(t)=c+b\sin(2\pi t)}$ ${\displaystyle \{t_{n}\}}$

Este modelo nos dice que en el momento es válido que . A partir de este punto, decrecerá linealmente hasta , donde la función es cero, obteniéndose así: ${\displaystyle t_{n-1}}$ ${\displaystyle y(t_{n-1})=c+b\sin(2\pi t_{n-1})}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle t_{n}}$ ${\displaystyle y}$

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=y(t_{n-1})-a\cdot (t_{n}-t_{n-1})\\[0.5em]0&=\left[c+b\sin(2\pi t_{n-1})\right]-at_{n}+at_{n-1}\\[0.5em]t_{n}&={\frac {1}{a}}\left[c+b\sin(2\pi t_{n-1})\right]+t_{n-1}\\[0.5em]t_{n}&=t_{n-1}+{\frac {c}{a}}+{\frac {b}{a}}\sin(2\pi t_{n-1})\end{aligned}}}$

y al elegir y obtenemos el mapa circular discutido anteriormente: ${\displaystyle \Omega =c/a}$ ${\displaystyle K=2\pi b/a}$

${\displaystyle t_{n}=t_{n-1}+\Omega +{\frac {K}{2\pi }}\sin(2\pi t_{n-1}).}$

Glass, L. (2001) sostiene que este modelo simple es aplicable a algunos sistemas biológicos, como la regulación de la concentración de sustancias en las células o la sangre, siendo lo anterior la concentración de una determinada sustancia. ${\displaystyle y(t)}$

En este modelo, un enganche de fase de significaría que se reinicia exactamente 10 veces cada período de la sinusoidal . El número de rotación, a su vez, sería el cociente . ^[7] ${\displaystyle N:M}$ ${\displaystyle y(t)}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle z(t)}$ ${\displaystyle N/M}$

Propiedades

Consideremos la familia general de endomorfismos circulares:

${\displaystyle \theta _{i+1}=g(\theta _{i})+\Omega }$

donde, para la función circular estándar, tenemos que . A veces también será conveniente representar la función circular en términos de una función : ${\displaystyle g(\theta )=\theta +(K/2\pi )\sin(2\pi \theta )}$ ${\displaystyle f(\theta )}$

${\displaystyle \theta _{i+1}=f(\theta _{i})=\theta _{i}+\Omega +{\frac {K}{2\pi }}\sin(2\pi \theta _{i}).}$

Ahora procedemos a enumerar algunas propiedades interesantes de estos endomorfismos circulares.

P1. es monótonamente creciente para , por lo que para estos valores de los iteradores solo se mueven hacia adelante en el círculo, nunca hacia atrás. Para ver esto, observe que la derivada de es: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle K<1}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \theta _{i}}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f'(\theta )=1+K\cos(2\pi \theta )}$

que es positivo siempre que . ${\displaystyle K<1}$

P2. Al expandir la relación de recurrencia se obtiene una fórmula para : ${\displaystyle \theta _{n}}$

${\displaystyle \theta _{n}=\theta _{0}+n\Omega +{\frac {K}{2\pi }}\sum _{i=0}^{n-1}\sin(2\pi \theta _{i}).}$

P3. Supóngase que , por lo que son puntos fijos periódicos de periodo . Como el seno oscila a una frecuencia de 1 Hz, el número de oscilaciones del seno por ciclo de será , lo que caracteriza un enganche de fase de . ^[7] ${\displaystyle \theta _{n}=\theta _{0}{\bmod {1}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \theta _{i}}$ ${\displaystyle M=(\theta _{n}-\theta _{0})\cdot 1}$ ${\displaystyle n:M}$

P4. Para cualquier , es cierto que , lo que a su vez significa que . Debido a esto, para muchos propósitos no importa si las iteraciones se toman en módulo o no. ${\displaystyle p\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle f(\theta +p)=f(\theta )+p}$ ${\displaystyle f(\theta +p)=f(\theta ){\bmod {1}}}$ ${\displaystyle \theta _{i}}$ ${\displaystyle 1}$

P5 (simetría traslacional). ^{[9] [7]} Supóngase que para un dado hay un bloqueo de fase en el sistema. Entonces, para con entero , habría un bloqueo de fase. Esto también significa que si es una órbita periódica para el parámetro , entonces también es una órbita periódica para cualquier . ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle n:M}$ ${\displaystyle \Omega '=\Omega +p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle n:(M+np)}$ ${\displaystyle \theta _{0},\dots ,\theta _{n}}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega '=\Omega +p,p\in \mathbb {N} }$

Para ver esto, observe que la relación de recurrencia en la propiedad 2 se convertiría en:

${\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{n}'&=\theta _{0}+n\Omega '+{\frac {K}{2\pi }}\sum _{i=0}^{n}\sin(2\pi \theta _{i})\\&=\theta _{0}+n(\Omega +p)+{\frac {K}{2\pi }}\sum _{i=0}^{n}\sin(2\pi \theta _{i})\\&=\theta _{n}+np,\end{aligned}}}$

Entonces, debido al bloqueo de fase original, ahora tendríamos . ${\displaystyle \theta _{n}-\theta _{0}=M}$ ${\displaystyle \theta _{n}'-\theta _{0}=\theta _{n}+np-\theta _{0}=M+np}$

P6. Porque habrá enganche de fase siempre que sea un racional. Además, sea , entonces el enganche de fase es . ${\displaystyle K=0}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega =p/q\in \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle q:p}$

Considerando la relación de recurrencia en la propiedad 2, un racional implica: ${\displaystyle \Omega =p/q}$

${\displaystyle \theta _{n}=\theta _{0}+n{\frac {p}{q}}}$

y el módulo de igualdad se cumplirá solamente cuando sea un entero, y el primero que lo satisfaga sea . En consecuencia: ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle n(p/q)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=q}$

${\displaystyle \theta _{q}=\theta _{0}+p}$

${\displaystyle (\theta _{q}-\theta _{0})=p}$

es decir, un bloqueo de fase. ${\displaystyle q:p}$

Para irracional (lo que conduce a una rotación irracional ), sería necesario tener para números enteros y , pero entonces y es racional, lo que contradice la hipótesis inicial. ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle n\Omega =k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \Omega =k/n}$ ${\displaystyle \Omega }$

Bloqueo de modo

Algunas de las lenguas de Arnold para el mapa circular estándar, ε  = ⁠K/2π​⁠

Número de rotación en función de Ω con K mantenido constante en K  = 1

Para valores de K pequeños a intermedios (es decir, en el rango de K  = 0 a aproximadamente K  = 1), y ciertos valores de Ω, el mapa exhibe un fenómeno llamado bloqueo de modo o bloqueo de fase . En una región de bloqueo de fase, los valores θ _n avanzan esencialmente como un múltiplo racional de n , aunque pueden hacerlo caóticamente en la escala pequeña.

El comportamiento limitante en las regiones bloqueadas por modo viene dado por el número de rotación .

${\displaystyle \omega =\lim _{n\to \infty }{\frac {\theta _{n}}{n}}.}$^[10]

que a veces también se denomina número de bobinado del mapa .

Las regiones de enganche de fase, o lenguas de Arnold, se ilustran en amarillo en la figura de la derecha. Cada una de estas regiones en forma de V toca un valor racional Ω =  ⁠pag/q⁠ en el límite de K  → 0. Los valores de ( K ,Ω) en una de estas regiones darán como resultado un movimiento tal que el número de rotación ω  =  ⁠pag/q⁠ . Por ejemplo, todos los valores de ( K ,Ω) en la gran región en forma de V en el centro inferior de la figura corresponden a un número de rotación de ω  =  ⁠1/2⁠ . Una razón por la que se utiliza el término "bloqueo" es que los valores individuales θ _n pueden verse perturbados por perturbaciones aleatorias bastante grandes (hasta el ancho de la lengüeta, para un valor dado de K ), sin alterar el número de rotación límite. Es decir, la secuencia permanece "bloqueada" con la señal, a pesar de la adición de ruido significativo a la serie θ _n . Esta capacidad de "bloqueo" en presencia de ruido es fundamental para la utilidad del circuito electrónico de bucle de enganche de fase. ^{[ cita requerida ]}

Existe una región bloqueada por el modo para cada número racional .pag/q⁠ . A veces se dice que el mapa circular asigna los racionales, un conjunto de medida cero en K  = 0, a un conjunto de medida distinta de cero para K  ≠ 0. Las lenguas más grandes, ordenadas por tamaño, se encuentran en las fracciones de Farey . Fijando K y tomando una sección transversal a través de esta imagen, de modo que ω se trace como una función de Ω, se obtiene la "escalera del diablo", una forma que es genéricamente similar a la función de Cantor . Se puede demostrar que para K<1 , el mapa circular es un difeomorfismo, existe solo una solución estable. Sin embargo, como K>1 esto ya no se cumple, y se pueden encontrar regiones de dos regiones de bloqueo superpuestas. Para el mapa circular se puede demostrar que en esta región, no se pueden superponer más de dos regiones de bloqueo de modo estable, pero no se sabe si hay algún límite para el número de lenguas de Arnold superpuestas para sistemas sincronizados generales. ^{[ cita requerida ]}

El mapa circular también exhibe rutas subarmónicas hacia el caos, es decir, duplicación del período de la forma 3, 6, 12, 24,....

Mapa estándar de Chirikov

El mapa estándar de Chirikov está relacionado con el mapa circular, teniendo relaciones de recurrencia similares, que pueden escribirse como

${\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{n+1}&=\theta _{n}+p_{n}+{\frac {K}{2\pi }}\sin(2\pi \theta _{n})\\p_{n+1}&=\theta _{n+1}-\theta _{n}\end{aligned}}}$

con ambas iteraciones tomadas módulo 1. En esencia, el mapa estándar introduce un momento p _n que puede variar dinámicamente, en lugar de ser fijo a la fuerza, como ocurre en el mapa circular. El mapa estándar se estudia en física por medio del hamiltoniano de rotor pateado .

Aplicaciones

Las lenguas de Arnold se han aplicado al estudio de

• Ritmos cardíacos : véase Glass, L. et al. (1983) y McGuinness, M. et al. (2004)
• Sincronización de osciladores de diodos túnel resonantes ^[11]

Galería

Véase también

• Palabra de Sturmian

Notas

1. Arnold, VI (1961). "Pequeños denominadores. I. Trazando el círculo sobre sí mismo". Izvestiya Rossiiskoi Akademii Nauk. Seriya Matematicheskaya . 25 (1): 21–86.La sección 12 en la página 78 tiene una figura que muestra las lenguas de Arnold.
2. Traducción al inglés del artículo de Arnold: S. Adjan; VI Arnold'd; SP Demuškin; Ju. S. Gurevic; SS Kemhadze; NI Klimov; Ju. V. Linnik; AV Malyšev; PS Novikov; DA Suprunenko; VA Tartakovskiĭ; V. Tašbaev. Once artículos sobre teoría de números, álgebra y funciones de una variable compleja. vol. 46. ​​Serie de traducciones 2 de la Sociedad Estadounidense de Matemáticas.
3. Jensen, MH; Krishna, S. (2012). "Inducción de bloqueo de fase y caos en osciladores celulares mediante la modulación de los estímulos impulsores". FEBS Letters . 586 (11): 1664–1668. arXiv : 1112.6093 . doi :10.1016/j.febslet.2012.04.044. PMID  22673576. S2CID  2959093.
4. Gérard, C.; Goldbeter, A. (2012). "El ciclo celular es un ciclo límite". Modelado matemático de fenómenos naturales . 7 (6): 126–166. doi : 10.1051/mmnp/20127607 .
5. Nakao, M.; Enkhkhudulmur, TE; Katayama, N.; Karashima, A. (2014). Capacidad de arrastre de modelos de osciladores del ciclo celular con crecimiento exponencial de la masa celular . Conferencia de la Sociedad de Ingeniería en Medicina y Biología. IEEE. págs. 6826–6829.
6. Glass, L. (2001). "Sincronización y procesos rítmicos en fisiología". Nature . 410 (6825): 277–284. Bibcode :2001Natur.410..277G. doi :10.1038/35065745. PMID  11258383. S2CID  4379463.
7. Glass, L.; Perez, R. (1982). "Estructura fina del bloqueo de fase". Physical Review Letters . 48 (26): 1772. Bibcode :1982PhRvL..48.1772G. doi :10.1103/PhysRevLett.48.1772.
8. Lo estudió utilizando coseno en lugar de seno; ver página 78 de Arnol'd, VI (1961).
9. Guevara, MR; Glass, L. (1982). "Bloqueo de fase, bifurcaciones de duplicación de período y caos en un modelo matemático de un oscilador impulsado periódicamente: una teoría para el arrastre de osciladores biológicos y la generación de disritmias cardíacas". Revista de biología matemática . 14 (1): 1–23. CiteSeerX 10.1.1.476.8649 . doi :10.1007/BF02154750. PMID  7077182. S2CID  2273911. 
10. Weisstein, Eric. "Map Winding Number". MathWorld . Consultado el 20 de junio de 2016 .
11. Romeira, B.; Figueiredo, JM; Ironside, CN; Slight, T. (2009). "Dinámica caótica en osciladores controlados por voltaje optoelectrónicos de efecto túnel resonante". IEEE Photonics Technology Letters . 21 (24): 1819–1821. Bibcode :2009IPTL...21.1819R. doi :10.1109/LPT.2009.2034129. S2CID  41327316.

Referencias

• Weisstein, Eric W. "Mapa circular". MathWorld .
• Boyland, PL (1986). "Bifurcaciones de aplicaciones circulares: lenguas de Arnold, biestabilidad e intervalos de rotación". Communications in Mathematical Physics . 106 (3): 353–381. Bibcode :1986CMaPh.106..353B. doi :10.1007/BF01207252. S2CID  121088353.
• Gilmore, R.; Lefranc, M. (2002). La topología del caos: Alicia en el país del estiramiento y la compresión . John Wiley & Sons. ISBN 0-471-40816--6.- Proporciona una breve revisión de los hechos básicos en la sección 2.12 .
• Glass, L. ; Guevara, MR; Shrier, A.; Perez, R. (1983). "Bifurcación y caos en un oscilador cardíaco periódicamente estimulado". Physica D: Nonlinear Phenomena . 7 (1–3): 89–101. Bibcode :1983PhyD....7...89G. doi :10.1016/0167-2789(83)90119-7.- Realiza un análisis detallado de los ritmos cardíacos del corazón en el contexto del mapa circular.
• McGuinness, M.; Hong, Y.; Galletly, D.; Larsen, P. (2004). "Lenguas de Arnold en sistemas cardiorrespiratorios humanos". Chaos . 14 (1): 1–6. Bibcode :2004Chaos..14....1M. doi :10.1063/1.1620990. PMID  15003038.

Enlaces externos

• Mapa circular con subprograma Java interactivo